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相关试卷

1、英国数学家泰勒发现了如下公式： $e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots + \frac{x^{n}}{n!} + \dots$ ，其中 $n! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times \dots \times n$ ， $e$ 为自然对数的底数， $e = 2.71828 \dots$ ．以上公式称为泰勒公式．设 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ， $g (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题：

(1)、证明： $e^{x} \geq 1 + x$ ；

(2)、设 $x \in (0, + \infty)$ ，证明： $\frac{f (x)}{x} < g (x)$ ；

(3)、设实数 $k$ 使得 $f (x) > k (x + \frac{x^{3}}{6})$ 对 $x \in (0, + \infty)$ 恒成立，求 $k$ 的最大值．

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2、红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害.每只红铃虫的平均产卵数y（个）和平均温度x（℃）有关，现收集了7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.

(1)、根据散点图判断， $y = b x + a$ 与 $y = c e^{d x}$ （其中e为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数y（个）关于平均温度 $x$ （℃）的回归方程类型?（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出 $y$ 关于 $x$ 的回归方程；
附：回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ .
参考数据 $(z = \ln y)$
$\sum_{i = 1}^{7} x_{i}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{7} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})$
$\sum_{i = 1}^{7} (x_{i} - \bar{x}) (z_{i} - \bar{z})$
$\bar{x}$
$\bar{y}$
$\bar{z}$
5215
2347.3
33.6
27
81.3
3.6

(2)、现在有10根棉花纤维，其中有6根为长纤维，4根为短纤维，从中随机抽取3根棉花纤维，设抽到的长纤维棉花的根数为X，求X的分布列.

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3、已知函数 $f (x) = \ln x - x$ .

(1)、求函数 $g (x) = f (x) + 2 x - 4 \ln x - \frac{2}{x}$ 的单调区间和极值；

(2)、若不等式 $f (x) \leq (a - 1) x + 1$ 在 $(0, + \infty)$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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4、（1）已知 ${(2 x^{2} + \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式中共有7项.求展开式中的常数项；
（2）已知 $m \in N^{*}$ ， $n \in N^{*}$ ， $f (x) = {(1 + x)}^{m} + {(1 + x)}^{n}$ 的展开式中含 $x$ 项的系数为 $5$ ，含 $x^{2}$ 项的系数为 $4$ ，求 $f (0.003)$ 的近似值.（精确到0.01）

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5、2023年秋季，支原体肺炎在我国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年人．某市医院传染病科从该市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽查了200人，并调查其患病情况，将调查结果整理如下：
有慢性疾病
没有慢性疾病
合计
未感染支原体肺炎
40
80
感染支原体肺炎
40
合计
120
200

(1)、完成 $2 \times 2$ 列联表，并根据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，分析70岁以上老年人感染支原体肺炎与自身慢性疾病是否有关？

(2)、用样本估计总体，并用本次抽查中样本的频率代替概率，从本市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽取3人，设抽取的3人中感染支原体肺炎的人数为X，求X的分布列，数学期望 $E (X)$ 和方差 $D (X)$ ．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．
$α$
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

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6、已知函数 $f (x) = x^{3} - {log}_{a} x$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），则（）

A、当 $a = e$ 时，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $2 x - y - 1 = 0$ B、函数 $f (x)$ 恒有1个极值点 C、若曲线 $y = f (x)$ 有两条过原点的切线，则 $e^{- \frac{1}{6 e^{4}}} < a < 1$ D、若 $f (x)$ 有两个零点，则 $1 < a < e^{\frac{1}{3 e}}$

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7、已知 ${(1 - 2 x)}^{7} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5} + a_{6} x^{6} + a_{7} x^{7}$ ，则下列命题正确的是（）

A、 $a_{7} = 128$ ； B、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6} + a_{7} = - 2$ ； C、 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + 4 a_{4} + 5 a_{5} + 6 a_{6} + 7 a_{7} = - 14$ ； D、 $a_{0} + 2 a_{1} + 3 a_{2} + 4 a_{3} + 5 a_{4} + 6 a_{5} + 7 a_{6} + 8 a_{7} = - 15$ ．

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8、有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列说法中正确的有（）

A、任取一个零件，它是次品的概率是0.0525 B、任取一个零件，它是次品的概率是0.16 C、如果取到的零件是次品，则它是第1台车床加工的概率为 $\frac{2}{7}$ D、如果要求加工次品的操作员承担相应的责任，那么第1台车床的操作员应承担的份额小于第2台车床的操作员应承担的份额

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9、若对任意的 $x_{1}, x_{2} \in (m, + \infty)$ 且 $x_{1} < x_{2} ， \frac{x_{1} \ln x_{2} - x_{2} \ln x_{1}}{x_{2} - x_{1}} < 2$ ，则实数m的取值范围是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $[\frac{1}{e}, e]$ C、 $[\frac{1}{e}, + \infty)$ D、 $(\frac{1}{e}, + \infty)$

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10、已知随机变量 $X$ 的分布列如下：
$X$
2
3
6
$P$
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{3}$
$a$
则 $D (3 X + 2)$ 的值为（）

A、20 B、18 C、8 D、6

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11、2024年中国足球乙级联赛陕西联合的主场火爆，一票难求，主办方设定了三种不同的票价分别对应球场三个不同的区域，五位球迷相约看球赛，则五人中恰有三人在同一区域的不同座位方式共有（）

