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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{n} = 2 a_{n} - 1$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、已知 $b_{n} = a_{n}^{2} + \log_{2} a_{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ．

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2、已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，且 $f (x) > f^{'} (x)$ ，若 $f (0) = 0$ ，则不等式 $f (2 x^{2} - 5 x - 7) > 0$ 的解集为.

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3、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} (- 2, 0)$ ， $F_{2} (2, 0)$ ，渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$ ， P为双曲线C上一点，且满足 $| P F_{1} | = 2 | P F_{2} |$ ，则 $| P F_{1} | =$ ．

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4、在3与15之间插入3个数，使这5个数成等差数列，则插入的3个数之和为．

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5、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，动点P，Q分别在线段 $C_{1} D$ ， $A C$ 上，则下列命题正确的是（）

A、直线BC与平面 $A B C_{1} D_{1}$ 所成的角等于 $\frac{π}{4}$ B、点 $C$ 到平面 $A B C_{1} D_{1}$ 的距离为 $\sqrt{2}$ C、异面直线 $D_{1} C$ 和 $B C_{1}$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$ . D、线段 $P Q$ 长度的最小值为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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6、已知 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，公比为q，前n项和为 $S_{n}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\{a_{n}^{2}\}$ 为等比数列 B、 $\{\lg |a_{n}|\}$ 为等差数列 C、若 $a_{n + 1} > a_{n}$ ，则 $q > 1$ D、若 $S_{n} = 3^{n} + r$ ，则 $r = - 1$

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7、设 $F$ 为抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点， $A 、 B 、 C$ 为该抛物线上三点．若 $\vec{F A} + \vec{F B} + \vec{F C} = \vec{0}$ ，则 $| F A | + | F B | + | F C | =$ （）

A、9 B、6 C、4 D、3

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8、已知函数 $f (x) = \ln (x - 2) + \ln (4 - x)$ ，则 $f (x)$ 的单调递增区间为（）

A、 $(2, 3)$ B、 $(3, 4)$ C、 $(- \infty, 3)$ D、 $(3, + \infty)$

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9、如图，已知四面体 $A B C D$ 的棱长都是2，点 $M$ 为棱 $A D$ 的中点，则 $\vec{A B} \cdot \vec{C M}$ 的值为（）

A、1 B、 $- 1$ C、 $- 2$ D、2

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n+1} = k a_{n} - 1 (n \in N^{*}, k \in R^{*})$ ，若数列 $\{a_{n} - 1\}$ 是等比数列，则k值等于（）

A、1 B、 $-$ 1 C、 $-$ 2 D、2

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11、在一次高台跳水比赛中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度 $h$ （单位：m）与起跳后的时间 $t$ （单位： $s$ ）存在函数关系 $h (t) = - 4.9 t^{2} + 2.8 t + 11$ ，则该运动员在 $t = 2 s$ 时的瞬时速度为（）

A、 $- 16.8 m / s$ B、 $16.8 m / s$ C、 $- 9 m / s$ D、 $9 m / s$

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12、等比数列 $\frac{2}{3}$ ， $a$ ， $\frac{1}{6}$ ， $\frac{1}{12}$ 中 $a$ 的值等于（）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、3

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13、若函数 $α (x)$ 有且仅有一个极值点 $m$ ，函数 $β (x)$ 有且仅有一个极值点 $n$ ，且 $m > n$ ，则称 $α (x)$ 与 $β (x)$ 具有性质 $α - β / / m > n$ ．

(1)、函数 $φ_{1} (x) = \sin x - x^{2}$ 与 $φ_{2} (x) = e^{x} - x$ 是否具有性质 $φ_{1} - φ_{2} / / x_{0} > 0$ ？并说明理由．

(2)、已知函数 $f (x) = a e^{x} - \ln (x + 1)$ 与 $g (x) = \ln (x + a) - e^{x} + 1$ 具有性质 $f - g / / x_{1} > x_{2}$ ．
（i）求 $a$ 的取值范围；
（ii）证明： $|g (x_{1})| > |x_{2}|$ ．

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14、设双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的一条渐近线为 $x - 3 y = 0$ ，焦点到渐近线的距离为1． $A_{1}$ ， $A_{2}$ 分别为双曲线 $C$ 的左、右顶点，直线 $l$ 过点 $T (2, 0)$ 交双曲线于点 $M$ ， $N$ ，记直线 $M A_{1}$ ， $N A_{2}$ 的斜率为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、求证 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 为定值．

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15、小明进行足球射门训练，已知小明每次将球射入球门的概率为0.5．

(1)、若小明共练习4次，求在射入2次的条件下，第一次没有射入的概率；

(2)、若小明进行两组练习，第一组射球门2次，射入 $X_{1}$ 次，第二组射球门3次，射入 $X_{2}$ 次，求 $E (X_{1} + X_{2})$ ．

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 2$ ， $S_{n} = \frac{n}{n + 2} a_{n + 1}$ ，设 $b_{n} = \frac{S_{n}}{n}$ ．

(1)、求证：数列 $\{b_{n}\}$ 为等比数列；

(2)、求数列 $\{S_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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17、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C = B B_{1} = 6$ ， $D$ 、 $E$ 分别为 $A C$ 、 $B B_{1}$ 的中点，设平面 $A_{1} D E$ 交棱 $B C$ 于点 $F$ ．

(1)、求 $B F$ ；

(2)、求二面角 $C_{1} - D F - C$ 的平面角的正切值．

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18、若 $x, y, z > 0$ ，且 $x^{2} + x y + 2 x z + 2 y z = 4$ ，则 $2 x + y + 2 z$ 的最小值是．

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19、如图， $∠ P O Q = \frac{π}{6}$ ，点A，B为射线OP上两动点，且 $A B = 2$ ，若射线OQ上恰有一个点C，使得 $∠ A C B = \frac{π}{2}$ ，则此时OA的长度为．

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20、 ${(x - 1)}^{6}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为．（用数字作答）

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