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相关试卷

1、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $A B = A D = A A_{1} = 1$ ， $∠ A_{1} A D = ∠ A_{1} A B = ∠ B A D = 60^{\circ}$ ， E为棱 $C C_{1}$ 上一点，且 $\vec{C_{1} E} = 2 \vec{E C}$ ，则（）

A、 $B D_{1} = \sqrt{2}$ B、直线 $B D_{1}$ 与 $A C$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ C、 $A_{1} E ⊥$ 平面 $B D D_{1} B_{1}$ D、直线 $B D_{1}$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成角为 $\frac{π}{4}$

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2、已知 $X \sim N (2, 9)$ ，则（）

A、 $E (X) = 2$ B、 $D (X) = 3$ C、 $P (X \geq 8) > P (X \leq - 1)$ D、 $P (X \leq - 1) + P (X \leq 5) = 1$

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3、已知不等式 $a x^{2} + b x + c < 0$ 的解集为 $\{x |\frac{1}{t} < x < t, t > 1\}$ ，则（）

A、 $a > c > 0$ B、 $b < - 2 a < 0$ C、 $(\frac{1}{4} a + \frac{1}{2} b + c) (4 a + 2 b + c) \geq 0$ D、 ${(\frac{1}{t} + t)}^{2} - 2 > \frac{1}{t} + t$

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4、设 $a = e^{0.1} - 1$ ， $b = \frac{1}{11}$ ， $c = \ln 1.1$ ，则（）

A、 $b < c < a$ B、 $c < b < a$ C、 $a < b < c$ D、 $a < c < b$

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5、将函数 $g (x) = \cos (ω x + \frac{π}{12}) (ω \in N^{*})$ 的图象上所有点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标变为原来的2倍，得到函数 $f (x)$ 的图象，若 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 上只有一个极大值点，则ω的最大值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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6、如图①，上海黄浦江上的卢浦大桥，整体呈优美的弧形对称结构.如图②，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，主拱的顶端P到江面的距离为100m，且 $A B = \sqrt{2} C D = 550 m$ ，则顶端 $P$ 到桥面的距离为（）

A、50m B、 $50 \sqrt{2} m$ C、55m D、 $55 \sqrt{2} m$

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7、将6棵高度不同的景观树种植在道路两侧，要求每一侧种植3棵，且每一侧中间的景观树都要比两边的高，则不同的种植方法共有（）

A、20种 B、40种 C、80种 D、160种

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8、北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出了长方台形垛积的求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有 $a b, (a = b + 1)$ 个小球，第二层有 $(a + 1) (b + 1)$ 个小球，第三层有 $(a + 2) (b + 2)$ 个小球.....依此类推，最底层有 $c d$ 个小球，共有 $n$ 层.现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共7层，小球总个数为168，则该垛积的第一层的小球个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9、已知向量 $\vec{a} = (2, x)$ ， $\vec{b} = (x, 2)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{b} - \vec{a})$ ，则 $x =$ （）

A、2 B、0 C、1 D、-2

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10、已知复数 $z$ 满足 $(1 + 2 i) z = 3 - 4 i$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、3 D、5

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11、设集合 $M = \{x |0 \leq x < 4\}$ ，则 $N = \{x |\frac{1}{3} \leq x \leq 5\}$ ，则 $M \cap N$ 等于（）

A、 $\{x |0 < x \leq \frac{1}{3}\}$ B、 $\{x |\frac{1}{3} \leq x < 4\}$ C、 $\{x |4 \leq x < 5\}$ D、 $\{x |0 < x \leq 5\}$

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12、法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下：
①当 $△ A B C$ 的三个内角均小于 $120^{\circ}$ 时，满足 $∠ A O B = ∠ B O C = ∠ C O A = 120^{\circ}$ 的点 $O$ 为费马点；
②当 $△ A B C$ 有一个内角大于或等于 $120^{\circ}$ 时，最大内角的顶点为费马点.
请用以上知识解决下面的问题：
已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，点 $M$ 为 $△ A B C$ 的费马点，且 $cos 2 A + cos 2 B - cos 2 C = 1$ .

