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相关试卷

1、已知 $\vec{A B} = (- 2, 1, 4), \vec{A C} = (4, 2, 0), \vec{A P} = (1, - 2, 1), \vec{A Q} = (0, 4, 4)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{A P}$ 是平面 $A B C$ 的一个法向量 B、 $A, B, C, Q$ 四点共面 C、 $\vec{P Q} ∥ \vec{B C}$ D、 $B C = \sqrt{53}$

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2、点 $P (- 2, - 1)$ 到直线 $l : (1 + 3 λ) x + (1 + λ) y - 2 - 4 λ = 0 (λ \in R)$ 的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（）

A、 $\sqrt{13}$ ； $3 x + 2 y - 5 = 0$ B、 $\sqrt{11}$ ； $3 x + 2 y - 5 = 0$ C、 $\sqrt{13}$ ； $2 x - 3 y + 1 = 0$ D、 $\sqrt{11}$ ； $2 x - 3 y + 1 = 0$

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3、以下各组向量中的三个向量，不能构成空间基底的是（）

A、 $\vec{a} = (1, 0, 0)$ ， $\vec{b} = (0, 2, 0)$ ， $\vec{c} = (\frac{1}{2}, - \sqrt{2}, 0)$ B、 $\vec{a} = (1, 0, 0)$ ， $\vec{b} = (0, 1, 0)$ ， $\vec{c} = (0, 0, 2)$ C、 $\vec{a} = (1, 0, 1)$ ， $\vec{b} = (0, 1, 1)$ ， $\vec{c} = (2, 1, 2)$ D、 $\vec{a} = (1, 1, 1)$ ， $\vec{b} = (0, 1, 0)$ ， $\vec{c} = (1, 0, 2)$

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4、过点 $P (0, - 1)$ 作直线 $l$ ，若直线 $l$ 与连接 $A (- 2, 1)$ ， $B (2 \sqrt{3}, 1)$ 两点的线段总有公共点，则直线 $l$ 的倾斜角范围为（）

A、 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{6}]$ B、 $[\frac{π}{6}, \frac{3 π}{4}]$ C、 $[0, \frac{π}{6}] \cup [\frac{3 π}{4}, π)$ D、 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{2}] \cup [\frac{3 π}{4}, π)$

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5、如图，空间四边形 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，点M在 $O A$ 上，且 $\vec{O M} = \frac{2}{3} \vec{O A}$ ，点N为 $B C$ 中点，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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6、已知 $\vec{a} = (1, 2, - y), \vec{b} = (x, 1, 2)$ ，且 $(\vec{a} + 2 \vec{b})$ $∥$ $(2 \vec{a} - \vec{b})$ ，则（）

A、 $x = \frac{1}{3}, y = 1$ B、 $x = \frac{1}{2}, y = - 4$ C、 $x = 2, y = \frac{1}{4}$ D、 $x = 1, y = - 1$

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7、已知 $A (1, 2, - 3)$ ，则点A关于 $x O y$ 平面的对称点的坐标是（）

A、 $(- 1, 2, - 3)$ B、 $(1, 2, 3)$ C、 $(- 1, 2, 3)$ D、 $(- 1, - 2, 3)$

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8、已知正数a，b满足 $a \geq \frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ ， $b \geq \frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ ，则（）

A、 $a b \geq 3$ B、 ${(a + b)}^{2} \geq 12$ C、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} < \sqrt{2}$

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9、莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形 $A B C$ 的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知 $A, B$ 两点间的距离为2，点 $P$ 为 $\overset{⌢}{A B}$ 上的一点，则 $\vec{P A} \cdot (\vec{P B} + \vec{P C})$ 的最小值为．

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10、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 在区间 $[- 1, 0]$ 上单调递增，且满足 $f (4 - x) = f (x)$ ， $f (2 - x) = - f (x)$ ，则（）

A、 $\sum_{k = 1}^{10} f (k) = 0$ B、 $f (0.9) + f (1.2) < 0$ C、 $f (2.5) > f (\log_{2} 80)$ D、 $f (\sin 1) < f (\ln \frac{1}{2})$

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11、现定义如下：当 $x \in (n, n + 1)$ 时 $(n \in N)$ ，若 $f (x + 1) = f^{'} (x)$ ，则称 $f (x)$ 为延展函数.已知当 $x \in (0, 1)$ 时， $g (x) = e^{x}$ 且 $h (x) = x^{10}$ ，且 $g (x), h (x)$ 均为延展函数，则以下结论（）
（1）存在 $y = k x + b (k, b \in R, k, b \neq 0)$ 与 $y = g (x)$ 有无穷个交点
（2）存在 $y = k x + b (k, b \in R, k, b \neq 0)$ 与 $y = h (x)$ 有无穷个交点

A、（1）（2）都成立 B、（1）（2）都不成立 C、（1）成立（2）不成立 D、（1）不成立（2）成立.

