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相关试卷

1、直线 $x = t y + 3$ 过抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，且与 $C$ 交于M，N两点，则（）

A、 $p = 3$ B、 $p = 6$ C、 $|M N|$ 的最小值为6 D、 $|M N|$ 的最小值为12

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2、若函数 $f (x) = x^{3} + b x^{2} + c x + d$ 满足 $f (x) + f (2 - x) = 0$ 对 $x \in R$ 恒成立，则不等式 $f^{'} (x) < f^{'} (2 x + 2)$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - 2)$ B、 $(0, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 2) \cup (0, + \infty)$ D、 $(- 2, 0)$

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3、已知 $F$ 是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点，过点 $F$ 作 $C$ 的一条渐近线的垂线，垂足为 $A$ ，直线 $F A$ 交双曲线 $C$ 于点 $B$ ，若 $\vec{A B} = 3 \vec{F A}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、2 C、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ D、3

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4、数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = \frac{1}{2} S_{n - 1} + 2 (n \geq 2)$ ，若 $S_{1} = 2$ ，则 $\log_{2} a_{8}$ 的值是（）

A、 $- 7$ B、 $- 6$ C、6 D、7

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5、 ${(x^{2} + \frac{2}{x})}^{5}$ 的展开式中 $x$ 项的系数为（）

A、 $- 80$ B、 $- 10$ C、10 D、80

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6、已知空间向量 $\vec{a} = (1, 2, 0), \vec{b} = (0, - 1, 1), \vec{c} = (2, 3, m)$ ，若 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 共面，则实数 $m =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7、设随机变量ξ服从正态分布 $N (4, 9)$ ，若 $P (ξ \geq 6) = 0.2$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $P (ξ \leq 2) = 0.2$ ，标准差 $σ = 4$ B、 $P (ξ > 2) = 0.8$ ，标准差 $σ = 3$ C、 $P (ξ > 2) = 0.8$ ，标准差 $σ = 9$ D、 $P (ξ \leq 4) = 0.2$ ，标准差 $σ = 3$

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8、已知变量 $x$ 与 $y$ 的数据如下表所示，若 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程是 $\hat{y} = 1.2 x + 8.4$ ，则表中 $m =$ （）
$x$
1
2
3
4
5
$y$
10
11
$m$
13
15

A、11 B、12 C、12.5 D、13

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9、直线 $\sqrt{3} x - y + 1 = 0$ 的倾斜角是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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10、欧拉是伟大的数学家，也是最多产的数学家，他在数论、复变函数、变分法、拓扑学、微分方程、力学等等领域都有杰出贡献.1765年，欧拉在他的著作《三角形的几何学》中指出，任意三角形的外心、垂心和重心位于同一直线上（这条直线被称为三角形的欧拉线），此外，外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半．为证明以上结论，我们作以下探究：
如图，点O、G、H分别为△ $A B C$ 的外心、重心、垂心．

(1)、求证： $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ ；

(2)、求证： $\vec{O G} = \frac{1}{3} (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C})$ ；

(3)、求证： $\vec{O H} = \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C}$ ．
注：①重心：三边中线的交点，重心将中线长度分成2：1；
②垂心：三条高线的交点，高线与对应边垂直；
③外心：三条中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．

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11、如下图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是等腰梯形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D, B C / / A D$ ， $A B = B C = C D = 1, P A = A D = 2$ ．

(1)、求证： $B D ⊥$ 平面PAB；

(2)、点 $Q$ 为PA上一点， $\frac{P Q}{P A} = \frac{1}{3}$ ，求证： $P C / /$ 平面BDQ；

(3)、点 $M$ 为PD的中点，求AM与平面PBD所成角的正弦值.

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12、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为 $a, b, c, ∠ A B C$ 的平分线BD交AC于点 $D$ ．

(1)、求证： $\frac{A D}{C D} = \frac{c}{a}$ ；

(2)、若 $\sqrt{3} c \sin B + b \cos C = a + c$ ．
（ⅰ）求 $B$ ；
（ⅱ）若 $a = 2 c, B D = 1$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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13、为了解学生体育运动时间，督促学生加强锻炼，甲、乙两个班的班主任分别对所在班学生进行体育锻炼时长调查．将甲班50名学生的周平均体育锻炼时长（单位：小时）数据分成4组：[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]，根据分组数据制成了如下图所示的频率分布直方图．

(1)、求a的值，并估计甲班学生周平均体育锻炼时长的平均数；

(2)、乙班48名学生中周平均体育锻炼时长在8小时以上的有16人，用频率估计概率，现从甲乙两个班中各随机抽查一位学生，求其中至少有一位学生的周平均体育锻炼时长在8小时以上的概率．

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14、（1）已知复数 $z = 3 + b i$ （其中 $i$ 为虚数单位）满足 $| z - 2 i | = 5$ ，求实数 $b$ 的值；
（2）在复数范围内，解方程： $5 x^{2} - 2 x + 1 = 0$ ．

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15、如图，已知 $A D ⊥$ 平面 $A B C, A C ⊥ B C, A C = B C = 2 A D = 2$ ， $E, F$ 分别为棱 $B D, A C$ 上的动点（含端点），则线段 $E F$ 长度的最小值为.

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16、若复数 $z = a + b i$ （其中 $i$ 为虚数单位， $a, b \in R, b \neq 0$ ）满足 $z + \frac{4}{z}$ 为实数，则 $z \cdot \bar{z} =$ ．

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17、在平面直角坐标系中，已知 $O$ 为原点，点 $A (1, 2), B (2, 1)$ ，则 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B}$ 夹角的余弦值 $\cos < \vec{O A}, \vec{O B} > =$ ．

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18、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，M为棱 $C_{1} D_{1}$ 的中点， $N$ 为棱 $C C_{1}$ 上（含端点）的动点，则下列说法中，不正确的是（）

A、当 $N$ 为棱 $C C_{1}$ 上的中点时，平面 $A_{1} M N$ 经过顶点 $B$ B、当 $N$ 为棱 $C C_{1}$ 上的中点时，则 $A N / /$ 平面 $A_{1} D M$ C、当且仅当点 $N$ 运动到顶点 $C$ 时，三棱锥 $A - A_{1} M N$ 的体积最大 D、棱 $C C_{1}$ 上存在点 $N$ ，使得 $| B N | + | M N | = 2 \sqrt{3}$

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19、已知函数 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{3})$ ，则下列说法正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 的一条对称轴为 $x = \frac{π}{12}$ B、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{6}]$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 的图象可由 $g (x) = 2 \sin 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{5π}{6}$ 个单位得到 D、方程 $f (x) - 1 = 0$ 在区间 $(0, 2 π]$ 上恰有三个不等的实根

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20、某中学三个年级学生共2000人，且各年级人数比例如以下扇形图．现因举办校庆活动，以分层抽样的方式从中随机选出志愿服务小组，已知选出的志愿服务小组中高一学生有32人，则下列说法正确的有（）

A、该学校高一学生共800人 B、志愿服务小组共有学生96人 C、志愿服务小组中高三学生共有20人 D、某高三学生被选入志愿服务小组的概率为 $\frac{1}{25}$

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$x$	1	2	3	4	5
$y$	10	11	$m$	13	15