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相关试卷

1、在棱长为 $1$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 满足 $\vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A D_{1}}$ ，其中 $λ \in [0, 1]$ ， $μ \in [0, 1]$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $μ = 1$ 时，对任意 $λ \in [0, 1]$ ， $C P //$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ 恒成立 B、当 $λ = 0$ 时， $P C$ 的最小值为 $\sqrt{2}$ C、当 $λ = 0$ 时， $B_{1} P$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成的最大角的正切值为 $2 \sqrt{2}$ D、当 $λ = μ = \frac{1}{2}$ 时，四棱锥 $P - A B C D$ 的外接球的表面积是 $\frac{9 π}{4}$

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2、已知事件 $A, B$ 发生的概率分别为 $P (A) = \frac{1}{4}$ ， $P (B) = \frac{1}{3}$ ，则（）

A、一定有 $A \subseteq B$ B、 $\frac{1}{3} \leq P (A \cup B) \leq \frac{7}{12}$ C、若 $A$ 与 $B$ 互斥，则 $P (\bar{A} \bar{B}) = \frac{1}{2}$ D、若 $A$ 与 $B$ 相互独立，则 $P (A \cup B) = \frac{1}{2}$

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3、若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 是任意的非零向量，下列命题中正确的是（）

A、若 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ B、 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$ C、若 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ D、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ， $\vec{b} // \vec{c}$ ，则 $\vec{a} // \vec{c}$

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4、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x - \frac{π}{3}) (ω > \frac{1}{2} ， x \in$ $R)$ ，若 $f (x)$ 的图象的任意一条对称轴与 $x$ 轴交点的横坐标均不属于区间 $(3 π, 4 π)$ ，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{2}, \frac{2}{3}] \cup [\frac{8}{9}, \frac{7}{6}]$ B、 $(\frac{1}{2}, \frac{17}{24}] \cup [\frac{17}{18}, \frac{29}{24}]$ C、 $[\frac{5}{9}, \frac{2}{3}] \cup [\frac{8}{9}, \frac{11}{12}]$ D、 $[\frac{11}{18}, \frac{17}{24}] \cup [\frac{17}{18}, \frac{23}{24}]$

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5、如图，某山山顶与山底的垂直部分为 $M N$ （记山顶为点 $M$ ，山底为点 $N$ ），首先测量人员位于点 $A$ ，测得点 $N$ 位于正北方向，测得点 $M$ 的仰角为 $30 °$ ，然后测量人员沿北偏东 $75 °$ 方向行走了 $160 \sqrt{6}$ 米到达点 $B$ ，此时测得 $∠ A B N = 60 °$ ，则此山的高度为（）

A、 $160 \sqrt{2}$ 米 B、 $160 \sqrt{3}$ 米 C、 $180 \sqrt{2}$ 米 D、 $180 \sqrt{3}$ 米

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6、如图，在三棱锥 $S - A B C$ 中， $S C = A B = 2$ ， $E$ 、 $F$ 分别是 $S A$ 、 $B C$ 的中点，且满足 $E F = \sqrt{3}$ ，则异面直线 $S C$ 与 $A B$ 所成的角等于

A、 $60 °$ B、 $120 °$ C、 $120 °$ 或者 $60 °$ D、 $30 °$

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7、已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $m \subset α ， n \subset α$ ， $m / / β$ ， $n / / β$ ，则 $α // β$ B、若 $α ⊥ β$ ， $n / / α$ ，则 $n ⊥ β$ C、若 $α // β$ ， $m / / α$ ，则 $m / / β$ D、若 $m ⊥ α$ ， $n \subset β$ ， $m / / n$ ，则 $α ⊥ β$

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8、若数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 的方差为 $2$ ，则数据 $2 x_{1}, 2 x_{2}, 2 x_{3}, 2 x_{4}, 2 x_{5}$ 的方差为（）

A、 $2$ B、 $4$ C、 $6$ D、 $8$

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9、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 2)$ ， $\vec{b} = (m, 1)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直，则实数 $m =$ （）

A、 $2$ B、 $- 2$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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10、若复数 $z$ 满足 $z = \frac{1 - i}{1 + i}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $- i$ D、 $i$

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11、据报道，2024年4月15日，正值全民国家安全教育日，田湾核电8号机组穹顶球冠吊装成功（如图（1）），标志着国内最重核电机组薄壳钢衬里穹顶吊装工作安全完成，有力推动了我国产业结构和能源结构的调整，助力“双碳”目标顺利实现.报道中提到的球冠是一个空间几何概念，它是指球面被一个平面所截得的一部分（不包含截面），垂直于截面的直径被截得的部分是球冠的高.球冠面积等于截得它的球面上大圆（过球心的截面圆）周长与球冠的高的乘积.和球冠相对应的几何体叫球缺，它是指球体被一个平面所截得的一部分，截面是球缺的底.当球缺的高小于球半径时，我们把球缺与以球缺的底为底､以球心为顶点的圆锥所构成的体，称作“球锥”（如图（2））当一个四面体各顶点都在“球锥”表面上时，称这个四面体内接此“球锥”.如图（2），设一个“球锥”所在球的半径为 $R$ ，其中球冠高为 $h (h < R)$ .

