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相关试卷

1、设 $a, b$ 为两条不同的直线， $α, β$ 为两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $a / / α, b / / α$ ，则 $a ∥ b$ B、若 $a / / α, b / / α, a \subset β, b \subset β$ ，则 $β / / α$ C、若 $α / / β, a \subset α$ ，则 $a / / β$ D、若 $α / / β, b / / α$ ，则 $b / / β$

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2、如图， $△ A O B$ 的斜二测画法的直观图是腰长为 $3 \sqrt{2}$ 的等腰直角三角形， $y^{'}$ 轴经过 $A^{'} B^{'}$ 的中点，则 $|A B| =$ （）

A、6 B、 $3 \sqrt{6}$ C、12 D、 $6 \sqrt{6}$

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3、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D = 2 D C$ ，若 $\vec{B A} = \vec{a}$ ， $\vec{B C} = \vec{b}$ ，则 $\vec{B D} =$ （）

A、 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ B、 $\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$

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4、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 对边为 $a, b, c$ ，且 $2 c \cdot \cos^{2} \frac{A}{2} = b + c$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、等边三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、等腰直角三角形

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5、已知平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 6$ ， $∠ D A B = 60 °$ ，点 $E$ 是线段 $B C$ 的中点．

(1)、求 $\vec{A B} \cdot \vec{A E}$ 的值；

(2)、若 $\vec{A F} = \vec{A E} + λ \vec{A D}$ ，且 $B D ⊥ A F$ ，求 $λ$ 的值．

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6、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $∠ D A B = 60 °$ ， $∠ A D P = 90 °$ ，平面 $A D P ⊥$ 平面 $A B C D$ ，点F为棱 $P D$ 的中点.

(1)、在棱 $A B$ 上是否存在一点 $E$ ，使得 $A F //$ 平面 $P C E$ ？若存在，求出点 $E$ 的位置；若不存在，请说明理由；

(2)、当二面角 $D - F C - B$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ 时，求直线 $P B$ 与平面 $A B C D$ 所成的角.

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7、如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C ⊥ B C$ ， $A C = B C = C C_{1} = 1$ ， $M$ 、 $N$ 、 $Q$ 分别为 $A C$ 、 $B_{1} C_{1}$ 、 $C C_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $M N //$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、求证： $A_{1} B ⊥$ 平面 $M N Q$ ．

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8、如图，在菱形ABCD中， $∠ B A D = 60 °$ ， $A B = 2$ ， $E C = 2 D E$ ， AE交BD于点F．

(1)、若 $\vec{A F} = λ \vec{A B} + μ \vec{A D}$ ，求λ和μ的值；

(2)、设P是线段BC的中点，求 $\vec{A F} \cdot \vec{A P}$ 的值．

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9、已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为 $2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求圆锥的表面积；

(2)、如图，过 $A O$ 的中点 $O_{1}$ 作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的体积．

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10、如图，已知正方体ABCDA₁B₁C₁D₁的棱长为1，点K在棱A₁B₁上运动，过A，C，K三点作正方体的截面，若K为棱A₁B₁的中点，则截面的面积为．

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11、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (x, - 3)$ ，且 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则实数 $x =$ ．

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12、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，E为 $B A_{1}$ 的中点，下列判断正确的是（）

A、 $B_{1} C_{1} //$ 平面 $A_{1} B C$ B、直线 $E C_{1}$ 与直线 $A D$ 是异面直线 C、在直线 $A_{1} C_{1}$ 上存在点F，使 $E F ⊥$ 平面 $A_{1} C D$ D、直线 $B A_{1}$ 与平面 $A_{1} C D$ 所成角是 $\frac{π}{3}$

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13、下列有关复数的说法中（其中i为虚数单位），正确的是（）

A、 $i^{22} = 1$ B、复数 $z = 3 - 2 i$ 的共轭复数的虚部为2 C、若 $1 - 3 i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0 (p, q \in R)$ 的一个根，则 $q = - 8$ D、若复数 $z$ 满足 $|z - i| = 1$ ，则 $|z|$ 的最大值为2

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14、圣·索菲亚教堂（英语： SAINTSOPHIA CATHEDRAL）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，被列为第四批全国重点文物保护单位. 其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为 $(15 \sqrt{3} - 15)$ m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A教堂顶C的仰角分别是 $15 °$ 和 $60 °$ ，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为 $30 °$ ，则小明估算索菲亚教堂的高度为（）

A、20m B、30m C、 $20 \sqrt{3}$ m D、 $30 \sqrt{3}$ m

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15、如图，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且 $\frac{C F}{C B} = \frac{C G}{C D} = \frac{2}{3}$ ，则（　　）

A、EF与GH互相平行 B、EF与GH异面 C、EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上 D、EF与GH的交点M一定在直线AC上

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16、如图，一个水平放置的三角形 $A B O$ 的斜二测直观图是等腰直角三角形 $A^{'} B^{'} O^{'}$ ，若 $B^{'} A^{'} = B^{'} O^{'} = 1$ ，那么原三角形 $A B O$ 的周长是（）

A、 $2 \sqrt{2} + 1$ B、 $1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{2} + 2$ D、 $2 \sqrt{2} + 4$

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17、已知m，n表示两条不同的直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 表示三个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A、若 $m / / α$ ， $n / / α$ ，则 $m / / n$ B、若 $m / / α$ ， $m ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $α ⊥ β$ ， $m ⊥ β$ ，则 $m / / α$ D、若 $α ⊥ β$ ， $α ⊥ γ$ ，则 $β / / γ$

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18、如图所示，有一条“ $L$ ”形河道，其中上方河道宽 $\sqrt{2} m$ ，右侧河道宽 $\sqrt{6} m$ ，河道均足够长.现过点 $D$ 修建一条栈道 $A B$ ，开辟出直角三角形区域（图中 $△ O A B$ ）养殖观赏鱼，且 $∠ O A B = θ (0 < θ < \frac{π}{2})$ .点 $H$ 在线段 $A B$ 上，且 $O H ⊥ A B$ .线段 $O H$ 将养殖区域分为两部分，其中 $O H$ 上方养殖金鱼， $O H$ 下方养殖锦鲤.

(1)、养殖区域面积最小时，求 $θ$ 值，并求出最小面积；

(2)、若游客可以在栈道 $A H$ 上投喂金鱼，在河岸 $O B$ 与栈道 $H B$ 上投喂锦鲤，且希望投喂锦鲤的道路长度不小于投喂金鱼的道路长度，求 $θ$ 的取值范围.

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19、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且向量 $\vec{m} = (c, a - b)$ ， $\vec{n} = (\sin B - \sin C, \sin A + \sin B)$ ， $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 2$ ， $△ A B C$ 的周长为 $l$ ，面积为 $S$ ，求 $\frac{S}{l}$ 的最大值.

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20、如图所示，设 $O x$ ， $O y$ 是平面内相交成 $60 °$ 角的两条数轴， $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 分别是与 $x$ 轴， $y$ 轴正方向同向的单位向量，若向量 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}} (x, y \in R)$ ，则把有序数对 $(x, y)$ 叫做向量 $\vec{O P}$ 在坐标系 $x O y$ 中的坐标.

(1)、设 $\vec{O M} = (0, 3)$ ， $\vec{O N} = (4, 0)$ ，求 $\vec{O M} \cdot \vec{O N}$ 的值；

(2)、若 $\vec{O P} = (3, 4)$ ，求 $|\vec{O P}|$ 的大小.

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