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相关试卷

1、定义：若椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上的两个点 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 满足 $\frac{x_{1} x_{2}}{a^{2}} + \frac{y_{1} y_{2}}{b^{2}} = 0$ ，则称 $A, B$ 为该椭圆的一个“共轭点对”，记作 $[A, B]$ ．已知椭圆 $C$ 的一个焦点坐标为 $F_{1} (- 1, 0)$ ，且椭圆过点 $A (1, \frac{3}{2})$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、求证：有两个点 $B$ 满足“共轭点对” $[A, B]$ ，并求出 $B$ 的坐标；

(3)、设（2）中的两个点 $B$ 分别是 $B_{1}, B_{2}$ ，设 $O$ 为坐标原点，点 $P, Q$ 在椭圆 $C$ 上，且 $B_{1}, P$ ， $B_{2}, Q$ 顺时针排列且 $P Q ∥ O A$ ，证明：四边形 $B_{1} P B_{2} Q$ 的面积小于 $4 \sqrt{3}$ ．

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2、如果n项有穷数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = a_{n}$ ， $a_{2} = a_{n - 1}$ ， …， $a_{n} = a_{1}$ ，即 $a_{i} = a_{n - i + 1} (i = 1, 2, \dots, n)$ ，则称有穷数列 $\{a_{n}\}$ 为“对称数列”.

(1)、设数列 $\{b_{n}\}$ 是项数为7的“对称数列”，其中 $b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}$ 成等差数列，且 $b_{2} = 3, b_{5} = 5$ ，依次写出数列 $\{b_{n}\}$ 的每一项；

(2)、设数列 $\{c_{n}\}$ 是项数为 $2 k - 1$ ( $k \in N^{*}$ 且 $k \geq 2$ )的“对称数列”，且满足 $|c_{n + 1} - c_{n}| = 2$ ，记 $S_{n}$ 为数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.
①若 $c_{1}$ ， $c_{2}$ ， …， $c_{k}$ 构成单调递增数列，且 $c_{k} = 2023$ .当 $k$ 为何值时， $S_{2 k - 1}$ 取得最大值?
②若 $c_{1} = 2024$ ，且 $S_{2 k - 1} = 2024$ ，求 $k$ 的最小值.

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3、如图，已知菱形 $A B C D$ 和菱形 $A D E F$ 的边长均为 $2$ ， $∠ F A D = ∠ B A D = 60 °, B F = \sqrt{3}$ ， $M, N$ 分别为 $A E, B D$ 上的动点，且 $\vec{A M} = λ \vec{A E}, \vec{B N} = λ \vec{B D} (0 < λ < 1)$ ．

(1)、证明： $M N //$ 平面 $C D E$ ；

(2)、当 $M N$ 的长度最小时，求：
① $λ$ ；
②点 $C$ 到平面 $M N D$ 的距离．

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4、在 $△ A B C$ 中，角 $A 、 B 、 C$ 所对的边分别为 $a 、 b 、 c, c = 4, a b = 9$ ．

(1)、若 $sin C = \frac{2}{3}$ ，求 $sin A \cdot sin B$ 的值；

(2)、求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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5、在n维空间中（ $n \geq 2$ ， $n \in N$ ），以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ ，其中 $a_{i} \in \{0, 1\} (1 \leq i \leq n, i \in N)$ .则5维“立方体”的顶点个数是；定义：在n维空间中两点 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ 与 $(b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n})$ 的曼哈顿距离为 $|a_{1} - b_{1}| + |a_{2} - b_{2}| + \dots + |a_{n} - b_{n}|$ .在5维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离，则 $E (X) =$ .

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6、某制药公司生产某种胶囊，其中胶囊中间部分为圆柱，且圆柱高为 $l$ ，左右两端均为半球形，其半径为 $r$ ，若其体积为定值 $V$ ，则胶囊的表面积取最小值时 $r =$ .

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7、已知 $sin (α + \frac{π}{3}) = \frac{3}{4}$ ，则 $sin (2 α + \frac{π}{6}) =$ .

