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相关试卷

1、如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ ， $E$ 分别在 $A B$ ， $A C$ 边上，且 $\vec{B D} = \vec{D A}$ ， $\vec{A E} = 3 \vec{E C}$ ，点 $F$ 为 $D E$ 中点，则 $\vec{B F} =$ （）

A、 $- \frac{1}{8} \vec{B A} + \frac{3}{8} \vec{B C}$ B、 $\frac{3}{4} \vec{B A} + \frac{1}{2} \vec{B C}$ C、 $\frac{3}{8} \vec{B A} + \frac{3}{8} \vec{B C}$ D、 $\frac{3}{8} \vec{B A} + \frac{3}{4} \vec{B C}$

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2、若双曲线 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线的斜率为 $\sqrt{3}$ ，则 $E$ 的离心率为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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3、已知集合 $A = \{x |- 1 \leq x \leq 2\}$ ， $B = \{x |- a \leq x \leq a + 1\}$ ，则“ $a = 1$ ”是“ $A \subseteq B$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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4、对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为 $a_{n}$ ；若n为奇数，则对 $3 n + 1$ 不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为 $a_{n}$ .若 $a_{n} = 1$ ，则称正整数n为“理想数”.

(1)、求20以内的质数“理想数”；

(2)、已知 $a_{m} = m - 9$ .求m的值；

(3)、将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列 $\{b_{n}\}$ ，记 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，证明： $S_{n} < \frac{7}{3} (n \in N^{*})$ .

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5、已知函数 $f (x) = 2 a \ln x + \frac{3}{4} x^{2} - (a + 3) x, (a \in R)$

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $f (x) = - x + b$ ，求a和b的值；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性.

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6、已知 $a, b, c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边，且 $b cos A + \sqrt{3} b sin A = a + c$

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $b = 2, △ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ， $D$ 为 $A C$ 边上一点，满足 $C D = 2 A D$ ，求 $B D$ 的长．

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7、二阶魔方是一个 $2 \times 2 \times 2$ 的正方体，由8个角块组成，没有中心块和棱块，结构相对简单.若空间中方向不同但状态相同（即通过整体旋转后相同）的情况只算一种，则任意二阶魔方共有种不同的状态.（提示：任选其中1个角块作为参考，则其余7块能自由排列，在这7块中，任意确定6块，最后1块也就唯一确定了）

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8、已知 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数， $f (x + 2)$ 为偶函数.当 $0 < x < 2$ 时， $f (x) = \log_{2} (x + 1)$ ，则 $f (101) =$ .

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9、已知函数 $f (x) = x^{3} - 2 a x^{2} + b x + c (a, b, c \in R), f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，则（）

A、“ $a = c = 0$ ”是“ $f (x)$ 为奇函数”的充要条件 B、“ $a = b = 0$ ”是“ $f (x)$ 为增函数”的充要条件 C、若不等式 $f (x) < 0$ 的解集为 ${x ∣ x < 1$ 且 $x \neq - 1}$ ，则 $f (x)$ 的极小值为 $- \frac{32}{27}$ D、若 $x_{1}, x_{2}$ 是方程 $f^{'} (x) = 0$ 的两个不同的根，且 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = 1$ ，则 $a < 0$ 或 $a > 3$

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10、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的图象过点 $A (0, 1)$ 和 $B (x_{0}, - 2) (x_{0} > 0)$ ，且满足 ${|A B|}_{\min} = \sqrt{13}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $φ = \frac{π}{6}$ B、 $ω = \frac{π}{3}$ C、当 $x \in [- \frac{1}{4}, 1]$ 时，函数 $f (x)$ 值域为 $[0, 1]$ D、函数 $y = x - f (x)$ 有三个零点

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11、已知奇函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，若 $f (x) = f (2 - x)$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 2$ 对称 C、 $f (x) = - f (x + 4)$ D、 $f (x)$ 的一个周期为 $4$

