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相关试卷

1、设函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} cos x + \frac{1}{2} sin x + 1$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的值域和单调递增区间；

(2)、当 $f (α) = \frac{9}{5}$ ，且 $\frac{π}{6} < α < \frac{2 π}{3}$ 时，求 $sin (2 α + \frac{2 π}{3})$ 的值．

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2、已知集合 $A = \{x |\frac{x + 6}{3 - x} \geq 0\}$ ，集合 $B = \{x |x^{2} \leq 16\}$ ，集合 $C = \{x |3 x + m < 0\}$ ．
（1）求 $A \cup B$ ， $A \cap B$ ， $∁_{R} (A \cup B)$ ；
（2）若 $x \in C$ 是 $x \in A$ 的必要条件，求m的取值范围．

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3、已知函数 $y = f (x)$ 是 $R$ 上的奇函数，对任意 $x \in R$ ，都有 $f (2 - x) = f (x) + f (2)$ 成立，当 $x_{1}, x_{2} \in [0, 1]$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $(x_{1} - x_{2}) (f (x_{2}) - f (x_{1})) < 0$ ，有下列四个结论：
① $f (2) + f (3) + \dots + f (2022) = 0$
②点 $(2022, 0)$ 是函数 $y = f (x)$ 图象的一个对称中心；
③函数 $y = f (x)$ 在 $[- 2022, 2022]$ 上有2023个零点；
④函数 $y = f (x)$ 在 $[7, 9]$ 上为减函数；
则所有正确结论的序号为.

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4、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2 \sin π x, 0 \leq x \leq 2 \\ \frac{1}{2} f (x - 2), x > 2 \end{array}$ ，下列说法正确的是（）

A、当 $x \in [2 n, 2 n + 2] (n \in N^{*})$ 时， $f (x) = \frac{1}{2^{n}} \sin π (x - 2 n)$ B、函数 $f (x)$ 在 $[2 n, 2 n + \frac{1}{2}] (n \in N^{*})$ 上单调递增 C、方程 $f (x) = \lg (x + 2)$ 有4个相异实根 D、若关于x的不等式 $f (x) \leq k (x - 2)$ 在 $[2, 4]$ 恒成立，则 $k \geq 1$

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5、如图，在底面为等边三角形的直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = 2$ ， $B B_{1} = \sqrt{2}$ ， $D$ ， $E$ 分别为棱 $B C$ ， $B B_{1}$ 的中点，则（）

A、 $A_{1} B ∥$ 平面 $A D C_{1}$ B、 $A D ⊥ C_{1} D$ C、异面直线 $A C$ 与 $D E$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ D、平面 $A D C_{1}$ 与平面 $A B C$ 的夹角的正切值为 $\sqrt{2}$

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6、已知 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $a_{1} = \frac{1}{2}$ ，若数列 $\{a_{n} + S_{n}\}$ 既是等差数列，又是等比数列，则（）

A、 $\{a_{n}\}$ 是等差数列 B、 $\{\frac{ln a_{n}}{n}\}$ 是等比数列 C、 $\{S_{n}\}$ 为递增数列 D、 $\{n (n - 1) a_{n}\}$ 最大项有两项

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7、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} 2 - a x, x \leq 1 \\ \frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} a x^{2} + (2 a^{2} + 2) x - \frac{11}{6}, x > 1 \end{cases}$ ，若对任意 $x_{1} < x_{2}$ ，都有 $f (x_{1}) - f (x_{2}) < 2 x_{1} - 2 x_{2}$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 2)$ B、 $[1, + \infty)$ C、 $(- 2, \frac{1}{2}]$ D、 $(- \infty, - \frac{3}{4}]$

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8、如图， $F_{1}$ ､ $F_{2}$ 是双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点，过 $F_{2}$ 的直线与双曲线 $C$ 交于 $A$ ､ $B$ 两点.若 $A$ 是 $B F_{2}$ 中点且 $B F_{1} ⊥ B F_{2}$ 则该双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm 2 \sqrt{3} x$ B、 $y = \pm 2 \sqrt{2} x$ C、 $y = \pm \sqrt{3} x$ D、 $y = \pm \sqrt{2} x$

