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相关试卷

1、某大学共有教师1000人，其中教授、副教授、讲师、助教的人数比为 $1 : 4 : 3 : 2$ ，现用分层抽样的方法从全校所有教师中抽取一个容量为40的样本，如果样本按比例分配，那么讲师应抽取的人数为（）

A、16 B、12 C、8 D、4

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2、已知复数 $z$ 满足 $z = \frac{2 i}{1 + i}$ ，则复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $2 b + c - 2 a cos C = 0$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、射线 $A B$ 绕 $A$ 点旋转 $90^{\circ}$ 交线段 $B C$ 于点 $E$ ，且 $A E = 1$ ，求 $△ A B C$ 的面积的最小值.

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4、已知函数 $f (x) = x \ln x + \frac{a}{x} (a \in R)$ 在 $x = 1$ 处取得极值．

(1)、求 $f (e)$ 的值；

(2)、设 $P (x) = \frac{1}{2} m (x^{2} - 2 x) - \frac{x^{3} + 1}{x^{2}} + \frac{1}{x} f (x)$ （其中 $m \in R$ ），讨论函数 $P (x)$ 的单调性；

(3)、若对 $\forall x \in [1, 3]$ ，都有 $f (x) - \frac{1 + n x^{2}}{x} + \frac{6 x - 4}{x + 1} - \ln x \leq 1 - n$ ，求n的取值范围．

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $S_{n} = 2 a_{n} - 2$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、删去数列 $\{a_{n}\}$ 的第 $3 i$ 项（其中 $i = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot$ ），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列 $\{b_{n}\}$ ，设 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，请写出 $\{b_{n}\}$ 的前6项，并求出 $T_{6}$ 和 $T_{2 n}$ ．

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6、（1）若 ${(2 x - \sqrt{3})}^{4} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4}$ ，求 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}$ 的值；
（2）在 ${(\sqrt{x} - \frac{2}{x^{2}})}^{n}$ 的展开式中，二项式系数最大的项只有第五项，
①求 $n$ 的值；
②若第 $k$ 项是有理项，求 $k$ 的取值集合；
③求系数最大的项．

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7、设抛掷一枚骰子的点数为随机变量X，则 $\sqrt{D (X)} =$ ．

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且对任意 $n \in N^{*}$ ，有 $a_{n + 1} = a_{n} + {(- 1)}^{n} \cdot n$ ，则 $a_{22} =$ .

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9、已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1000件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为 $R (x)$ 万元，且 $R (x) = \{\begin{matrix} 10.8 - \frac{1}{30} x^{2}, 0 < x \leq 10, \\ \frac{108}{x} - \frac{1000}{3 x^{2}}, x > 10 \end{matrix}$ 当该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大时，则有（）

A、年产量为9000件 B、年产量为10000件 C、年利润最大值为38万元 D、年利润最大值为38.6万元

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10、定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列 $\{a_{n}\}$ 是由正数组成的等方差数列，且方公差为2， $a_{13} = 5$ ，则（）

A、数列 $\{\frac{1}{a_{n} + a_{n + 1}}\}$ 的前60项和 $S_{60} = \frac{\sqrt{119} - 1}{2}$ B、数列 $\{\frac{1}{a_{n} + a_{n + 1}}\}$ 的前60项和 $S_{60} = 5$ C、数列 $\{a_{n}^{2}\}$ 的通项公式是 $a_{n}^{2} = 2 n - 1$ D、数列 $\{a_{n}^{2}\}$ 的通项公式是 $a_{n}^{2} = 2 n + 1$

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11、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ 且 $a_{n} = \frac{n}{2^{n}}$ ，若 $S_{n} + a_{n} > {(- 1)}^{n} a$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 1) \cup (2, + \infty)$ B、 $(- 1, 2)$ C、 $(- 1, \frac{3}{2})$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (\frac{3}{2}, + \infty)$

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12、 $(x - 3) {(2 x^{2} - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中常数项为（）

A、120 B、 $- 120$ C、180 D、 $- 180$

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13、已知函数 $y = f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，那么对于函数 $y = f (x)$ ，下列说法正确的是（）

A、在 $(- \infty, - 1)$ 上单调递增 B、在 $(1, + \infty)$ 上单调递减 C、在 $x = 1$ 处取得最大值 D、在 $x = 2$ 处取得极大值

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14、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{3} + a_{7} = 12$ ，则 $S_{7} - S_{2}$ 的值是（）

A、12 B、18 C、24 D、30

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15、甲、乙两人进行知识问答比赛，共有 $n$ 道抢答题，甲、乙抢题的成功率相同.假设每题甲乙答题正确的概率分别为 $p$ 和 $\frac{1}{3}$ ，各题答题相互独立.规则为：初始双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得﹣1分，未抢到题得0分，最后累计总分多的人获胜.

