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相关试卷

1、已知在 $△ A B C$ 中，满足 $a \sin B - \sqrt{3} b \cos B \cos C = \sqrt{3} c \cos^{2} B$ （其中 $a, b, c$ 分别是角 $A, B, C$ 的对边）.

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若角 $B$ 的平分线 $B D$ 长为1，且 $a c = 2$ ，求 $△ A B C$ 外接圆的面积；

(3)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形， $c = 1$ ，求 $a + b$ 的取值范围.

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2、已知函数 $f (x) = e^{2 x} - 2 a x, a \in R$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若对于任意的 $x > 0$ ，都有 $f (x) \geq 1$ 恒成立，求a的取值范围．

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3、设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = 4^{x} + 5^{x}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $R$ 上的解析式；

(2)、解关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 2 \times 3^{x}$ ．

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4、设函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin 2 x + \cos 2 x, x \in R$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及对称轴方程；

(2)、若 $f (θ) = \frac{8}{5}$ ，求 $\cos (\frac{π}{3} - 2 θ)$ 的值.

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5、已知 $3^{a} = 2 + 3^{b}$ ，则 $2 a - b$ 的最小值为．

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6、若曲线 $y = e^{x + a}$ 过坐标原点的切线与圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 2$ 相切，则实数 $a =$ .

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7、函数 $f (x) = a^{- x + 1} - 2$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）恒过定点 $P$ ，则点 $P$ 的坐标为.

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8、若定义在R上的函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 满足 $f (1 + x) + f (1 - x) = 0$ ， $f (x + 3) + g (x) = 2$ ， $f (x) + g (1 - x) = 2$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $g (x)$ 是周期为4的周期函数 C、 $f (1) + f (2) + f (3) + f (4) = 0$ D、 $\sum_{n = 1}^{20} g (n) = 30$

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9、已知复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $\bar{z_{1} + z_{2}} = \bar{z_{1}} + \bar{z_{2}}$ B、若 $z_{1} - z_{2} > 0$ ，则 $z_{1} > z_{2}$ C、 $|z_{1} \cdot z_{2}| = |z_{1}| \cdot |z_{2}|$ D、若 $z_{1}^{2} < 0$ ，则 $z_{1}$ 为纯虚数

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10、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，下列结论一定成立的有（）．

A、 $sin (A + B) = sin C$ B、若 $A > B$ ，则 $sin A > sin B$ C、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 ${sin}^{2} A + {sin}^{2} B < {sin}^{2} C$ D、若 $\frac{a}{cos \frac{A}{2}} = \frac{b}{cos \frac{B}{2}} = \frac{c}{cos \frac{C}{2}}$ ，则 $△ A B C$ 是等边三角形

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11、已知 $a > 0, x_{1}, x_{2}$ 分别是函数 $f (x) = x e^{x} - a$ 与 $g (x) = - \frac{ln x}{x} - a$ 的零点，则 $\frac{x_{1}^{2}}{x_{2} e^{a - x_{1}}}$ 的最大值为（）

A、2 B、 $\frac{2}{e^{2}}$ C、 $\frac{4}{e^{2}}$ D、 $\frac{8}{e^{2}}$

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12、已知关于 $x$ 不等式 $\frac{(x - 2) (a x + b)}{x - c} \geq 0$ 的解集为 $(- \infty, - 2] \cup (1, 2]$ ，则（）

A、 $c = 2$ B、点 $(a, b)$ 在第二象限 C、 $y = a x^{2} + b x - 2 a$ 的最大值为 $3 a$ D、关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + a x - b \geq 0$ 的解集为 $[- 2, 1]$

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13、已知平面向量 $\vec{e_{1}}$ 和 $\vec{e_{2}}$ 满足 $|\vec{e_{2}}| = 2 |\vec{e_{1}}| = 2, \vec{e_{2}}$ 在 $\vec{e_{1}}$ 上的投影向量为 $- \vec{e_{1}}$ ，则 $\vec{e_{1}}$ 在 $\vec{e_{2}}$ 上的投影向量为（）

