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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = e^{|x + k|}$ ，函数 $g (x) = \frac{1}{2} e^{|x - \frac{k}{2}|}$ ，且 $k < 0$ ，定义运算 $a \otimes b = \{\begin{matrix} b, a > b, \\ a, a \leq b, \end{matrix}$ 设函数 $h (x) = f (x) \otimes g (x)$ ，则下列命题正确的是（）

A、 $h (x)$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ B、若 $h (x)$ 在 $[0, ln 2]$ 上单调递增，则k的取值范围为 $(- \infty, - 2 \ln 2]$ C、若 $h (x) = m$ 有4个不同的解，则m的取值范围为 $(1, e^{- \frac{1}{2}}^{(ln 2 + \frac{3 k}{2})})$ D、若 $h (x) = m$ 有3个不同的解 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3},$ 则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$

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2、如图1，在等腰梯形 $A B C D$ 中， $A B // C D$ ， $E F ⊥ A B$ ， $C F = E F = 2 D F = 2$ ， $A E = 3$ ， $E B = 4$ ，将四边形 $A E F D$ 沿 $E F$ 进行折叠，使 $A D$ 到达 $A^{'} D^{'}$ 位置，且平面 $A^{'} D^{'} F E ⊥$ 平面 $B C F E$ ，连接 $A^{'} B$ ， $D^{'} C$ ，如图2，则（）

A、 $B E ⊥ A^{'} D^{'}$ B、平面 $A^{'} E B //$ 平面 $D^{'} F C$ C、多面体 $A^{'} E B C D^{'} F$ 为三棱台 D、直线 $A^{'} D^{'}$ 与平面 $B C F E$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$

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3、已知函数 $f (x) = sin (x + 1)$ ，则下列命题正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - 1$ 对称 C、若 $f (x_{0}) = 1$ ，则 $f (2 x_{0}) = 2$ D、将 $f (x)$ 的图象往右平移1个单位长度后可以得到函数 $y = sin x$ 的图象

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4、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的左、右焦点，是 $M$ 双曲线 $C$ 右支上的一个动点，且“ ${|M F_{1}|}^{2} - {|M F_{2}|}^{2}$ ”的最小值是 $8 \sqrt{6}$ ，则双曲线 $C$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ B、 $y = \pm \sqrt{2} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} x$

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5、若函数 $y = f (x) - 1$ 是定义在R上的奇函数，则 $f (- 1) + f (0) + f (1) =$ （）

A、3 B、2 C、 $- 2$ D、 $- 3$

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6、某学生通过计步仪器，记录了自己最近30天每天走的步数，数据从小到大排序如下：
5588     6054     8799     9851     9901     10111   11029   11207   12634   12901
13001   13092   13127   13268   13562   13621   13761   13801   14101   14172
14191   14292   14426   14468   14562   14621   15061   15601   15901   19972
估计该学生最近30天每天走的步数数据的第75百分位数为（       ）

A、14292 B、14359 C、14426 D、14468

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7、已知集合 $A = \{x \in Z |x + 1 > 0\}$ ， $B = \{x |x \leq a\}$ ，若 $A \cap B$ 中有2个元素，则a的取值范围是（）

A、 $[2, 4)$ B、 $[1, 2)$ C、 $[2, 4]$ D、 $[1, 2]$

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8、已知复数 $z$ 满足 $2 - z i = 1 + i$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 1 - i$ B、 $1 - i$ C、 $1 + i$ D、 $- 1 + i$

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9、已知 $Q : a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}$ 为有穷正整数数列，且 $a_{1} \leq a_{2} \leq \dots \leq a_{k}$ ，集合 $X = \{- 1, 0, 1\}$ ．若存在 $x_{i} \in X, i = 1, 2, \dots, k$ ，使得 $x_{1} a_{1} + x_{2} a_{2} + \dots + x_{k} a_{k} = t$ ，则称 $t$ 为 $k -$ 可表数，称集合 $T = \{t ∣ t = x_{1} a_{1} + x_{2} a_{2} + \dots + x_{k} a_{k}, x_{i} \in X, i = 1, 2, \dots, k\}$ 为 $k -$ 可表集．

(1)、若 $k = 10, a_{i} = 2^{i - 1}, i = 1, 2, \dots, k$ ，判定31，1024是否为 $k -$ 可表数，并说明理由；

(2)、若 $\{1, 2, \dots, n\} \subseteq T$ ，证明： $n \leq \frac{3^{k} - 1}{2}$ ；

(3)、设 $a_{i} = 3^{i - 1}, i = 1, 2, \dots, k$ ，若 $\{1, 2, \dots, 2024\} \subseteq T$ ，求 $k$ 的最小值．

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10、已知函数 $f (x) = sin x + e^{x} + a ln (x + 1)$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程；

(2)、当 $a \leq - 2$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $(- 1, 0]$ 上的最小值；

(3)、写出实数 $a$ 的一个值，使得 $f (x) \geq 1$ 恒成立，并证明．

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11、双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，点 $T (\sqrt{2}, \sqrt{2})$ 在C上.

