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相关试卷

1、已知线段 $B M, C N$ 为 $△ A B C$ 的两条内角平分线，若 $\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} \cdot \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|} = \frac{1}{2}$ ，且 $3 \vec{C N} \cdot \vec{B M} = \vec{C B} \cdot \vec{B M}$ ，则 $sin C$ 的值为.

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2、已知正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，下底面边长为 $\sqrt{3}$ ，侧面与下底面所成二面角的大小为 $45 °$ ，则该正四棱台的体积可能为（写出一个即可）

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3、某学校有高二学生600人，其中男生360人，女生240人.有人为了获得该校全体高二学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取了容量为100的总样本（观测数据单位： $cm$ ），若已知男生样本的平均数为172，女生样本的平均数为162，则总样本的平均数是.

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4、在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为棱 $C D$ 的中点， $N$ 为线段 $B M$ 上的动点（含端点），则下列选项正确的是（）

A、若直线 $A_{1} M$ 与直线 $A N$ 所成角为 $α$ ，则 $cos α$ 的最大值为 $\frac{2}{3}$ B、若直线 $C_{1} N$ 与平面 $A B C D$ 所成角为 $β$ ，则 $\sin β$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{30}}{6}$ C、若点 $N$ 到平面 $A B C_{1} D_{1}$ 的距离为 $d$ ，则 $d + C N$ 的最小值为 $\frac{2 \sqrt{3} + 4 \sqrt{2}}{5}$ D、若过 $A_{1}, N, C$ 三点的平面截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所得截面面积为 $S$ ，则 $S$ 的最小值为 $2 \sqrt{6}$

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5、为了实现绿色发展，避免浪费能源，某市政府计划对居民用电采用阶梯收费方法.为此，相关部门在该市随机调查了 $1500$ 户居民六月份的用电量（单位： $kW \cdot h$ ），以了解这个城市家庭用电量的情况.通过收集､整理数据，得到如下频率分布直方图.则下列选项正确的是（）

A、直方图中 $x = 0.0044$ B、在被调查的用户中，用电量不超过 $200 kW \cdot h$ 的户数为 $900$ C、这 $1500$ 户居民六月份用电量的平均数小于中位数 D、估计该市居民六月份用电量的第 $45$ 百分位数约为 $175$

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6、在复平面内，满足下列条件的复数 $z$ 所对应的点与点 $Z_{1} (3, 4), Z_{2} (- 3, 4), Z_{3} (4, 3)$ 在同一个圆上的是（）

A、 $z = 1 + 6 i$ B、 $i \cdot z = 4 - 3 i$ C、 $z \cdot \bar{z} = 25$ D、 $z^{2} = 5 + 12 i$

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7、设 $A, B, C$ 是样本空间 $Ω$ 中三个概率大于0的随机事件，则下列选项错误的是（）

A、互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件 B、事件 $A, B$ 相互独立与 $A, B$ 互斥不能同时成立 C、若 $P (A B) = P (A) P (B)$ 成立，则事件 $A$ 与 $B$ 相互独立 D、若 $P (A B C) = P (A) P (B) P (C)$ 成立，则事件 $A, B, C$ 一定两两独立

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8、如图所示， $A, B, P, Q$ 在同一个铅垂面，在山脚 $A$ 测得山顶 $P$ 的仰角 $∠ Q A P$ 为 $60^{\circ}, ∠ Q A B = 30^{\circ}$ ，斜坡 $A B$ 长为 $m$ ，在 $B$ 处测得山顶 $P$ 的仰角 $∠ C B P$ 为 $α$ ，则山的高度 $P Q$ 为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} m sin (α + 30^{\circ})}{2 sin (α + 60^{\circ})}$ B、 $\frac{\sqrt{3} m sin (α - 30^{\circ})}{2 sin (α + 60^{\circ})}$ C、 $\frac{\sqrt{3} m sin (α + 30^{\circ})}{2 sin (α - 60^{\circ})}$ D、 $\frac{\sqrt{3} m sin (α - 30^{\circ})}{2 sin (α - 60^{\circ})}$

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9、抛掷两枚质地均匀的骰子1次，记 $A =$ “出现点数之和为偶数”， $B =$ “出现点数之积为偶数”，则（）

A、 $P (A) = P (B)$ B、 $P (A \cup B) = \frac{3}{4}$ C、 $P (A B) = \frac{1}{4}$ D、 $P (A) + P (B) = 1$

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10、一条河的两岸平行，河宽 $600 m$ ，一艘船从河岸边的某处出发到河对岸.设船在静水中行驶的速度的大小为 $4 km / h$ ，水流速度的大小为 $2 km / h$ .当船以最短距离到对岸时，船行驶所用的时间（保留两位小数）为（）

A、 $0.17 h$ B、 $0.15 h$ C、 $0.13 h$ D、 $0.10 h$

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11、在下列四组数中，方差最大的一组是（）
① $4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4$ ；
② $3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5$ ；
③ $2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 6$ ；
④ $1, 1, 1, 1, 4, 7, 7, 7, 7$ .