A、 $- \frac{1}{4} \vec{e_{2}}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{e_{2}}$ D、 $- \vec{e_{2}}$

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14、已知函数 $f (x) = ln (x^{2} - a x - 3 + a^{2})$ 在 $[1, + \infty)$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 1]$ B、 $(- \infty, - 1)$ C、 $(- \infty, 2]$ D、 $(2, + \infty)$

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15、 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 是平面内不共线两向量，已知 $\vec{A B} = \vec{e_{1}} - k \vec{e_{2}}$ ， $\vec{C B} = 2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ， $\vec{C D} = 3 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ ，若A，B，D三点共线，则k的值是（）．

A、3 B、 $- 3$ C、 $- 2$ D、2

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16、已知集合 $U = \{- 2, - 1, 0, 1, 2, 3\}$ ， $A = \{1, 2\}$ ， $B = \{- 1, 0, 1\}$ ，则 $∁_{U} (A \cup B)$ =（　　）

A、 $\{- 2, 3\}$ B、 $\{- 2, 2, 3\}$ C、 $\{- 2, - 1, 0, 3\}$ D、 $\{- 2, - 1, 0, 2, 3\}$

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17、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的实轴长为4，渐近线方程为 $y = \pm \frac{1}{2} x$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、双曲线的左､右顶点分别为 $A_{1} ､ A_{2}$ ，过点 $B (3, 0)$ 作与 $x$ 轴不重合的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $P ､ Q$ 两点，直线 $A_{1} P$ 与 $A_{2} Q$ 交于点S，直线 $A_{1} Q$ 与 $A_{2} P$ 交于点 $T$ .
（i）设直线 $A_{1} P$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $A_{2} Q$ 的斜率为 $k_{2}$ ，若 $k_{1} = λ k_{2}$ ，求 $λ$ 的值；
（ii）求 $△ A_{2} S T$ 的面积的取值范围.

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18、传球是排球运动中最基本､最重要的一项技术．传球是由准备姿势､迎球､击球､手型､用力5个动作部分组成．其中较难掌握的是触球时的手型，因为触球时手型正确与否直接影响手控制球的能力和传球的准确性，对初学者来说掌握了正确手型才能保证正确击球点和较好的运用手指，手腕的弹力．从小张､小胡､小郭､小李､小陈这5人中随机地抽取三个人去做传球训练．训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出．

(1)、记小胡､小李､小陈这三人中被抽到的人数为随机变量 $X$ ，求 $X$ 的分布列；

(2)、若刚好抽到小胡､小李､小陈三个人相互做传球训练，且第1次由小胡将球传出，记 $n$ 次传球后球在小胡手中的概率为 $p_{n}, n = 1, 2, 3, \dots$ ．
①直接写出 $p_{1}, p_{2}, p_{3}$ 的值；
②求 $p_{n + 1}$ 与 $p_{n}$ 的关系式 $(n \in N^{*})$ ，并求 $p_{n} (n \in N^{*})$ ．

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19、在如图所示的实验装置中，两个正方形框架 $A B C D$ ， $A B E F$ 的边长都是1，且他们所在的平面互相垂直，活动弹子 $M$ ， $N$ 分别在正方形对角线 $A C$ 和 $B F$ 上移动，且 $C M$ 和 $B N$ 的长度保持相等，及 $C M = B N = a (0 < a < \sqrt{2})$

(1)、求 $M N$ 的长；

(2)、 $a$ 为何值时， $M N$ 的长最小，最小值是多少？

(3)、当 $M N$ 的长最小时，求平面 $M N A$ 与平面 $M N B$ 的夹角的余弦值．

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20、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，且 $a^{2} + 4 \sqrt{3} S = {(b + c)}^{2}$

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $b + c = 4$ ，求a的取值范围．

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