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12、已知函数 $f (x) = ln x - m x^{2} + x$ ，若不等式 $f (x) > 0$ 的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{2 + ln 2}{8}, \frac{3 + ln 3}{9})$ B、 $(\frac{3 + ln 3}{9}, \frac{2 + ln 2}{4})$ C、 $[\frac{3 + ln 3}{9}, \frac{2 + ln 2}{4})$ D、 $(\frac{2 + ln 2}{8}, \frac{3 + ln 3}{9})$

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13、直线 $y = 2 x - 2$ 与曲线 $y = s i nπ x + \frac{x}{x - 1} - 1$ 的交点个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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14、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)$ ，点 $M$ 在 $C$ 上，过点 $M$ 作 $C$ 两条渐近线的垂线，垂足分别为 $A, B$ ，若 $|M A| \cdot |M B| = \frac{3}{4}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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15、若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（）

A、24 B、32 C、96 D、128

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16、已知直线 $a, b, c$ 是三条不同的直线，平面 $α$ ， $β$ ， $γ$ 是三个不同的平面，下列命题正确的是（）

A、若 $a ∥ α$ ， $b ∥ α$ ，则 $a ∥ b$ B、若 $a ∥ b$ ， $a ∥ α$ ，则 $b ∥ α$ C、若 $a \subset α$ ， $b \subset α$ ，且 $a ∥ β$ ， $b ∥ β$ ，则 $α ∥ β$ D、 $α$ ， $β$ ， $γ$ 三个平面最多可将空间分割成8个部分

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17、抛物线 $y = 2 x^{2}$ 的准线方程为（）

A、 $y = - \frac{1}{8}$ B、 $y = - \frac{1}{2}$ C、 $x = - \frac{1}{8}$ D、 $x = - \frac{1}{2}$

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18、若干人站成一排，其中为互斥事件的是（）

A、“甲站排头”与“乙站排头” B、“甲站排头”与“乙站排尾” C、“甲站排头”与“乙不站排头” D、“甲不站排头”与“乙不站排头”

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19、已知集合 $A = \{(x, y) |x^{2} + y^{2} = 4\}, B = \{(x, y) |y = 2 \cos x\}$ ，则 $A \cap B$ 的真子集个数为（）

A、5个 B、6个 C、7个 D、8个

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20、当一个函数值域内任意一个函数值 $y$ 都有且只有一个自变量 $x$ 与之对应时，可以把这个函数的函数值 $y$ 作为一个新的函数的自变量，而这个函数的自变量 $x$ 作为新的函数的函数值，我们称这两个函数互为反函数.例如，由 $y = 3 x, x \in R$ ，得 $x = \frac{y}{3}, y \in R$ ，通常用 $x$ 表示自变量，则写成 $y = \frac{x}{3}, x \in R$ ，我们称 $y = 3 x, x \in R$ 与 $y = \frac{x}{3}, x \in R$ 互为反函数.已知函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 互为反函数，若 $A, B$ 两点在曲线 $y = f (x)$ 上， $C, D$ 两点在曲线 $y = g (x)$ 上，以 $A, B, C, D$ 四点为顶点构成的四边形为矩形，且该矩形的其中一条边与直线 $y = x$ 垂直，则我们称这个矩形为 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的“关联矩形”.

(1)、若函数 $f (x) = \sqrt{x}$ ，且点 $A (\frac{1}{4}, y_{1})$ 在曲线 $y = f (x)$ 上.
（i）求曲线 $y = f (x)$ 在点A处的切线方程；
（ii）求以点A为一个顶点的“关联矩形”的面积.

(2)、若函数 $f (x) = ln x$ ，且 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的“关联矩形”是正方形，记该“关联矩形”的面积为S.证明： $S > 2 {(\sqrt{e} - \frac{1}{2})}^{2}$ .（参考数据： $\sqrt{e} - 1 - ln 2 < 0$ ）

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