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相关试卷

1、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = 2, B C = 2 \sqrt{2}, P B = P C, B P, A P, A C, B C$ 的中点分别为 $D, E, F, O, A D = \frac{\sqrt{22}}{2}, A O = 2 D O, B F ⊥ A O$ ．

(1)、求 $A C$ 的长；

(2)、证明：平面 $A B C ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(3)、求平面 $A O D$ 和平面 $B E F$ 夹角的余弦值．

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2、哈三中高二数学备课组对学生的记忆力 $x$ 和判断力 $y$ 进行统计分析，所得数据如下表所示：
$x$
4
6
8
10
$y$
2
3
5
6
（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ；
（2）根据（1）中求出的线性回归方程，预测记忆力为9的学生的判断力.
（参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \hat{y} - \hat{b} x$ ）

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3、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} + a_{2} = 26$ ， $a_{5} = 20$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n} = 210$ ，求n．

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4、平面几何中有定理：若点 $P$ 为锐角 $△ A B C$ 的外心，直线 $A P$ ， $B P$ ， $C P$ 分别与锐角 $△ A B C$ 外接圆交于另外一点 $A^{'}$ ， $B^{'}$ ， $C^{'}$ ，则 $S_{△ A B C} = S_{△ A^{'} B C} + S_{△ B^{'} A C} + S_{△ C^{'} A B}$ ，若锐角 $△ A B C$ 的外接圆方程为 $x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y = 0$ ，且该圆与 $x$ 轴的交点分别为 $A$ ， $B$ ，则六边形 $A C^{'} B A^{'} C B^{'}$ 的面积的最大值为.

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5、过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点作 $x$ 轴的垂线l，l与双曲线的两条渐近线围成正三角形，则双曲线的离心率为．

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6、甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 和 $A_{3}$ 表示从甲罐取出的球是红球、白球、黑球，再从乙罐中随机取出一球，以 $B$ 表示从乙罐取出的球是红球.则下列结论中正确的是（）

A、 $P (B) = \frac{2}{5}$ B、 $P (B| A_{2}) = \frac{4}{11}$ C、事件 $B$ 与事件 $A_{1}$ 相互独立 D、 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ 两两互斥

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7、已知 ${(1 - 2 x)}^{6} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots \dots + a_{6} x^{6}$ ，则（）

A、 $a_{3} = 160$ B、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6} = 0$ C、此二项式展开式的二项式系数和为64 D、此二项式系数最大项为第4项

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8、已知函数 $f (x)$ 的部分图象如图所示， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，则下列结论正确的是（）

A、 $f^{'} (3) < 0$ B、 $f^{'} (- 1) > 0$ C、 $f (- 1) - f^{'} (- 1) > 0$ D、 $f (3) - 3 f^{'} (3) < 0$

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9、某中学举行全区教研活动，有10名志愿者参加接待工作.若每天排早、中、晚三班，每班至少3人，每人每天值一班，则教研活动当天不同的排班种数为（）

A、 $\frac{C_{10}^{4} C_{6}^{3} C_{3}^{3}}{A_{2}^{2}}$ B、 $\frac{C_{10}^{3} C_{7}^{3} C_{4}^{4} A_{3}^{3}}{A_{2}^{2}}$ C、 $\frac{C_{10}^{3} C_{7}^{4} C_{3}^{3}}{A_{3}^{3}}$ D、 $A_{10}^{3} A_{7}^{3} A_{4}^{4}$

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10、如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点 $O$ 出发，每次向左移动的概率为 $\frac{2}{3}$ ，向右移动的概率为 $\frac{1}{3}$ ．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于 $X$ 的位置，则 $P (X > 0) =$ （）

A、 $\frac{50}{243}$ B、 $\frac{52}{243}$ C、 $\frac{2}{9}$ D、 $\frac{17}{81}$

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11、已知函数 $f (x) = x^{3} + 3 a x^{2} + b x + a^{2}$ ，若 $x = - 1$ 时， $f (x)$ 取极值0，则ab的值为（）

A、3 B、18 C、3或18 D、不存在

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12、过两直线 $3 x + y - 1 = 0$ 与 $x + 2 y - 7 = 0$ 的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是（）

A、 $3 x + y - 1 = 0$ B、 $3 x + y + 1 = 0$ C、 $x - 3 y + 13 = 0$ D、 $x - 3 y + 6 = 0$

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13、已知点 $O (0, 0, 0)$ ， $A (1, 0, 1)$ ， $B (- 1, 1, 2)$ ， $C (- 1, 0, - 1)$ ，则异面直线 $O C$ 与 $A B$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{33}}{6}$

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14、对两个变量y与x进行回归分析，分别选择不同的模型，它们的相关系数r如下，其中拟合效果最好的模型是（）

A、模型Ⅰ：相关系数r为 $- 0.96$ B、模型Ⅱ：相关系数r为0.81 C、模型Ⅲ：相关系数r为 $- 0.53$ D、模型Ⅳ：相关系数r为0.53

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15、已知正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{4} = 3, S_{8} = 51$ ，则 $a_{1} a_{2} \dots a_{n}$ 的最小值为.

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16、《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马 $P - A B C D$ 中，侧棱 $P D ⊥$ 底面ABCD，且 $P D = C D = 2$ ，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE.

(1)、证明： $D E ⊥$ 平面 $P B C$ .试判断四面体 $E B C D$ 是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；

(2)、设H点是AD的中点，若面EDB与面ABCD所成二面角的大小为 $\frac{π}{3}$ ，求四棱锥 $E - H B D$ 的外接球的表面积.

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17、近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式.某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示.为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流.

(1)、应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？

(2)、在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示.
（i）估计该直播平台商家平均日利润的75百分位数与平均数（求平均数时同一组中的数据用该组区间中点的数值为代表）；
（ii）若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数.

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18、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 为正方形， $B B_{1} ⊥$ 平面ABC， $A B = B C = 2$ ， $A B ⊥ B C$ ， M，N分别为 $A_{1} B_{1}$ ， AC的中点.

(1)、求证： $M N / /$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(2)、求直线MN与平面 $A A_{1} C_{1} C$ 所成角的正弦值.

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19、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足， $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 2 \sqrt{3}$ ， $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ .

(1)、 $|\vec{a} - 2 \vec{b}|$ ；

(2)、若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (λ \vec{a} - \vec{b})$ ，求实数 $λ$ ；

(3)、若 $k \vec{a} + 2 \vec{b}$ 与 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ 的夹角为钝角，求实数k的取值范围.

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20、我国历史悠久，各地出土文物众多.甲图为湖北五龙宫遗址出土的道家篆书法印.图乙是此印章中抽象出的几何图形的示意图.如图乙所示，在边长为2的正八边形ABCDEFGH中，P是正八边形边上任意一点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P C}$ 的最大值是.

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$x$	4	6	8	10
$y$	2	3	5	6