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相关试卷

1、已知 $\sin α + \cos β = \frac{1}{2}, \cos α - \sin β = \frac{1}{3}$ ，则 $\sin (α - β) =$ （）

A、 $\frac{67}{72}$ B、 $- \frac{67}{72}$ C、 $\frac{59}{72}$ D、 $- \frac{59}{72}$

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2、元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，这根竹子的装米量为（）

A、 $9$ 升 B、 $10.5$ 升 C、 $12$ 升 D、 $13.5$ 升

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3、已知复数 $z = \frac{3 - i}{1 + 2 i}$ （其中 $i$ 为虚数单位），则 $|z| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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4、已知全集 $U = A \cup B = {x \in N ∣ 0 \leq x \leq 10}, A \cap (∁_{U} B) = {1, 3, 5, 7}$ ，则 $B =$ （）

A、 ${1, 3, 5, 7}$ B、 ${2, 4, 6, 8}$ C、 ${1, 3, 5, 7, 9}$ D、 ${0, 2, 4, 6, 8, 9, 10}$

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5、某项测试共有 $n$ 道多项选择题，每道题的评分标准如下：全部选对得5分；部分选对得2分；有选错或不答得0分．记 $n$ 道题的总得分为 $X, X$ 的取值个数为 $a_{n}$ ．

(1)、求 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 的值；

(2)、当 $n = 5$ 时，若某人参加这项测试，每道题得5分、2分、0分的概率相等，且每道题答对与否相互独立，求 $X = 10$ 的概率；

(3)、求数列 $\{\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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6、已知 $A (- 2, 0), B (2, 0)$ ，直线 $A M, B M$ 交于点 $M$ ，且直线 $A M, B M$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{4}$ ，点 $M$ 的轨迹记为曲线 $C$ ．

(1)、求 $C$ 的方程．

(2)、不过点 $N (0, 1)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $P, Q$ 两点，且直线 $P N$ 与 $Q N$ 的斜率之和为 $2$ ，试问直线 $l$ 是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．

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7、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为等腰梯形，其中 $A B ∥ C D$ ， $A B = 2 C D = 4, A D = \sqrt{10}$ ．

(1)、证明：平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B D$ ．

(2)、若 $P D = 3$ ，求二面角 $B - P A - C$ 的余弦值．

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8、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，且 $(b + c) cos A = a (cos B - cos C)$ ．

(1)、证明： $A = 2 B$ ．

(2)、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，求 $\frac{b}{a}$ 的取值范围．

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9、已知函数 $f (x) = x^{3} + \frac{1}{2} (a - 3) x^{2} - a x + 4$ ．

(1)、当 $a = 6$ 时，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性．

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10、已知 $x_{0}$ 满足 $x_{0}^{2} e^{x_{0}} + ln x_{0} = 0 (0 < x_{0} < 1)$ ，则 $e^{x_{0}} - \frac{3 ln x_{0} + 1}{x_{0}} =$ ．

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11、一场篮球比赛需要3名裁判员（1名主裁判、2名助理裁判），现从9名（5男4女）裁判员中任意选取3人担任某场篮球比赛的裁判，则这3名裁判员中既有男裁判员，又有女裁判员，且男裁判员担任主裁判的概率是．

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12、已知单位向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} + 3 \vec{b} | = \sqrt{13}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为．

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13、在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 4, A A_{1} = 2 \sqrt{2}, E, F$ 分别是棱 $A_{1} D_{1}, B B_{1}$ 的中点， $G$ 是 $A_{1} B$ 的中点，直线 $C_{1} G$ 与平面 $A B C D$ 交于点 $P$ ，则（）

A、异面直线 $E F$ 与 $C D$ 所成角的余弦值是 $\frac{2 \sqrt{22}}{11}$ B、点 $C$ 到平面 $D E F$ 的距离是 $\frac{8 \sqrt{22}}{11}$ C、三棱锥 $P - A A_{1} C$ 的体积为 $\frac{16 \sqrt{2}}{3}$ D、四面体 $C D E F$ 外接球的表面积是 $34 π$

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14、已知函数 $f (x) = sin x + 2 cos x$ ，下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、若直线 $x = x_{0}$ 是 $f (x)$ 图象的对称轴，则 $sin x_{0} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $f (x)$ 在 $[0, π]$ 上的值域为 $[- 2, \sqrt{5}]$ D、若 $α \neq β, α, β \in (0, 2 π]$ ，且 $f (α) = f (β) = - 2$ ，则 $cos (α + β) = \frac{3}{5}$

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15、降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失，而在水平面上积聚的水层深度，一般以毫米为单位．降雨量可以直观地反映一个地区某一时间段内降水的多少，它对农业生产、水利工程、城市排水等有着重要的影响．如图，这是 $A, B$ 两地某年上半年每月降雨量的折线统计图．
下列结论正确的是（）

A、这年上半年A地月平均降雨量比B地月平均降雨量大 B、这年上半年A地月降雨量的中位数比B地月降雨量的中位数大 C、这年上半年A地月降雨量的极差比B地月降雨量的极差大 D、这年上半年A地月降雨量的 $80 %$ 分位数比B地月平均降雨量的 $80 %$ 分位数大

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16、已知圆 $M : x^{2} + y^{2} - 6 y = 0$ 与圆 $N : {(x - cos θ)}^{2} + {(y - sin θ)}^{2} = 1 (0 \leq θ \leq 2 π)$ 交于 $A, B$ 两点，则 $△ A B M$ （ $M$ 为圆 $M$ 的圆心）面积的最大值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\frac{9}{2}$

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17、对于非空数集 $A, B$ ，定义 $A \times B = \{(x, y)| x \in A, y \in B\}$ ，将 $A \times B$ 称为“ $A$ 与 $B$ 的笛卡尔积”．记非空数集 $M$ 的元素个数为 $|M|$ ，若 $A, B$ 是两个非空数集，则 $\frac{|A \times A| + 4 |B \times B|}{|A \times B|}$ 的最小值是（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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18、若函数 $f (x) = ln (e^{2 x} + 1) - a x$ 是偶函数，则曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线斜率为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、0 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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19、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线被圆 ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 9$ 所截得的弦长为 $2 a$ ，则双曲线 $C$ 的焦距是（）

A、2 B、3 C、4 D、6

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20、现有一个正四棱台形水库，该水库的下底面边长为2km，上底面边长为4km，侧棱长为 $3 \sqrt{2} km$ ，则该水库的最大蓄水量为（）

A、 $\frac{112}{3} {km}^{3}$ B、 $112 {km}^{3}$ C、 $\frac{56}{3} {km}^{3}$ D、 $56 {km}^{3}$

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