(1)、若 $n = 3$ ， $p = \frac{1}{2}$ ，求甲获胜的概率；

(2)、若 $n = 20$ ，设甲第 $i$ 题的得分为随机变量 $X_{i}$ ，一次比赛中得到 $X_{i}$ 的一组观测值 $x_{i} (i = 1, 2, \dots, 20)$ ，如下表.现利用统计方法来估计 $p$ 的值：
①设随机变量 $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}$ ，若以观测值 $x_{i} (i = 1, 2, \dots, 20)$ 的均值 $\bar{x}$ 作为 $\bar{X}$ 的数学期望，请以此求出 $p$ 的估计值 ${\hat{p}}_{1}$ ；
②设随机变量 $X_{i}$ 取到观测值 $x_{i} (i = 1, 2, \dots, 20)$ 的概率为 $L (p)$ ，即 $L (p)$ $= P (X_{1} = x_{1}, X_{2} = x_{2}, \dots, X_{20} = x_{20})$ ；在一次抽样中获得这一组特殊观测值的概率应该最大，随着 $p$ 的变化，用使得 $L (p)$ 达到最大时 $p$ 的取值 ${\hat{p}}_{2}$ 作为参数 $p$ 的一个估计值.求 ${\hat{p}}_{2}$ .
题目
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
得分
1
0
0
﹣1
1
1
﹣1
0
0
0
题目
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12
13
14
15
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17
18
19
20
得分
﹣1
0
1
1
﹣1
0
0
0
1
0
表1：甲得分的一组观测值.
附：若随机变量 $X$ ， $Y$ 的期望 $E (X)$ ， $E (Y)$ 都存在，则 $E (X + Y) = E (X) + E (Y)$ .

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项不为0，前 $n$ 项的和为 $S_{n}$ ，满足 $2 \sqrt{S_{n}} = a_{n} + c (n \in N^{*})$ ．

(1)、证明： $c \leq 1$ ；

(2)、若 $c = 0$ ，证明： $S_{n} \geq {(n + 1)}^{2}$ ；

(3)、是否存在常数 $c$ ，使得 $\{a_{n}\}$ 为等比数列?若存在，求出 $c$ 的所有可能值；若不存在，说明理由．

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17、如图，在以P，A，B，C，D为顶点的五面体中，平面ABCD为等腰梯形， $A B / / C D, A D = C D = \frac{1}{2} A B$ ，平面PAD⊥平面PAB， $P A ⊥ P B$ .

(1)、求证：△PAD为直角三角形；

(2)、若 $A D = P B$ ，求直线PD与平面PBC所成角的正弦值.

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18、剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的中国民间艺术．其传承赓续的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣，具有认知、教化、表意、抒情、娱乐、交往等多重社会价值．现有如图所示剪纸图案，其花纹中就隐含方程为 $x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}} (a > 0)$ 的曲线C（称为星形线），则曲线C的内切圆半径为；以曲线C上点 $(m, n) (m n \neq 0)$ 为切点的直线被坐标轴截得的线段长等于．

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19、某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标 $X \sim N (800, σ^{2})$ ，且 $P (X < 801) = 0.6$ ，现从该生产线上随机抽取10片瓷砖，记 $Y$ 表示 $800 \leq X < 801$ 的瓷砖片数，则 $E (Y) =$ ．

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20、 $△ A B C$ 中， $A B = \sqrt{2} ， ∠ A C B = \frac{π}{4}$ ， O是 $△ A B C$ 外接圆圆心，则 $\overset{⃑}{O C} \cdot \overset{⃑}{A B} + \overset{⃑}{C A} \cdot \overset{⃑}{C B}$ 的最大值为（　　）

A、0 B、1 C、3 D、5

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题目	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
得分	1	0	0	﹣1	1	1	﹣1	0	0	0
题目	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
得分	﹣1	0	1	1	﹣1	0	0	0	1	0