(1)、类比球体积公式的推导过程（可参考图（3）），写出“球锥”的体积公式；

(2)、在该“球锥”中，当球缺的体积与圆锥的体积相等时，求 $\frac{h}{R}$ 的值；

(3)、已知一个棱长为 $a$ 的正四面体内接此“球锥”，并且有一个顶点与球心重合，若满足条件的 $a$ 有且只有一个，求 $\frac{h}{R}$ 的取值范围.

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12、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，满足 $c = a cos B + \frac{3}{5} b$ .

(1)、求 $cos A$ 的值；

(2)、当 $B C$ 与 $B C$ 边上的中线长均为2时，求 $△ A B C$ 的周长；

(3)、当 $△ A B C$ 内切圆半径为1时，求 $△ A B C$ 面积的最小值.

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13、某商店在“五一”期间举办促销活动，设立了抽奖环节，在一个不透明的抽奖箱里放置6个大小质地完全相同的三种颜色的球，其中1个白球，2个红球，3个黑球.凡在本店累计消费满百元的顾客，可以持购物凭证参与一次抽奖活动.抽奖采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，若取到两球同色，则称为中奖，可以领取一张优惠券；若取到两球异色，则称为不中奖.一次抽奖结束后，取出的球放回抽奖箱，供下一位顾客抽奖.

(1)、若一位顾客参与一次抽奖活动，求这位顾客中奖的概率；

(2)、现有甲､乙两位顾客各参与一次抽奖活动，求两人中至少有一人中奖的概率.

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14、在 $△ A B C$ 中， $\vec{A D} = \frac{2}{3} \vec{A B}, \vec{A E} = \frac{1}{2} \vec{A C}, \vec{C F} = λ \vec{C B}, λ \in (0, 1)$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b}$ .

(1)、用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示 $\vec{C D}, \vec{E F}$ ；

(2)、若 $A B = 3, A C = 2, ∠ C A B = 60^{\circ}$ ，则当 $C D ⊥ E F$ 时，求 $λ$ 的值.

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15、在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D, B C$ $∥$ $A D, A B ⊥ A D, A D = 2 A B = 2 B C$ ， $E$ 为 $P D$ 中点， $F$ 为棱 $P C$ 上任意一点.

(1)、求证： $C E$ $∥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求证： $A F ⊥ C D$ .

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16、已知线段 $B M, C N$ 为 $△ A B C$ 的两条内角平分线，若 $\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} \cdot \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|} = \frac{1}{2}$ ，且 $3 \vec{C N} \cdot \vec{B M} = \vec{C B} \cdot \vec{B M}$ ，则 $sin C$ 的值为.

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17、已知正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，下底面边长为 $\sqrt{3}$ ，侧面与下底面所成二面角的大小为 $45 °$ ，则该正四棱台的体积可能为（写出一个即可）

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18、某学校有高二学生600人，其中男生360人，女生240人.有人为了获得该校全体高二学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取了容量为100的总样本（观测数据单位： $cm$ ），若已知男生样本的平均数为172，女生样本的平均数为162，则总样本的平均数是.

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19、在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为棱 $C D$ 的中点， $N$ 为线段 $B M$ 上的动点（含端点），则下列选项正确的是（）

A、若直线 $A_{1} M$ 与直线 $A N$ 所成角为 $α$ ，则 $cos α$ 的最大值为 $\frac{2}{3}$ B、若直线 $C_{1} N$ 与平面 $A B C D$ 所成角为 $β$ ，则 $\sin β$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{30}}{6}$ C、若点 $N$ 到平面 $A B C_{1} D_{1}$ 的距离为 $d$ ，则 $d + C N$ 的最小值为 $\frac{2 \sqrt{3} + 4 \sqrt{2}}{5}$ D、若过 $A_{1}, N, C$ 三点的平面截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所得截面面积为 $S$ ，则 $S$ 的最小值为 $2 \sqrt{6}$

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20、为了实现绿色发展，避免浪费能源，某市政府计划对居民用电采用阶梯收费方法.为此，相关部门在该市随机调查了 $1500$ 户居民六月份的用电量（单位： $kW \cdot h$ ），以了解这个城市家庭用电量的情况.通过收集､整理数据，得到如下频率分布直方图.则下列选项正确的是（）

A、直方图中 $x = 0.0044$ B、在被调查的用户中，用电量不超过 $200 kW \cdot h$ 的户数为 $900$ C、这 $1500$ 户居民六月份用电量的平均数小于中位数 D、估计该市居民六月份用电量的第 $45$ 百分位数约为 $175$

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