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相关试卷

1、已知三个单位向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $\vec{a} = \vec{b} + \vec{c}$ ，则向量 $\vec{b}, \vec{c}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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2、已知 $α ， β$ 是两个平面， $m$ ， $n$ 是两条直线，则下列命题错误的是（）

A、如果 $α$ $/ / β$ ， $n \subset α$ ，那么 $n$ $/ / β$ B、如果 $m ⊥ α$ ， $n$ $/ / α$ ，那么 $m ⊥ n$ C、如果 $m$ $/ / n$ ， $m ⊥ α$ ，那么 $n ⊥ α$ D、如果 $m ⊥ n$ ， $m ⊥ α$ ， $n$ $/ / β$ ，那么 $α ⊥ β$

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3、已知 $z$ 为复数，则“ $z = \bar{z}$ ”是“ $z^{2} = {\bar{z}}^{2}$ ”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、非充分非必要条件

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4、已知集合 $M = \{x |x = k + \frac{1}{2}, k \in Z\}, N = \{x |x = \frac{k}{2} + 1, k \in Z\}$ ，则（）

A、 $M \subseteq N$ B、 $N \subseteq M$ C、 $M = N$ D、 $M \cap N = \emptyset$

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5、如图，在 $△ A B C$ 中， $B = \frac{π}{3}$ ， $A B = 2$ .

(1)、若 $B C = 5$ ， $M$ 、 $N$ 分别为 $A C$ 、 $B C$ 的中点，设 $A N$ 、 $B M$ 交于点 $P$ ，求 $∠ M P N$ 的余弦值；

(2)、若点 $M$ 满足 $\vec{A M} = \frac{1}{3} \vec{A C}$ ， $\vec{B M} \cdot \vec{A C} = \frac{4}{3}$ ， $O$ 为 $B M$ 中点，点 $N$ 在线段 $B C$ 上移动（包括端点），求 $\vec{O A} \cdot \vec{O N}$ 的最小值.

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6、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $a = b (\sqrt{3} \sin C + \cos C)$ ．

(1)、求B；

(2)、已知 $B C = 2 \sqrt{3}$ ， D为边 $A B$ 上的一点，若 $B D = 1$ ， $∠ A C D = \frac{π}{2}$ ，求 $A C$ 的长．

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7、已知非零向量 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 不共线．

(1)、如果 $\vec{A B} = \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ， $\vec{B C} = 2 \vec{e_{1}} + 8 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{C D} = 3 (\vec{e_{1}} - \vec{e_{2}})$ ，求证： $A$ ， $B$ ， $D$ 三点共线；

(2)、欲使 $k \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ 和 $\vec{e_{1}} + k \vec{e_{2}}$ 共线，试确定实数 $k$ 的值．

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8、已知平面内三个向量 $\vec{a} = (3, 2)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2)$ ， $\vec{c} = (4, 1)$ ，若 $(\vec{a} + k \vec{c}) / / 2 \vec{b} - \vec{a}$ ，则k=.

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9、函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （其中A， $ω$ ， $φ$ 是常数， $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $- \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的值域为 $[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$ B、 $f (x)$ 的最小正周期为π C、 $φ = \frac{π}{6}$ D、将函数f（x）的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，得到函数 $g (x) = \sqrt{2} \cos 2 x$ 的图象

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10、已知 $|\overset{⃑}{a}| = |\overset{⃑}{b}| = 2$ ， $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b} = 2$ ， $(2 \overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{c}) \cdot (\overset{⃑}{b} - \overset{⃑}{c}) = 0$ ，则 $|\overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{c}|$ 的最大值为（）

A、 $1 + \sqrt{3}$ B、 $2 - \sqrt{3}$ C、2 D、4

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11、在平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ 为边 $B C$ 的中点，记 $\vec{A C} = \vec{a}$ ， $\vec{D B} = \vec{b}$ ，则 $\vec{A E} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{4} \vec{b}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ C、 $\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ D、 $\frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b}$

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12、设 $\vec{e}$ 是单位向量， $\vec{A B} = \vec{e}$ ， $\vec{C D} = - \vec{e}$ ， $|\vec{A D}| = 1$ ，则四边形 $A B C D$ 是（）