A、① B、② C、③ D、④

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12、用斜二测画法画水平放置的边长为1的正方形，所得直观图的周长为（）

A、4 B、3 C、 $\sqrt{2} + 1$ D、2

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13、已知 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (3, y)$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $y =$ （）

A、6 B、4 C、2 D、-6

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14、已知复数 $z = - 1 - 2 i$ ，则 $z$ 的实部为（）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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15、若函数 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上有定义，且对于任意不同的 $x_{1}, x_{2} \in [a, b]$ ，都有 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| < k |x_{1} - x_{2}|$ ，则称 $f (x)$ 为 $[a, b]$ 上的“k类函数”

(1)、若 $f (x) = x^{2}$ ，判断 $f (x)$ 是否为 $[1, 2]$ 上的“4类函数”；

(2)、若 $f (x) = \frac{2}{e} \ln x + (a + 1) x + \frac{1}{x}$ 为 $[1, e]$ 上的“2类函数”，求实数a的取值范围；

(3)、若 $f (x)$ 为 $[1, 2]$ 上的“2类函数”且 $f (1) = f (2)$ ，证明： $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in [1, 2]$ ， $|f (x_{1}) - f (x_{2})| < 1$ .

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16、在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别是x轴和y轴上的动点，且 $| A B | = \sqrt{3},$ 动点 $P$ 满足 $\sqrt{3} \vec{O P} = 2 \vec{O A} + \vec{O B}$ ，记P的轨迹为C．

(1)、求C的方程；

(2)、设曲线C与x轴的交点为A₁ ， A₂（A₁在A₂的左边），过点Q（1，0）且不与x轴平行的直线l与C相交于M，N两点，记直线A₁M，A₂N的斜率分别为k₁和k₂ ，求 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 的值．

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17、已知四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的上、下底面分别是边长为 $2$ 和 $4$ 的正方形，平面 $A D D_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A A_{1} = 3$ ， $D D_{1} = \sqrt{13}$ ， $\cos ∠ A_{1} D_{1} D = - \frac{2 \sqrt{13}}{13}$ ，点 $P$ 为 $D D_{1}$ 的中点，点 $Q$ 在棱 $B C$ 上，且 $B Q = 3 Q C$ ．

(1)、证明： $P Q / /$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、求二面角 $Q - A_{1} P - D_{1}$ 的正弦值．

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18、某公司有5台旧仪器，其中有2台仪器存在故障，

(1)、现有一位工人从这5台仪器中随机选择3台进行检测，记ξ为这3台仪器中存在故障的台数，求ξ的分布列和数学期望；

(2)、为了提高生产，该公司拟引进20台此种新仪器，若每台仪器的运行相互独立，且每台机器在运行过程中发生问题的概率为0.03，记X为这20台新仪器在运行过程中发生故障的台数，借助泊松分布，估计

X = 3

时的概率.

附：①若随机变量ξ的分布列为 $P (ξ = k) = \frac{λ^{k}}{k!} e^{- λ}, k = 0, 1, 2, \dots,$ 则称随机变量ξ服从泊松分布．

②设 $η ~ B (n, p)$ ，当 $p \leq 0.05$ 且 $n \geq 20$ 时，二项分布可近似看成泊松分布．即 $P (η = k) = C_{n}^{k} p^{k} {(1 - p)}^{n - k} \approx \frac{λ^{k}}{k!} e^{- λ}$ ，其中 $λ = E (η)$ ．

③泊松分布表（局部）

表中列出了 $P (ξ = k) = \frac{λ^{k}}{k!} e^{- λ}$ 的值（如： $λ = 0.5$ 时， $P (ξ = 5) = 0.000158$

$λ$ $k$	…	0.5	0.6	0.7	…
0	…	0.606531	0.548812	0.496585	…
1	…	0.303265	0.329287	0.347610	…
2	…	0.075816	0.098786	0.121663	…
3	…	0.012636	0.019757	0.028388	…
4	…	0.001580	0.002964	0.004968	…
5	…	0.000158	0.000356	0.000696	…
6	…	0.000013	0.000036	0.000081	…
7	…	0.000001	0.000003	0.000008	…

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19、已知 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，且 $a_{5} ＝ 3 a_{1}$ ， $a_{1} + a_{5} + a_{14} ＝ a_{10} + 24$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $2^{n} \cdot λ \geq a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ 恒成立，求实数λ的取值范围．

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20、已知正四面体的棱长为 $2 \sqrt{3}$ ，以其中一个顶点为球心作半径为3的球，则所得球面与该正四面体表面的交线长之和为．

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