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相关试卷

1、在解析几何中，设 $P_{1} (x_{1}, y_{1})$ ， $P_{2} (x_{2}, y_{2})$ 为直线 $l$ 上的两个不同的点，则我们把 $\vec{P_{1} P_{2}}$ 及与它平行的非零向量都称为直线 $l$ 的方向向量，把与直线 $l$ 垂直的向量称为直线 $l$ 的法向量，常用 $\vec{n}$ 表示，此时 $\vec{P_{1} P_{2}} \cdot \vec{n} = 0$ .若点 $P \notin l$ ，则可以把 $\vec{P P}$ 在法向量 $\vec{n}$ 上的投影向量的模叫做点 $P$ 到直线 $l$ 的距离.现已知平面直角坐标系中， $P (- 2, - 2)$ ， $P_{1} (2, 1)$ ， $P_{2} (- 1, 3)$ ，则点 $P$ 到直线 $l$ 的距离为.

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2、如图所示，在边长为3的等边三角形 $A B C$ 中， $\vec{A D} = \frac{2}{3} \vec{A C}$ ，且点 $P$ 在以 $A D$ 的中点 $O$ 为圆心， $O A$ 为半径的半圆上，若 $\vec{B P} = x \vec{B A} + y \vec{B C}$ ，则（）

A、 $\vec{B D} = \frac{1}{3} \vec{B A} + \frac{2}{3} \vec{B C}$ B、 $x + y$ 的最大值为 $1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\vec{B P} \cdot \vec{B C}$ 最大值为9 D、 $\vec{B O} \cdot \vec{D O} = 1$

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3、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) + 1$ $(ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ ，满足 $f (x) + f (- \frac{π}{3} - x) = 2$ ，且对任意 $x \in R$ ，都有 $f (x) \geq f (- \frac{5 π}{12})$ ，当 $ω$ 取最小值时，则下列正确的是（）

A、 $f (x)$ 图象的对称中心为 $(\frac{k π}{2} - \frac{π}{6}, 1) k \in Z$ B、 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{12}, \frac{π}{6}]$ 上的值域为 $[\sqrt{3} + 1, 3]$ C、将 $y = 2 \sin 2 x + 1$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到 $f (x)$ 的图象 D、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{2}]$ 上单调递减

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4、下列命题正确的是（）

A、设 $α$ 是第一象限角，则 $\frac{α}{2}$ 为第一或第三象限角 B、 $\sqrt{3} \sin α + \cos α = 2 \sin (α + \frac{π}{3})$ C、在 $△ A B C$ 中，若点 $O$ 满足 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $O$ 是 $△ A B C$ 的重心 D、 $|(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}| \leq |\vec{a}| |\vec{b}| |\vec{c}|$

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5、已知函数 $f (x) = \cos (ω x + φ)$ $(ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示， $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是 $f (x)$ 的两个零点，若 $x_{2} = 4 x_{1}$ ，则下列不为定值的量是（）

A、 $φ$ B、 $ω$ C、 $ω x_{1}$ D、 $\frac{ω x_{1}}{φ}$

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6、《九章算术》是一部中国古代的数学专著.全书分为九章，共收有246个问题，内容丰富，而且大多与生活实际密切联系.第一章《方田》收录了38个问题，主要讲各种形状的田亩的面积计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形天地称为“环田”.书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小为（）（单位：弧度）（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝.）

A、4 B、5 C、6 D、7

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7、下列四个函数中的某个函数在区间 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 上的大致图象如图所示，则该函数是（）

A、 $y = \frac{x^{3} - x}{2^{x} + 2^{- x}}$ B、 $y = \frac{x cos 2 x}{2^{x} + 2^{- x}}$ C、 $y = \frac{1 - x^{2}}{2^{x} + 2^{- x}}$ D、 $y = \frac{sin 2 x}{2^{x} + 2^{- x}}$

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8、青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足 $L = 5 + \lg V$ ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（ $\sqrt[10]{10} \approx 1.259$ ）

A、1.5 B、1.2 C、0.8 D、0.6

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9、在三角形 $A B C$ 中， $A C = 3, A B = 4, ∠ C A B = 120 °$ ，则 $(\vec{A B} + \vec{C A}) \cdot \vec{A B} =$ （）

A、10 B、22 C、 $- 10$ D、 $- 22$

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10、已知向量 $\overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{b}$ 满足 $| \overset{⃑}{a} | = 1, | \overset{⃑}{b} | = \sqrt{3}, | \overset{⃑}{a} - 2 \overset{⃑}{b} | = 3$ ，则 $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b} =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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11、已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 4$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ．