A、梯形 B、菱形 C、矩形 D、正方形

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13、对于平面向量 $\vec{a_{k}} = (x_{k}, y_{k}) (x_{k}, y_{k} \in N, k = 0, 1, 2, \dots)$ ，定义“ $F$ 变换”： $\vec{a_{k + 1}} = F (\vec{a_{k}})$ ，其中 $x_{k + 1} = |x_{k} - y_{k}|, y_{k + 1} = |max \{x_{k}, y_{k}\} - 2 min \{x_{k}, y_{k}\}|, max \{x_{k}, y_{k}\}$ 表示 $x_{k}, y_{k}$ 中较大的一个数， $min \{x_{k}, y_{k}\}$ 表示 $x_{k}, y_{k}$ 中较小的一个数.若 $x_{k} = y_{k}$ ，则 $max \{x_{k}, y_{k}\} = min \{x_{k}, y_{k}\} = x_{k} = y_{k}$ .记 $⟨\vec{a_{k}}⟩ = x_{k} y_{k}, ||\vec{a_{k}}|| = x_{k} + y_{k}$ .

(1)、若 $\vec{a_{0}} = (1, 9)$ ，求 $⟨\vec{a_{2}}⟩$ 及 $||\vec{a_{2}}||$ ；

(2)、已知 $⟨\vec{a_{1}}⟩ = 2024, ||\vec{a_{1}}|| = 2025$ ，将 ${\vec{a}}_{1}$ 经过 $m$ 次 $F$ 变换后， $||\vec{a_{m + 1}}||$ 最小，求 $m$ 的最小值；

(3)、证明：对任意 $\vec{a_{0}}$ ，经过若干次 $F$ 变换后，必存在 $k \in N_{+}$ ，使得 $⟨\vec{a_{k}}⟩ = 0$ .

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14、平面几何中有一定理如下：三角形任意一个顶点到其垂心（三角形三条高所在直线的交点）的距离等于外心（外接圆圆心）到该顶点对边距离的2倍.已知 $△ A B C$ 的垂心为D，外心为E，D和E关于原点O对称， $A (13, 0)$ .

(1)、若 $E (3, 0)$ ，点B在第二象限，直线 $B C ⊥ x$ 轴，求点B的坐标；

(2)、若A，D，E三点共线，椭圆T： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 与 $△ A B C$ 内切，证明：D，E为椭圆T的两个焦点.

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15、已知函数 $f (x) = a sin x + x cos x$ .

(1)、若 $a = 0$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若 $a > - 1$ ，证明： $f (x)$ 在 $(- π, π)$ 上有3个零点.

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16、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P C D$ 内存在一条直线 $E F$ 与 $A B$ 平行， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，直线 $P C$ 与平面 $A B C D$ 所成的角的正切值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $P A = B C = 2 \sqrt{3}$ ， $C D = 2 A B = 4$ .

(1)、证明：四边形 $A B C D$ 是直角梯形.

(2)、若点 $E$ 满足 $\vec{P E} = 2 \vec{E D}$ ，求二面角 $P - E F - B$ 的正弦值.

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17、某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这两者是否有关.若从该班级中随机抽取1名学生，设 $A =$ “抽取的学生期末统考中的数学成绩不及格”， $B =$ “抽取的学生建立了个性化错题本”，且 $P (A | \bar{B}) = \frac{2}{3}$ ， $P (B | \bar{A}) = \frac{5}{6}$ ， $P (B) = \frac{2}{3}$ .

(1)、求 $P (A)$ 和 $P (A |B)$ .

(2)、若该班级共有36名学生，请完成列联表，并依据小概率值 $α = 0.005$ 的独立性检验，分析学生期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本是否有关，
个性化错题本
期末统考中的数学成绩
合计
及格
不及格
建立
未建立
合计
参考公式及数据： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.01
0.005
0.001
$x_{a}$
6.635
7.879
10.828

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18、已知某种有盖的圆柱形容器的底面圆半径为 $1 + \sqrt{2}$ ，高为100，现有若干个半径为的 $\sqrt{2}$ 实心球，则该圆柱形容器内最多可以放入个这种实心球.

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19、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $c^{2} \sin A = 6 \sin C$ ， ${(a + c)}^{2} = 18 + b^{2}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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20、已知F为抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，点 $P (1, - 2)$ 在抛物线上，直线 $P F$ 与抛物线C的另一个交点为A，则 $|A F| =$ .

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个性化错题本	期末统考中的数学成绩		合计
个性化错题本	及格	不及格	合计
建立
未建立
合计

$α$	0.01	0.005	0.001
$x_{a}$	6.635	7.879	10.828