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相关试卷

1、在正方形 $A B C D$ 中， $\vec{A E} = \vec{E B}, \vec{F C} = 2 \vec{B F}, A F$ 与 $D E$ 交于点 $M$ ，则 $cos ∠ E M F =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{5}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ D、 $\frac{1}{10}$

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2、下列函数中，以 $π$ 为周期，且在区间 $(\frac{π}{2}, π)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = sin |x|$ B、 $y = cos |x|$ C、 $y = |tan x|$ D、 $y = |cos x|$

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3、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} e^{x} + e^{- x}, x \leq 2, \\ f (\frac{x}{3}), x > 2, \end{array}$ 则 $f (ln 27) =$ （）

A、 $\frac{8}{3}$ B、 $\frac{10}{3}$ C、 $\frac{728}{27}$ D、 $\frac{730}{27}$

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4、下列命题为真命题的是（）

A、若 $a > b > c > 0$ ，则 $\frac{a}{b} < \frac{a + c}{b + c}$ B、若 $a > b > 0, c < 0$ ，则 $\frac{c}{a} < \frac{c}{b}$ C、 $a > b > 0$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ D、若 $a > b$ ，则 $a > \frac{a + b}{2} > b$

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5、设 $m, n \in R$ ，则“ ${(m + 1)}^{3} = n^{3}$ ”是“ $2^{m} < 2^{n}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、充要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分又不必要条件

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6、已知集合 $A = \{x \in N ∣ 0 \leq x^{2} \leq 9\}, B = \{x \in N ∣ 0 \leq x \leq 10\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x ∣ 0 \leq x \leq 9\}$ B、 $\{1, 2, 3\}$ C、 $\{x ∣ 0 \leq x \leq 3\}$ D、 $\{0, 1, 2, 3\}$

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7、已知 $a_{n} > 0$ ， $b_{n} = n^{2} + n$ ，函数 $f_{n} (x) = e^{x} - x + \ln a_{n} - a_{n}$ .

(1)、若 $f_{n} (x) \geq 0$ ，求 $a_{n}$ ；

(2)、设 $\frac{2 b_{n}}{2 b_{n} - 1} < a_{n} < \frac{b_{n} + 1}{b_{n}}$ .记M为 $f_{1} (x), f_{2} (x), \cdot \cdot \cdot, f_{n} (x)$ 的所有零点组成的集合， $X, Y$ 为M的子集，它们各有n个元素，且 $X \cap Y = \emptyset$ .设. $x_{i} \in X, y_{i} \in Y, i = 1, 2, \dots, n$ ，且 $x_{1} < x_{2} < \dots < x_{n}, y_{1} > y_{2} > \dots > y_{n}$ .证明： $\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} + 1) (y_{i} + 1) < n$ .

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8、已知函数 $f (x) = - 4 a ln x + x^{2} - 1.$

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、探究 $f (x)$ 的最小值.

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9、函数 $y = 4^{x} - 2^{x + 1} + 3$ 的定义域为 $x \in [- 1, 1]$ ．

(1)、设 $t = 2^{x}$ ，求 $t$ 的取值范围；

(2)、若 $\frac{y}{2^{x}} > m$ 恒成立，求 $m$ 的范围．

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10、已知函数 $f (x) = {(x - a)}^{2} e^{x}$ ，其极大值点和极小值点分别为 $x_{1}, x_{2}$ ，记点 $A (x_{1}, f (x_{1})), A (x_{2}, f (x_{2}))$ ，直线 $A B$ 交曲线 $y = f (x)$ 于点 $C$ ，若存在常数 $λ \in (n, n + 1) (n \in N^{*})$ ，使得 $|A B| = λ |B C|$ ，则 $n =$ .

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11、若 $\forall a \in [e, 4)$ 有 $b < a^{3} + a - 4 \ln a - 1,$ 则 $b$ 的取值范围是.