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8、在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 绕其顶点分别逆时针旋转 $9 0^{\circ} ､ 18 0^{\circ} ､ 27 0^{\circ}$ 后所得三条曲线与 $C$ 围成的（如图阴影区域）， $A, B$ 为 $C$ 与其中两条曲线的交点，若 $p = 1$ ，则（）

A、开口向上的抛物线的方程为 $y = \frac{1}{2} x^{2}$ B、 $|A B| = 2$ C、直线 $x + y = t$ 截第一象限花瓣的弦长最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、阴影区域的面积大于4

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9、沙漏是古代的一种计时仪器，根据沙子从一个容器漏到另一容器的时间来计时.如图，沙漏可视为上下两个相同的圆锥构成的组合体，下方的容器中装有沙子，沙子堆积成一个圆台，若该沙漏高为6，沙子体积占该沙漏容积的 $\frac{19}{54}$ ，则沙子堆积成的圆台的高为（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、 $\frac{4}{3}$

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10、若直线 $y = k x + b$ 是曲线 $f (x) = e^{x - 2023}$ 与 $g (x) = e^{x + 2024} - 2025$ 的公切线，则 $k =$ （）

A、 $\frac{1}{2025}$ B、 $\frac{2023}{2024}$ C、 $\frac{2025}{4047}$ D、 $\frac{2}{4047}$

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11、若函数 $f (x) = \sin ω x + \sqrt{3} \cos ω x (ω > 0)$ 在区间 $[a, b]$ 上是减函数，且 $f (a) = 1$ ， $f (b) = - 1$ ， $b - a = \frac{π}{2}$ ，则 $ω =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、1 C、 $\frac{2}{3}$ D、2

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12、已知 $a = \log_{4} 2$ ， $b = \log_{8} 3$ ， $c = {(\frac{1}{5})}^{\frac{1}{2}}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $a < c < b$ D、 $c < b < a$

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13、在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 4$ ，点 $E$ 为 $B C$ 的中点，点 $F$ 在边 $C D$ 上，若 $\vec{A F} \cdot \vec{A B} = 2$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{A F}$ 的值为（）

A、9 B、10 C、11 D、12

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14、已知函数 $f (x)$ 是定义域为R的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x (x + 2)$ .若 $f (3 + m) + f (3 m - 7) < 0$ ，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(- \infty, 0)$ D、 $(0, + \infty)$

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15、设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的可导函数，则 $f^{'} (x_{0}) = 0$ 是 $x_{0}$ 为函数 $f (x)$ 的极值点的

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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16、已知集合 $A = \{x | x > 1\}, B = \{x | (x + 1) (x - 3) < 0\}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $(3, + \infty)$ B、 $(- 1, + \infty)$ C、 $(- 1, 3)$ D、 $(- 1, 1]$

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17、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A ⊥ P D$ ， $P A = P D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = 1$ ， $A D = 2$ ， $A C = C D = \sqrt{5}$ .
（1）求证：平面 $P A B$ ；
（2）求直线 $P B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值；
（3）在棱上是否存在点，使得平面 $P C D$ ？若存在，求的值；若不存在，说明理由.

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18、我们知道，函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数.已知函数 $f (x) = \frac{2}{1 + 2^{1 - x}}$ .

(1)、证明：函数 $g (x) = f (x + 1) - 1$ 是奇函数，并写出函数 $f (x)$ 的对称中心；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的单调性（不用证明），若 $g (- a^{2} - 1) + g (4 - 2 a) > 0$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是公差为 $3$ 的等差数列，数列 $\{b_{n}\}$ 是公比为 $2$ 的等比数列，且 $a_{2} + a_{4} = b_{4} + 2$ ， $a_{1} + a_{3} = b_{2} + b_{3}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 、 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${\frac{9}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，求证： $\frac{1}{2} \leq S_{n} < 1$ .

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20、如下图，正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的边长为 14 cm， $A_{2}, B_{2}, C_{2}, D_{2}$ 依次将 $A_{1} B_{1}, B_{1} C_{1}, C_{1} D_{1}, D_{1} A_{1}$ 分为3：4的两部分，得到正方形 $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ ，依照相同的规律，得到正方形 $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3} 、 A_{4} B_{4} C_{4} D_{4} 、 \dots 、 A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ . 一只蚂蚁从 $A_{1}$ 出发，沿着路径 $A_{1} A_{2} A_{3} \dots A_{n}$ 爬行，设其爬行的长度为 $x$ ， $K$ 为正整数，且 $x$ 与 $K$ 恒满足不等式 $x \leq K$ ，则 $K$ 的最小值是.

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