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12、在 $△ A B C$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ，点O是 $△ A B C$ 的外心，则 $\vec{B O} \cdot \vec{A C} =$ ．

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13、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，点P是 $A A_{1}$ 的中点，点M是正方体内（含表面）的动点，且满足 $D_{1} M ⊥ C P$ ，下列选项正确的是（）

A、动点M在侧面 $A A_{1} B_{1} B$ 内轨迹的长度是 $\sqrt{5}$ B、三角形 $A_{1} D_{1} M$ 在正方体内运动形成几何体的体积是2 C、直线 $D_{1} M$ 与 $B C$ 所成的角为 $α$ ，则 $\tan α$ 的最小值是 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、存在某个位置M，使得直线 $B D_{1}$ 与平面 $A_{1} D_{1} M$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$

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14、已知事件A，B满足 $P (A) = 0.2$ ， $P (B) = 0.6$ ，则（）

A、事件A与B可能为对立事件 B、若A与B相互独立，则 $P (\bar{A} B) = 0.48$ C、若A与B互斥，则 $P (A \cup B) = 0.8$ D、若A与B互斥，则 $P (A B) = 0.12$

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15、记 $R$ 上的可导函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，满足 $x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f (x_{n})}{f^{'} (x_{n})} (n \in N^{*})$ 的数列 $\{x_{n}\}$ 称为函数 $f (x)$ 的“牛顿数列”.已知数列 $\{x_{n}\}$ 为函数 $f (x) = x^{2} - x$ 的牛顿数列，且数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2, a_{n} = ln \frac{x_{n}}{x_{n} - 1}, x_{n} > 1$ .

(1)、求 $a_{2}$ ；

(2)、证明数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列并求 $a_{n}$ ；

(3)、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若不等式 ${(- 1)}^{n} \cdot t S_{n} - 14 \leq S_{n}^{2}$ 对任意的 $n \in N^{*}$ 恒成立，求t的取值范围.

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16、动点M到定点 $F (1, 0)$ 的距离与它到直线 $x = 4$ 的距离之比为 $\frac{1}{2}$ ，记点M的轨迹为曲线 $Γ$ .若 $P (x_{0}, y_{0})$ 为 $Γ$ 上的点，且 $y_{0} \neq 0$ .

(1)、求曲线 $Γ$ 的轨迹方程；

(2)、已知 $A (- 2, 0)$ ， $B (2, 0)$ ，直线 $l$ 交曲线 $Γ$ 于 $C, D$ 两点，点 $C$ 在 $x$ 轴上方.
①求证： $k_{P A} \cdot k_{P B}$ 为定值；
②若 $k_{B D} = 3 k_{A C}$ ，直线 $l$ 是否过定点，若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由.

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17、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A A_{1} C_{1} C ⊥$ 平面 $A B C, A B = A C = B C = A A_{1} = 2$ ， $A_{1} B = \sqrt{6}$ ．

(1)、设 $D$ 为 $A C$ 中点，证明： $A C ⊥$ 平面 $A_{1} D B$ ；

(2)、求平面 $A_{1} A B_{1}$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 夹角的余弦值．

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18、人的性格可以大体分为“外向型”和“内向型”两种，树人中学为了了解这两种性格特征与人的性别是否存在关联，采用简单随机抽样的方法抽取90名学生，得到如下数据：

外向型
内向型
男性
45
15
女性
20
10

(1)、以上述统计结果的频率估计概率，从该校男生中随机抽取2人、女生中随机抽取1人担任志愿者．设这三人中性格外向型的人数为 $X$ ，求 $X$ 的数学期望．

(2)、对表格中的数据，依据 $α = 0.1$ 的独立性检验，可以得出独立性检验的结论是这两种性格特征与人的性别没有关联．如果将表格中的所有数据都扩大为原来10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断这两种性格特征与人的性别之间的关联性，得到的结论是否一致？请说明理由．
附：参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ．
$α$
0.1
0.05
0.01
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635

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19、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $a sin C = c sin (A + \frac{π}{3})$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 的中线 $A D = \sqrt{3}$ ，求 $b + c$ 的最大值．

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20、我们通常用“曲率”来衡量曲线弯曲的程度，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大．工程规划中常需要计算曲率，如高铁的弯道设计．若 $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数， $f^{″} (x)$ 是 $f^{'} (x)$ 的导函数，那么曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 处的曲率 $K = \frac{| f^{″} (x_{0}) |}{{[1 + {(f^{'} (x_{0}))}^{2}]}^{\frac{3}{2}}}$ ．已知曲线 $f (x) = \sin x + \cos x$ ，则曲线 $f (x)$ 在点 $(\frac{π}{4}, \sqrt{2})$ 处的曲率为；若 $x \in (0, \frac{π}{2})$ ，则曲线 $f (x)$ 的曲率的平方 $K^{2}$ 的最大值为．

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	外向型	内向型
男性	45	15
女性	20	10

$α$	0.1	0.05	0.01
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635