(1)、求 $|\vec{a} - \vec{b}|$ ；

(2)、当实数 $k$ 为何值时， $(\vec{a} + k \vec{b}) ⊥ (k \vec{a} - \vec{b})$ ．

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12、已知直角梯形 $A B C D, A = 90 °, A B / / C D, A D = D C = \frac{1}{2} A B = 1, P$ 是 $B C$ 边上的一点，则 $\overset{⃑}{A P} \cdot \overset{⃑}{P C}$ 的取值范围为（）

A、 $[- 1, 1]$ B、 $[0, 2]$ C、 $[- 2, 2]$ D、 $[- 2, 0]$

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13、如图，直角梯形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ 满足 $O^{'} A^{'} ⊥ O^{'} C^{'}, O^{'} A^{'} = A^{'} B^{'} = 2, O^{'} C^{'} = 3$ ，它是水平放置的平面图形的直观图，则该平面图形的周长是（）

A、 $7 + \sqrt{5}$ B、 $5 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{17}$ C、 $11 + \sqrt{41}$ D、 $10 \sqrt{2}$

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14、如图，二面角 $α- l -β$ 等于 $120 °$ ， $A, B$ 是棱 $l$ 上两点， $B D, A C$ 分别在半平面 $α,β$ 内， $A C ⊥ l$ ， $B D ⊥ l$ ，且 $A B = A C = B D = 2,$ 则 $C D$ 的长等于（）

A、4 B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{7}$

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15、已知甲组数据由 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdot \cdot \cdot, x_{n}$ 这 $n$ 个数据构成，记这组数据的平均数为 $\bar{x_{甲}}$ ，方差为 $S_{甲}$ ；乙组数据由 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdot \cdot \cdot, x_{n}$ ， $\bar{x_{甲}}$ 这 $n + 1$ 数据构成，记这组数据的平均数为 $\bar{x_{乙}}$ ，方差为 $S_{乙}$ ，则（）

A、 $\bar{x_{甲}} < \bar{x_{乙}}$ ， $S_{甲} < S_{乙}$ B、 $\bar{x_{甲}} < \bar{x_{乙}}$ ， $S_{甲} > S_{乙}$ C、 $\bar{x_{甲}} = \bar{x_{乙}}$ ， $S_{甲} < S_{乙}$ D、 $\bar{x_{甲}} = \bar{x_{乙}}$ ， $S_{甲} > S_{乙}$

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16、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、当 $x \in [- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ 时， $f (x)$ 的值域为 $[- \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}]$ C、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度可得函数 $g (x) = \sin 2 x$ 的图象 D、将函数 $f (x)$ 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点 $(\frac{5 π}{6}, 0)$ 对称

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17、在 $△ A B C$ 中，设 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $b = 2 a - 2 c \cos B$ ，且三角形外接圆半径为 $\sqrt{3}$ ．
（1）求 $C$ 的大小；
（2）若 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $\cos 2 A + \cos 2 B$ 的值；
（3）设 $△ A B C$ 的外接圆圆心为 $O$ ，且满足 $\frac{\cos B}{\sin A} \overset{⃑}{C B} + \frac{\cos A}{\sin B} \overset{⃑}{C A} = 2 m \overset{⃑}{C O}$ ，求 $m$ 的值．

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18、在 $Δ A B C$ 中， $A B = \sqrt{3}, A C = 1, B = \frac{π}{6}$ ，则 $Δ A B C$ 的面积可以是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、1 C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

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19、如图， $A, B$ 两点在河的同侧，且 $A, B$ 两点均不可到达，为了测出 $A, B$ 两点间的距离，测量者在河岸边选定两点 $C, D$ ，测得 $C D = \frac{\sqrt{3}}{2} km$ ，同时在 $C, D$ 两点分别测得 $∠ A D B = ∠ C D B = 30^{°}$ ， $∠ A C D = 60^{°}$ ， $∠ A C B = 45^{°}$ ，求 $A, B$ 两点间的距离.

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20、设 $\vec{a}, \vec{b}$ 是不共线的两个向量.

(1)、若 $\vec{O A} = 2 \vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{O B} = 3 \vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{a} - 3 \vec{b}$ ，求证：A，B，C三点共线；

(2)、若 $8 \vec{a} + k \vec{b}$ 与 $k \vec{a} + 2 \vec{b}$ 共线，求实数k的值.

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