A、30种 B、60种 C、120种 D、240种

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12、对于数据组 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, \dots, n)$ ，如果由线性回归方程得到的自变量 $x_{i}$ 的估计值是 ${\hat{y}}_{i}$ ，那么将 $y_{i} - \hat{y}$ 称为样本点 $(x_{i}, y_{i})$ 处的残差.某商场为了给一种新商品进行合理定价，将该商品按事先拟定的价格进行试销，得到表所示数据.若销量 $y$ （单位：件）与单价 $x$ （单位：元）之间的线性回归方程为 $\hat{y} = - 20 x + a$ ，且样本点 $(8.4, 83)$ 处的残差为3，则 $m =$ （）
单价 $x$ /元
8.2
8.4
8.6
8.8
销量 $y /$ 件
84
83
78
m

A、65 B、67 C、73 D、75

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13、某项目工作需要2名服务人员，某集团迅速从人事部选取5人，市场部选取10人组成服务队，为了进一步开展工作，现选取2人作为队长，则2位队长都来自同一部门的前提下，2位队长全部来自市场部的概率为（）．

A、 $\frac{11}{21}$ B、 $\frac{3}{7}$ C、 $\frac{9}{11}$ D、 $\frac{2}{21}$

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14、下列求导数运算中正确的是（）

A、 ${(5^{x})}^{'} = 5^{x}$ B、 ${(\frac{\cos x}{x})}^{'} = - \sin x$ C、 ${(e^{3 x})}^{'} = e^{3 x}$ D、 ${(x^{3} \ln x)}^{'} = 3 x^{2} \ln x + x^{2}$

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15、函数 $f (x) = (x - \frac{1}{x}) ln |x|$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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16、在锐角 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $a^{2} (1 - \sin 2 B) + b^{2} (1 - \sin 2 A) = c^{2}$ ．

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积 $S$ 的取值范围；

(3)、若 $c = 2$ ，且 $a b = p (a \sin A + b \sin B)$ ，求实数 $p$ 的取值范围．

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17、欧拉公式 $e^{x i} = \cos x + i \sin x$ （ $i$ 为虚数单位， $x \in R$ ）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（）

A、 $e^{\frac{π}{2} i}$ 的虚部为1 B、 $e^{\frac{3 π}{4} i} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} i$ C、 $|e^{x i}| = |\cos x| + |\sin x|$ D、 $e^{\frac{π}{3} i}$ 的共轭复数为 $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$

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18、古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点 $A$ 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上 $B, C$ 两点与点 $A$ 在同一条直线上，且在点 $A$ 的同侧，若在 $B, C$ 处分别测量球体建筑物的最大仰角为 $60^{\circ}$ 和 $20^{\circ}$ ，且 $B C = 100 m$ ，则该球体建筑物的高度约为（） $(cos 10^{\circ} \approx 0.985)$

A、 $45.25 m$ B、 $50.76 m$ C、 $56.74 m$ D、 $58.60 m$

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19、已知椭圆 $C$ ： $\frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，斜率为 $\frac{1}{2}$ 的直线 $l$ 与 $y$ 轴交于点 $P$ ， $l$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $T$ 是 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点.当 $P$ 与原点 $O$ 重合时， $△ A B T$ 面积为 $\frac{8}{9}$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、当 $P$ 异于 $O$ 点时，记直线 $B T$ 与 $x$ 轴交于点 $Q$ ，求 $△ O P Q$ 周长的最小值.

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20、某学校的数学节活动中，其中有一项“抽幸运数字”擂台游戏，分甲乙双方，游戏开始时，甲方有2张互不相同的牌，乙方有3张互不相同的牌，其中的2张牌与甲方的牌相同，剩下一张为“幸运数字牌”.游戏规则为：
①双方交替从对方抽取一张牌，甲方先从乙方中抽取；
②若抽到对方的牌与自己的某张牌一致，则将这两张牌丢弃；
③最后剩一张牌（幸运数字牌）时，持有幸运数字牌的那方获胜.
假设每一次从对方抽到任一张牌的概率都相同.奖励规则为：若甲方胜可获得200积分，乙方胜可获得100积分.

(1)、已知某一轮游戏中，记 $X$ 为甲乙两方抽牌次数之和.
（ⅰ）求 $P (X = 2)$ ；
（ⅱ）求 $P (X = 2 k)$ ， $k \in N *$ ；

(2)、为使获得积分的期望最大，你会选择哪一方进行游戏？并说明理由.

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参考数据 $(z = \ln y)$
$\sum_{i = 1}^{7} x_{i}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{7} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})$	$\sum_{i = 1}^{7} (x_{i} - \bar{x}) (z_{i} - \bar{z})$	$\bar{x}$	$\bar{y}$	$\bar{z}$
5215	2347.3	33.6	27	81.3	3.6

	有慢性疾病	没有慢性疾病	合计
未感染支原体肺炎	40		80
感染支原体肺炎		40
合计	120		200

$α$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

$X$	2	3	6
$P$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	$a$

单价 $x$ /元	8.2	8.4	8.6	8.8
销量 $y /$ 件	84	83	78	m