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相关试卷

1、大西洋鲑鱼每年都要逆游而上游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速 $v$ （单位： $m / s$ ）可以表示为 $v = \frac{1}{2} \log_{3} \frac{O}{100}$ ，其中 $O$ 表示鲑鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为 $2 m / s$ 时耗氧量的单位数为 $U$ ，游速为 $3 m / s$ 时耗氧量的单位数为 $W$ ，则 $\frac{W}{U} =$ （）

A、3 B、6 C、9 D、12

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2、已知 $α$ 为第一象限角， $β$ 为第四象限角， $tan α - tan β = 3$ ， $tan α tan β = - 2$ ，则 $sin (α - β) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ B、 $- \frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ D、 $- \frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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3、若 $x$ ， $y \in R$ ，则“ $2 ^{x} - 2 ^{y} > 0$ ”是“ $ln (x - y) > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4、已知数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{10}$ ，且满足 $x_{1} < x_{2} < \dots < x_{10}$ ，若去掉 $x_{1}$ ， $x_{10}$ 后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，有可能变大的是（）

A、平均数 B、中位数 C、极差 D、方差

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5、若全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | 0 \leq x < 3}, B = {x | x > 1}$ ，则 $A \cup (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${x | x < 3}$ B、 ${x | 0 \leq x < 1}$ C、 ${x | 0 \leq x \leq 1}$ D、 ${x | x \geq 0}$

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6、已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的虚轴长为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{30}}{5}$ ．

(1)、求双曲线E的标准方程；

(2)、为了求二元二次方程 $x^{2} - 3 y^{2} = 1$ 的正整数解 $P_{n} (x_{n}, y_{n}) (x_{n}, y_{n}, n \in N^{*})$ ，可先找到初始解 $(x_{1}, y_{1})$ ，其中 $x_{1}$ 为所有解 $x_{n}$ 中的最小值，因为 $1 = (2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}) = 2^{2} - 3 \times 1^{2}$ ，可得 $P_{1} (2, 1)$ ；因为 $1 = {(2 + \sqrt{3})}^{2} {(2 - \sqrt{3})}^{2} = (7 + 4 \sqrt{3}) (7 - 4 \sqrt{3}) = 7^{2} - 3 \times 4^{2}$ ，可得 $P_{2} (7, 4)$ ；重复上述过程，因为 ${(2 + \sqrt{3})}^{n}$ 与 ${(2 - \sqrt{3})}^{n}$ 的展开式中，不含 $\sqrt{3}$ 的部分相等，含 $\sqrt{3}$ 的部分互为相反数，故可设 $1 = {(2 + \sqrt{3})}^{n} {(2 - \sqrt{3})}^{n} = (x_{n} + \sqrt{3} y_{n}) (x_{n} - \sqrt{3} y_{n}) = x_{n}^{2} - 3 y_{n}^{2}$ ，故得 $P_{n} (x_{n}, y_{n})$ ．若方程E的正整数解为 $Q_{n} (x_{n}, y_{n})$ ，且初始解为 $Q_{1} (9, 4)$ ．
（i）证明： $x_{n + 2} + x_{n} = 18 x_{n + 1}$ ；
（ii） $△ O Q_{n} Q_{n + 1}$ 的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由．

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7、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x - \frac{1}{2} x^{2}$ ．

(1)、若 $f^{'} (x) \geq 0$ ，求实数a的取值范围；

(2)、若 $f (x) \geq - \frac{1}{2} x^{2} + x + b$ ，求 $(a + 1) b$ 的最大值．

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8、在某地区进行高中学生每周户外运动调查，随机调查了 $1000$ 名高中学生户外运动的时间（单位：小时），得到如下样本数据的频率分布直方图.

(1)、求 $a$ 的值，估计该地区高中学生每周户外运动的平均时间；（同一组数据用该区间的中点值作代表）

(2)、为进一步了解这 $1000$ 名高中学生户外运动的时间分配，在 $(14, 16]$ ， $(16, 18]$ 两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了 $5$ 人，现从这 $5$ 人中随机抽取 $3$ 人进行访谈，记在 $(14, 16]$ 内的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和期望；

(3)、以频率估计概率，从该地区的高中学生中随机抽取 $8$ 名学生，用“ $P_{8} (k)$ ”表示这 $8$ 名学生中恰有 $k$ 名学生户外运动时间在 $(8, 10]$ 内的概率，当 $P_{8} (k)$ 最大时，求 $k$ 的值.