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12、麦克斯韦妖（Maxwell＇s demon），是在物理学中假想的妖，能探测并控制单个分子的运动，于1871年由英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的．当时麦克斯韦意识到自然界存在着与熵增加相拮抗的能量控制机制．但他无法清晰地说明这种机制．他只能诙谐地假定一种“妖”，能够按照某种秩序和规则把作随机热运动的微粒分配到一定的相格里．麦克斯韦妖是耗散结构的一个雏形．可以简单的这样描述，一个绝热容器被分成相等的两格，中间是由“妖”控制的一扇小“门”，容器中的空气分子作无规则热运动时会向门上撞击，“门”可以选择性的将速度较快的分子放入一格，而较慢的分子放入另一格，这样，其中的一格就会比另外一格温度高，可以利用此温差，驱动热机做功．这是第二类永动机的一个范例．而直到信息熵的发现后才推翻了麦克斯韦妖理论．设随机变量X所有取值为1，2，…n，且 $P (x = i) = P_{i} > 0$ （ $i = 1$ ， 2，…n） $\sum_{i = 1}^{n} P_{i} = 1$ ，定义X的信息熵 $H (x) = - \sum_{i = 1}^{n} P_{i} \log_{2} P_{i}$ ，则下列说法正确的有（）

A、n=1时 $H (x) = 0$ B、n=2时，若 $P_{1} \in (0, \frac{1}{2})$ ，则 $H (x)$ 与 $P_{1}$ 正相关 C、若 $P_{1} = P_{2} = \frac{1}{2^{n - 1}}$ ， $P_{k + 1} = 2 P_{k} (k \geq 2, k \in N)$ ， $H (x) = 2 - \frac{n}{2^{n - 1}}$ D、若n=2m，随机变量y的所有可能取值为1，2，…，m，且 $P (y = j) = P_{j} + P_{2 m + 1 - j}$ （j=1，2，…，m）则 $H (x) \geq H (y)$

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13、已知函数 $f (x) = |\lg x|, 0 < a < b,$ 且 $f (a) = f (b)$ ，则（）

A、 $a b = 1$ B、 $a b = 10$ C、 $a + 2 b$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$ D、 ${(a + 1)}^{2} + {(b + 1)}^{2} > 8$

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14、若 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 为三个集合， $A \cup B = B \cap C$ ，则一定有（　　）

A、 $A \subseteq C$ B、 $C \subseteq A$ C、 $A \neq C$ D、 $A = \emptyset$

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15、曲线 $y = \sin x$ 在原点处的切线斜率为（）

A、 $- 1$ B、0 C、 $\cos 1$ D、1

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16、已知 $a, b \in R$ ，则“ $a^{3} = b^{3}$ ”是“ $3^{a} = 3^{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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17、已知集合 $A = \{x |1 < x^{2} < 5\}, B = \{- 2, - 1, 0, 2\}$ ，则 $A \cap B$ =（）

A、 $\{- 2, 2\}$ B、 $\{0, 2\}$ C、 $\{- 2, - 1\}$ D、 $\{- 1, 0\}$

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18、已知函数 $f (x) = \ln x + \frac{a}{x} - 1 (a \in R)$ ，且x轴是曲线 $y = f (x)$ 的切线，

(1)、求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、证明： $\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{2 n} < \ln 2 (n \in N^{*})$ ；

(3)、设 $F (x) = \frac{x^{2}}{2} - \ln x - m f (\frac{1}{x}) (m > 2)$ ， $F (1) = F (n) (n > 1)$ ，证明：对任意 $x \in (1, n]$ ， $(m - 1) \ln x > x - 1$ ．

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19、已知在 $△ A B C$ 中，满足 $a \sin B - \sqrt{3} b \cos B \cos C = \sqrt{3} c \cos^{2} B$ （其中 $a, b, c$ 分别是角 $A, B, C$ 的对边）.

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若角 $B$ 的平分线 $B D$ 长为1，且 $a c = 2$ ，求 $△ A B C$ 外接圆的面积；

(3)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形， $c = 1$ ，求 $a + b$ 的取值范围.

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20、已知函数 $f (x) = e^{2 x} - 2 a x, a \in R$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若对于任意的 $x > 0$ ，都有 $f (x) \geq 1$ 恒成立，求a的取值范围．

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