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9、把一个正方体各面上均涂上颜色，并将各棱三等分，然后沿等分线把正方体切开．若从所得的小正方体中任取一个，恰好抽到 $2$ 个面有颜色的小正方体的概率为（）

A、 $\frac{2}{9}$ B、 $\frac{8}{27}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、 $\frac{1}{2}$

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10、若 $\forall x \in [\frac{1}{2}, 2]$ ，使得 $3 x^{2} - λ x + 1 \geq 0$ 成立是真命题，则实数 $λ$ 的最大值为（）

A、 $\frac{7}{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、 $\frac{13}{2}$

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11、神舟十二号载人飞船搭载3名宇航员进入太空，在中国空间站完成了为期三个月的太空驻留任务，期间进行了很多空间实验，目前已经顺利返回地球.在太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用水，回收水是将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊的净水器处理成饮用水，循环使用.净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的2%以下，则至少需要过滤的次数为（参考数据 $\lg 2 \approx 0.3010$ ）（）

A、12 B、14 C、16 D、18

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12、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = a_{n}^{2}$ ， $n \in N^{*}$ ，则“ $a_{1} = 2$ ”是“ $\{a_{n}\}$ 为单调递增数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、已知复数z满足 $(1 + 2 i) z = 3 - 2 i$ ，则复数z的实部为（）

A、 $\frac{8}{5}$ B、 $- \frac{8}{5}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $- \frac{1}{5}$

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14、已知集合 $M = \{x| x^{2} - x - 2 < 0\}$ ， $N = {x \in Z| 2 x + 1 > 0}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $(- \frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$ B、 $(- \frac{1}{2}, 1]$ C、 ${0, 1, 2}$ D、 ${0, 1}$

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15、已知函数 $f (x) = (x + 1) \ln x + a x (a \in R)$ .
（1）若 $y = f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $x + y + b = 0$ ，求实数 $a$ ， $b$ 的值：
（2）求证：当 $a < - 2$ 时， $y = f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上有两个极值点：
（3）设 $g (x) = |f (x)| \frac{1}{x e^{x}}$ ，若 $g (x)$ 在 $[1, e]$ 单调递减，求实数 $a$ 的取值范围.（其中 $e = 2.71828...$ 为自然对数的底数）

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16、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 与椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 相交于点M(0，1)，N(0，-1)，且椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .
（1）求 $r$ 的值和椭圆C的方程；
（2）过点M的直线 $l$ 交圆O和椭圆C分别于A，B两点.
①若 $2 \vec{M B} = 3 \vec{M A}$ ，求直线 $l$ 的方程；
②设直线NA的斜率为 $k_{1}$ ，直线NB的斜率为 $k_{2}$ ，问： $\frac{k_{2}}{k_{1}}$ 是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由.

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17、从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币．如图1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”．某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图2所示，小圆直径1厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比孔的边长小），每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上的字．设 $∠ O A B = θ$ ，五个正方形的面积和为S．

（1）求面积S关于 $θ$ 的函数表达式，并求定义域；
（2）求面积S的最小值及此时 $\tan θ$ 的值．

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18、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = B C$ ， D，E分别是 $A C ， A_{1} B$ 的中点.
（1）求证：DE∥平面 $B C C_{1} B_{1}$
（2）若 $A B ⊥ D E$ ，求证：平面 $A B C_{1} ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ .

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19、已知向量 $\overset{⃑}{a} = (\sin x, \frac{3}{4})$ ， $\overset{⃑}{b} = (\cos x, - 1)$ .
（1）当 $\overset{⃑}{a} / / \overset{⃑}{b}$ 时，求 $\tan 2 x$ 的值；
（2）设函数 $f (x) = 2 (\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}) \cdot \overset{⃑}{b}$ ，且 $x \in (0, \frac{π}{2})$ ，求 $f (x)$ 的最大值以及对应的x的值.

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20、实数 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{9}$ ，满足 $a_{1} = a_{9}$ ，且 $|a_{i} + a_{i + 2} - 2 a_{i + 1}| \leq 1 (i = 1, 2, \dots, 7)$ ，则对 $1 \leq i < j \leq 9$ ， $|a_{i} - a_{j}|$ 的最大值为 $M$ ，则

A、 $M = 7$ B、 $M = 8$ C、 $M = 9$ D、 $M = 10$

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