(1)、求C的方程；

(2)、设圆O： $x^{2} + y^{2} = 2$ 上任意一点P处的切线交C于M、N两点，证明：以MN为直径的圆过定点.

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12、“双减”政策执行以来，中学生有更多的时间参加志愿服务和体育锻炼等课后活动．某校为了解学生课后活动的情况，从全校学生中随机选取100人，统计了他们一周参加课后活动的时间（单位：小时），分别位于区间 $[7, 9), [9, 11), [11, 13), [13, 15), [15, 17), [17, 19]$ ，用频率分布直方图表示如下：
假设用频率估计概率，且每个学生参加课后活动的时间相互独立．

(1)、估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间 $[13, 17)$ 的概率；

(2)、从全校学生中随机选取3人，记 $ξ$ 表示这3人一周参加课后活动的时间在区间 $[15, 17)$ 的人数，求 $ξ$ 的分布列和数学期望 $E (ξ)$ ；

(3)、设全校学生一周参加课后活动的时间的中位数估计值为 $a$ ､平均数的估计值为 $b$ （计算平均数时，同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替），请直接写出 $a, b$ 的大小关系．

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13、如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 是边长为2的菱形， $∠ A B B_{1} = \frac{π}{3}$ ， $A C = 2 \sqrt{2}$ ， $M$ 为 $A_{1} B_{1}$ 中点， $C M = \sqrt{11}$ .

(1)、证明：平面 $A B C ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、若 $B C = 2$ ，求平面 $A B C$ 与平面 $A B C_{1}$ 夹角的余弦值.

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14、已知球O的表面积为 $12 π$ ，正四面体ABCD的顶点B，C，D均在球O的表面上，球心O为 $△ B C D$ 的外心，棱AB与球面交于点P．若 $A \in$ 平面 $α_{1}$ ， $B \in$ 平面 $α_{2}$ ， $C \in$ 平面 $α_{3}$ ， $D \in$ 平面 $α_{4}$ ， $α_{i} / / α_{i + 1} (i = 1, 2, 3)$ 且 $α_{i}$ 与 $α_{i + 1} (i = 1, 2, 3)$ 之间的距离为同一定值，棱AC，AD分别与 $α_{2}$ 交于点Q，R，则 $△ P Q R$ 的周长为.

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15、已知函数 $f (x) = x^{a} - \log_{b} x$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）且 $b \neq 1$ ），若 $f (x) \geq 1$ 恒成立，则 $a b$ 的最小值为.

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16、已知O为坐标原点，点F为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点，点A，B在C上，AB的中点为F， $O A ⊥ O B$ ，则C的离心率为．

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17、已知函数 $f (x) = \cos x + |\sin \frac{x}{2}|$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{6})$ 单调递增 B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = π$ 对称 C、 $f (x)$ 的值域为 $[0, \frac{9}{8}]$ D、关于 $x$ 的方程 $f (x) = a$ 在区间 $[0, 2 π]$ 有实数根，则所有根之和组成的集合为 $\{π, 2 π, 4 π\}$

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18、袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件 $A =$ “取出的球的数字之积为奇数”，事件 $B =$ “取出的球的数字之积为偶数”，事件 $C =$ “取出的球的数字之和为偶数”，则（）

A、事件 $A$ 与 $B$ 是互斥事件 B、事件 $A$ 与 $B$ 是对立事件 C、事件 $B$ 与 $C$ 是互斥事件 D、事件 $B$ 与 $C$ 相互独立

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19、设 $z$ 为复数（ $i$ 为虚数单位），下列命题正确的有（）

A、若 $z \in R$ ，则 $z = \bar{z}$ B、若 $z^{2} \in R$ ，则 $z \in R$ C、若 $(1 + i) z = 1 - i$ ，则 $|z| = 1$ D、若 $z^{2} + 1 = 0$ ，则 $z = i$

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20、已知抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 和 $y = - \frac{1}{16} x^{2} + 5$ 所围成的封闭曲线如图所示，已知点 $A (0, a)$ ，若在此封闭曲线上至少存在两对不同的点，满足每一对点关于点 $A$ 对称，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(1, 4]$ B、 $[\frac{5}{2}, 4)$ C、 $[\frac{5}{2}, 3)$ D、 $(2, 3]$

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