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9、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是平行四边形， $△ P A D$ 是正三角形， $∠ B A D = 60 °, P B = A B = 2 A D = 4$ ．

(1)、证明：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求二面角 $B - P C - D$ 的余弦值．

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10、已知a，b，c分别为 $△ A B C$ 三个内角A，B，C的对边，且 $\sqrt{3} a \sin C - a \cos C = c - b$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $a = 7, △ A B C$ 的面积为 $\frac{15 \sqrt{3}}{4}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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11、如图，某数阵满足：各项均为正数，每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成公比相同的等比数列， $a_{2, 1} = 2, a_{3, 2} = 12, a_{1, 4} \cdot a_{3, 1} = a_{3, 4}$ ，则 $a_{7, 8} =$ ， $\sum_{i = 1}^{n} (\sum_{j = 1}^{n} a_{i, j}) =$ ．
$a_{1, 1}$         $a_{1, 2}$         $a_{1, 3}$        …        $a_{1, n}$
$a_{2, 1}$         $a_{2, 2}$         $a_{2, 3}$        …        $a_{2, n}$
…          …          …          …        …
$a_{n, 1}$         $a_{n, 2}$         $a_{n, 3}$        …        $a_{n, n}$

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12、在一次活动上，四位同学将自己准备好的一张贺卡放在纸箱中，随后每人随机从中抽取一张，则四位同学均未取到自己的贺卡的概率为．

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13、若 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 是夹角为 $60 °$ 的两个单位向量，则 $(2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}) \cdot (- 3 \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}) =$ ．

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14、在圆锥 $S O$ 中，母线 $S A = l$ ，底面圆的半径为r，圆锥 $S O$ 的侧面积为 $3 π$ ，则（）

A、当 $r = \frac{3}{2}$ 时，圆锥 $S O$ 内接圆柱体的体积最大值为 $\frac{\sqrt{7}}{6} π$ B、当 $r = \frac{3}{2}$ 时，过顶点S和两母线的截面三角形的最大面积为 $\frac{3 \sqrt{7}}{4}$ C、当 $l = 3$ 时，圆锥 $S O$ 能在棱长为4的正四面体内任意转动 D、当 $l = 3$ 时，棱长为1的正四面体能在圆锥 $S O$ 内任意转动

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15、设函数 $f (x) = x^{2} (3 - x)$ ，则（）

A、 $x = 2$ 是 $f (x)$ 的极小值点 B、当 $0 < x < 1$ 时， $0 < f (2 x + 1) \leq 4$ C、当 $0 < x < 1$ 时， $f (x) > f (x^{2})$ D、当 $- 1 < x < 0$ 时， $f (x) < f (1 - x)$

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16、对某地区数学考试成绩的数据分析，男生成绩 $X$ 服从正态分布 $N (72, 8^{2})$ ，女生成绩 $Y$ 服从正态分布 $N (74, 6^{2})$ ．则（）

A、 $P (X \leq 86) < P (Y \leq 86)$ B、 $P (X \leq 80) > P (Y \leq 80)$ C、 $P (X \leq 74) > P (Y \leq 74)$ D、 $P (X \leq 64) = P (Y \geq 80)$

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17、已知函数 $f (x) = e^{x} + x, g (x) = \ln x + x$ ，若 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，则 $x_{1} x_{2}$ 的最小值为（）

A、 $- e$ B、 $- \frac{1}{e}$ C、 $- 1$ D、 $- \frac{\sqrt{e}}{2}$

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18、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} - x^{2} - 2 a x - a, x < 4 \\ 2^{x} + \ln (x - 3), x \geq 4 \end{cases}$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = f (n) (n \in N^{*})$ ，且数列 $\{a_{n}\}$ 是单调递增数列，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{25}{7}, - \frac{5}{2})$ B、 $[- \frac{32}{9}, - 4]$ C、 $[- \frac{32}{9}, - 3]$ D、 $(- \frac{25}{7}, - \frac{3}{2})$

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19、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 与抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，椭圆 $E$ 与抛物线 $C$ 交点的连线经过椭圆 $E$ 的右焦点，抛物线 $C$ 的准线经过椭圆 $E$ 的左焦点，则椭圆 $E$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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20、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < π), x = \frac{π}{6}$ 和 $x = \frac{2 π}{3}$ 是 $f (x)$ 相邻的两个零点，则（）

A、 $φ = \frac{π}{3}$ B、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{5 π}{12}, \frac{11 π}{12})$ 上单调递减 C、 $f (\frac{5 π}{6} - x) = - f (x)$ D、直线 $y = - x + \frac{\sqrt{3}}{2}$ 是曲线 $y = f (x)$ 的切线

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