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相关试卷

1、对任意两个非零向量 $\vec{m}, \vec{n}$ ，定义新运算： $\vec{m} \oplus \vec{n} = \frac{| \vec{m} | \sin 〈 \vec{m}, \vec{n} 〉}{| \vec{n} |}$ ．

(1)、若向量 $\vec{a} = (3, 4), \vec{b} = (2, 0)$ ，求 $\vec{a} \oplus \vec{b}$ 的值；

(2)、若非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2 | \vec{b} |$ ，且 $\vec{a} \oplus \vec{b} > \sqrt{3}$ ，求 $\vec{b} \oplus \vec{a}$ 的取值范围；

(3)、已知非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | > 2 | \vec{b} |$ ，向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角 $θ \in (0, \frac{π}{4})$ ，且 $\vec{a} \oplus \vec{b}$ 和 $\vec{b} \oplus \vec{a}$ 都是集合 $\{x |x = \frac{k}{4}, k \in Z\}$ 中的元素，求 $\vec{a} \oplus \vec{b}$ 的取值集合．

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2、中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是半正多面体，如图1．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．如图2，某半正多面体的表面由18个全等的正方形和8个全等的正三角形构成，该半正多面体的所有顶点都在同一个棱长为 $2 \sqrt{2} + 2$ 的正方体的表面上．

(1)、求该半正多面体的表面积；

(2)、求该半正多面体的体积．

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3、已知函数 $f (x) = A \cos (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[\frac{3π}{4}, \frac{5π}{4}]$ 的值域；

(3)、求不等式 $f (x) > 1$ 的解集．

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4、如图，在六面体 $A B C D E F$ 中， $D E / / C F$ ，四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $D E = 2 C F$ ．

(1)、证明：平面 $A D E / /$ 平面 $B C F$ ．

(2)、若G是棱 $B C$ 的中点，证明： $A E / / F G$ ．

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5、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，已知 $(2 b - c) \cos A - a \cos C = 0$ ，点 $D$ 在边 $B C$ 上， $A D$ 是内角 $A$ 的角平分线，且 $A D = 3$ ，则 $△ A B C$ 面积的最小值是．

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6、某同学将一张圆心角为 $\frac{π}{3}$ 的扇形纸壳裁成扇环（如图1）后，制成了简易笔筒（如图2）的侧面，已知 $O B = 2 O A = 60 cm$ ，则制成的简易笔筒的体积为 ${cm}^{3}$ ．

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7、函数 $f (x) = 4 \tan (2 x + \frac{π}{3})$ 的最小正周期是．

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8、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 4, E, F, G, P$ 分别是棱 $A A_{1}, C_{1} D_{1}, B C, A B$ 的中点，则（）

A、 $E F //$ 平面 $C C_{1} P$ B、直线 $E F, C P$ 共面 C、过 $A, D, E, F$ 四点的球的表面积是 $56π$ D、过 $B, E, F$ 三点的平面截正方体所得截面的周长是 $\frac{9 \sqrt{5} + 25 + 2 \sqrt{13}}{3}$

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9、关于复数 $z$ ，下面是真命题的是（）

A、若 $\frac{1}{z} \in R$ ，则 $z \in R$ B、若 $z^{2} \in R$ ，则 $z \in R$ C、若 $z^{2} = | z |^{2}$ ，则 $z \in R$ D、若 $z \in R$ ，则 $\bar{z} \in R$

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10、已知函数 $f (x) = 3 \sin (2 x + \frac{π}{3})$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称 B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{5π}{6}, 0)$ 对称 C、 $f (x)$ 在 $[- \frac{11π}{6}, - \frac{3π}{2}]$ 上单调递减 D、 $f (x + \frac{π}{12})$ 是偶函数

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11、如图，在圆锥SO的底面圆中，AC为直径，O为圆心，点B在圆O上，且 $∠ B A C = 30 °, O A = O S = \sqrt{2}$ ， D为线段AB上的动点，则 $S D + C D$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{5} + 1$ B、 $\sqrt{5} - 1$ C、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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12、 $\frac{\sqrt{3}}{2} \tan 23 ° - \frac{\cos 37 °}{\sin 67 °} =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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13、如图，一艘船航行到点B处时，测得灯塔A在其北偏西 $60 °$ 的方向，随后该船以20海里/小时的速度，往正北方向航行两小时后到达点C，测得灯塔A在其南偏西 $75 °$ 的方向，此时船与灯塔A间的距离为（）

A、 $20 \sqrt{3}$ 海里 B、 $40 \sqrt{3}$ 海里 C、 $20 \sqrt{6}$ 海里 D、 $40 \sqrt{6}$ 海里

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14、如图， $△ O^{'} A^{'} B^{'}$ 是一个平面图形的直观图，其中 $△ O^{'} A^{'} B^{'}$ 是直角三角形， $∠ O^{'} A^{'} B^{'} = 90 °, O^{'} B^{'} = 4$ ，则原图形中最长的边长是（）

A、4 B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{5}$

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15、要得到函数 $y = 2 \sin (2 x + \frac{5π}{6})$ 的图象，只需要将函数 $y = 2 \sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度 B、向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度 C、向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度

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16、已知向量 $\vec{a} = (- 2, 3), \vec{b} = (m, - 6)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、9 B、4 C、 $- 4$ D、 $- 9$

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17、约数，又称因数.它的定义如下：若整数 $a$ 除以整数 $m (m \neq 0)$ 除得的商正好是整数而没有余数，我们就称 $a$ 为 $m$ 的倍数，称 $m$ 为 $a$ 的约数.设正整数 $a$ 共有 $k$ 个正约数，即为 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k - 1}, a_{k} (a_{1} < a_{2} < \dots < a_{k})$ .

(1)、当 $k = 4$ 时，若正整数 $a$ 的 $k$ 个正约数构成等比数列，请写出一个 $a$ 的值；

(2)、当 $k \geq 4$ 时，若 $a_{2} - a_{1}, a_{3} - a_{2}, \dots, a_{k} - a_{k - 1}$ 构成等比数列，求正整数 $a$ ；

(3)、记 $A = a_{1} a_{2} + a_{2} a_{3} + \dots + a_{k - 1} a_{k}$ ，求证： $A < a^{2}$ .

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18、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，点 $(\sqrt{3}, \frac{1}{2})$ 在椭圆上．

(1)、求E的方程；

(2)、过点 $K (- 1, 0)$ 作互相垂直的两条直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ ，设 $l_{1}$ 交E于A，B两点， $l_{2}$ 交E于C，D两点，AB，CD的中点分别为M，N．探究： $△ O M N$ 与 $△ K M N$ 的面积之比是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．

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19、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + a x + b$ ，当 $x = - 2$ 时， $y = f (x)$ 有极大值，且 $f (4) = \frac{28}{3}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、在（1）的条件下，讨论函数 $f (x)$ 在 $[- 4, m]$ 上的最大值．

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20、在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A B B_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $△ A B C$ 为正三角形， $D$ 、 $E$ 分别为 $B C$ 和 $A_{1} C_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $D E / /$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、若 $A B = 2$ ， $A A_{1} = 3$ ， $B B_{1} ⊥ A C$ ，求 $D E$ 与平面 $A_{1} B_{1} C$ 所成角的正弦值．

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