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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x - b$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ ，求 $a b$ 的最大值.

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2、如图，在棱长为1的正四面体 $A - B C D$ 中， $E$ 是 $A B$ 的中点， $F$ ， $G$ 分别在棱 $A D$ 和 $C D$ 上（不含端点），且 $F G / /$ 平面 $A B C$ .

(1)、证明： $A C / /$ 平面 $E F G$ ；

(2)、若 $F$ 为 $A D$ 中点，求平面 $E F G$ 截该正四面体所得截面的面积；

(3)、当直线 $E G$ 与平面 $B C D$ 所成角为 $\frac{π}{6}$ 时，求 $D G$ .

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列， $a_{1}$ ， 14， $a_{4}$ 成等差数列，且 $a_{5} = a_{2} a_{4}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{n a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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4、甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一个人.则4次传球的不同方法总数为（用数字作答）；4次传球后球在甲手中的概率为.

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5、 ${(2 x - y)}^{5}$ 的展开式中 $x^{2} y^{3}$ 的系数是.(用数字作答)

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6、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，若 $f (2 x - 1) + f (3 - 2 x) = 2$ ，且 $f (x - 2)$ 为偶函数， $f (2) = 2$ ，则（）

A、 $f (x + 4) = f (x)$ B、 $f (2024) = 0$ C、 $f (3) + f (9) = 2$ D、 $\sum_{i = 1}^{25} f (i) = 25$

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7、已知 $F$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的右焦点， $P$ 为其左支上一点，点 $A (0, - 6)$ ，则（）

A、双曲线的焦距为6 B、点 $F$ 到渐近线的距离为2 C、 $|P A| + |P F|$ 的最小值为 $3 \sqrt{5} + 4$ D、若 $|P F| = 8$ ，则 $△ O P F$ 的面积为 $3 \sqrt{15}$

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8、下列论述正确的是（）

A、样本相关系数 $r = 0$ 时，表明成对样本数据间没有线性相关关系 B、由样本数据得到的经验回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 必过中心点 $(\bar{x}, \bar{y})$ C、用决定系数 $R^{2}$ 比较两个回归模型的拟合效果时， $R^{2}$ 越大，表示残差平方和越大，模型拟合效果越差 D、研究某两个属性变量时，作出零假设 $H_{0}$ 并得到2×2列联表，计算得 $χ^{2} \geq x_{0.05}$ ，则有 $95 %$ 的把握能推断 $H_{0}$ 不成立

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9、已知曲线 $C_{1}$ ： $y = x^{2}$ ，曲线 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} + \frac{3}{2} x - \frac{1}{2} y = 0$ ，两曲线在第二象限交于点 $P$ ， $C_{1}$ ， $C_{2}$ 在 $P$ 处的切线倾斜角分别为 $α$ ， $β$ ，则（）

A、 $α + β = \frac{2 π}{3}$ B、 $α + β = \frac{3 π}{4}$ C、 $α + β = \frac{5π}{4}$ D、 $|α - β| = \frac{π}{2}$

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10、若曲线 $y = (a x + 1) ln x$ 有两条过坐标原点的切线，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{1}{e^{2}})$ B、 $(0, e^{2})$ C、 $(- \infty, \frac{1}{e^{2}})$ D、 $(\frac{1}{e^{2}}, e^{2})$

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11、已知向量 $\vec{a} = (- 1, \sqrt{3})$ ，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为（）

A、 $(\sqrt{3}, - 1)$ B、 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, - 1)$ C、 $(1, - \sqrt{3})$ D、 $(\frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$

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12、某圆锥的轴截面是腰长为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2} π$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $π$ D、 $\sqrt{2} π$

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13、已知直线 $m$ 和平面 $α$ ，则“ $m ⊄ α$ ”是“直线 $m$ 与平面 $α$ 无公共点”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14、设随机变量 $X \sim B (16, \frac{3}{4})$ ，则 $X$ 的数学期望为（）

A、3 B、6 C、9 D、12

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15、复数 ${(1 + i)}^{2} =$ （）

A、 $2 - 2 i$ B、 $2 + 2 i$ C、 $- 2 i$ D、 $2 i$

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16、已知 $z_{1}, z_{2} \in C$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $|z_{1} + z_{2}| = |z_{1}| + |z_{2}|$ B、 $|z_{1} \cdot z_{2}| = |z_{1}| \cdot |z_{2}|$ C、 $\bar{z_{1} + z_{2}} = \bar{z_{1}} + \bar{z_{2}}$ D、 $\bar{z_{1} \cdot z_{2}} = \bar{z_{1}} \cdot \bar{z_{2}}$

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17、下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ， $\vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{c}$ B、若 $\vec{a} = \vec{b}$ ，则 $2 \vec{a} < 3 \vec{b}$ C、对任意非零向量 $\vec{a}$ ， $\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ 是和它同向的一个单位向量 D、零向量没有方向

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18、已知向量 $\vec{a} = (4, m)$ ， $\vec{b} = (m - 2, 2)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线，则 $m =$ （）

A、 $- 4$ B、4 C、 $- 2$ D、 $- 2$ 或4

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19、已知函数 $f (x) = e^{x} (x - a e^{x})$ ， $a \in R$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $a = - 1$ 时， $f (x)$ 有唯一零点 B、当 $a > \frac{1}{2}$ 时， $f (x)$ 是减函数 C、若 $f (x)$ 只有一个极值点，则 $a \leq 0$ 或 $a = \frac{1}{2}$ D、当 $a = 1$ 时，对任意实数 $t$ ，总存在实数 $x_{1}, x_{2}$ ，使得 $f^{'} (t) = \frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}}$

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20、克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）是古希腊天文学家、地理学家、数学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号. 如图，半圆 $O$ 的直径为2cm， $A$ 为直径延长线上的点， $O A =$ 2 cm， $B$ 为半圆上任意一点，且三角形 $A B C$ 为正三角形.

(1)、当 $∠ A O B$ $= \frac{π}{3}$ 时，求四边形 $O A C B$ 的周长；

(2)、当 $B$ 在什么位置时，四边形 $O A C B$ 的面积最大，并求出面积的最大值；

(3)、若 $O C$ 与 $A B$ 相交于点 $D$ ，则当线段 $O C$ 的长取最大值时，求 $\vec{O D} \cdot \vec{A B}$ 的值.

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