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $c = 4$ ，求 $|M A| \cdot |M B| + |M B| \cdot |M C| + |M C| \cdot |M A|$ 的最大值；

(3)、若 $|M A| + |M B| = t |M C|$ ，求实数 $t$ 的最小值.

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13、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，右顶点 $Q$ 与 $C$ 的上，下顶点所围成的三角形面积为 $2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、不过点 $Q$ 的动直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，直线 $Q A$ 与 $Q B$ 的斜率之积恒为 $\frac{1}{4}$ ，证明直线 $l$ 过定点，并求出这个定点．

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14、如图， $P A$ 、 $P B$ 、 $P C$ 为圆锥三条母线， $A B = A C$ .

(1)、证明： $P A ⊥ B C$ ；

(2)、若圆锥侧面积为 $\sqrt{3} π, B C$ 为底面直径， $B C = 2$ ，求平面 $P A B$ 和平面 $P A C$ 所成角的余弦值．

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15、设正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ，当 $n \geq 2$ 时， $a_{n} = \sqrt{S_{n}} + \sqrt{S_{n - 1}}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} = 1$ ，且 $b_{n + 1} - b_{n} = 2^{n - 1} \cdot a_{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式．

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16、已知函数 $f (x) = 3 {(\frac{x}{e^{x}})}^{2} + (a^{2} - 1) \frac{x}{e^{x}} + 1 - a^{2}$ 有三个不同的零点 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，其中 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ 则 ${(1 - \frac{x_{1}}{e^{x_{1}}})}^{2} (1 - \frac{x_{2}}{e^{x_{2}}}) (1 - \frac{x_{3}}{e^{x_{3}}})$ 的值为.

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17、盒中有 $a$ 个红球， $b$ 个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球 $c$ 个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是．

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18、已知矩形 $A B C D$ ， $A B = \sqrt{5}$ ， $B C = 2$ ，将 $Δ A D C$ 沿对角线 $A C$ 进行翻折，得到三棱锥 $D - A B C$ ，在翻折的过程中下列结论成立的是（）

A、三棱锥 $D - A B C$ 的体积最大值为 $\frac{10}{9}$ B、三棱锥 $D - A B C$ 的外接球体积不变 C、异面直线 $A B$ 与 $C D$ 所成角的最大值为 $90^{\circ}$ D、 $A D$ 与平面 $A B C$ 所成角的余弦值最小值为 $\frac{2}{3}$

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19、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，下列四个命题中，正确的命题是（）

A、在 $△ A B C$ 中，若 $\sin A > \sin B$ ，则 $A > B$ B、若 $(a^{2} + b^{2}) sin (A - B) = (a^{2} - b^{2}) sin (A + B)$ ，则 $△ A B C$ 是等腰三角形 C、若 $D$ 在线段 $A B$ 上，且 $A D = 5 ， B D = 3 ， C B = 2 C D ， cos ∠ C D B = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为8 D、若 $B C = 2 \sqrt{3}$ ，动点 $D$ 在 $△ A B C$ 所在平面内且 $∠ B D C = \frac{2 π}{3}$ ，则动点 $D$ 的轨迹的长度为 $\frac{8 π}{3}$

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20、记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，下列说法正确的是（）

A、若对 $\forall n \geq 2$ ， $n \in N^{*}$ ，有 $2 a_{n} = a_{n - 1} + a_{n + 1}$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 一定是等差数列 B、若对 $\forall n \geq 2$ ， $n \in N^{*}$ ，有 $a_{n}^{2} = a_{n - 1} \cdot a_{n + 1}$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 一定是等比数列 C、已知 $S_{n} = p n^{2} + q n (p, q \in R)$ ，则 $\{a_{n}\}$ 一定是等差数列 D、已知 $S_{n} = a^{n} - 1 (a \neq 0)$ ，则 $\{a_{n}\}$ 一定是等比数列

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