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1、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 是线段 $B B_{1}$ 上靠近 $B_{1}$ 的三等分点，点 $F$ 是线段 $D_{1} C_{1}$ 上靠近 $D_{1}$ 的三等分点，则平面AEF截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 形成的截面图形为（）

A、三角形 B、四边形 C、五边形 D、六边形

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2、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 1$ ，若二面角 $C - A B - C_{1}$ 的大小为 $60^{°}$ ，则点C到平面 $C_{1} A B$ 的距离为（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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3、如图，一个正四棱锥 $P - A B C D$ 的五个顶点都在球面上，且底面 $A B C D$ 经过球心 $O$ .若 $V_{P - A B C D} = \frac{128}{3}$ ，则球 $O$ 的表面积是

A、 $\frac{81 π}{4}$ B、 $36 π$ C、 $64 π$ D、 $\frac{27 π}{4}$

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4、如图，已知平面 $α$ ， $β$ ，且 $α \cap β = l$ .设梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ，且AB $\subset$ $α$ ， CD $\subset$ $β$ .则下列结论一定正确的是( )

A、 $A B = C D$ B、直线 $A B$ 与直线 $C D$ 可能为异面直线 C、直线 $A C$ 与直线 $B D$ 可能为异面直线 D、直线 $A B$ 、 $C D$ 、 $l$ 相交于一点

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5、如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱） $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为 $B C$ 延长线上一点， $\overset{⃑}{B C} = 3 \overset{⃑}{C E}$ ，则 $\overset{⃑}{D_{1} E}$ =（）

A、 $\overset{⃑}{A B} + \frac{1}{3} \overset{⃑}{A D} - \overset{⃑}{A A_{1}}$ B、 $\overset{⃑}{A B} + \overset{⃑}{A D} - \frac{2}{3} \overset{⃑}{A A_{1}}$ C、 $\overset{⃑}{A B} + \frac{1}{3} \overset{⃑}{A D} + \overset{⃑}{A A_{1}}$ D、 $\overset{⃑}{A B} - \overset{⃑}{A D} + \frac{1}{3} \overset{⃑}{A A_{1}}$

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6、 $△ A B C$ 内角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，已知： $a \cdot \sin A + a \cdot \sin C \cos B + b \cdot \sin C \cos A = b \cdot \sin B + c \cdot \sin A$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $a = 4$ ，且 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $△ A B C$ 周长的取值范围；

(3)、若 $b^{2} = \frac{3}{2} a c (a > c)$ ，且外接圆半径为2，圆心为 $O$ ， $P$ 为圆上一个动点，试求 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的取值范围.

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7、 $△ A B C$ 内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知： $\cos^{2} (\frac{π}{2} + A) + \cos A = \frac{5}{4}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $A B = 3, A C$ 边上的中线BD长为 $\sqrt{13}$ ，求 $△ A B C$ 面积；

(3)、 $a = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 内切圆半径的取值范围.

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8、如图所示，点 $G$ 是 $△ A B C$ 重心. $\vec{A M} = x \vec{A B}, \vec{A N} = y \vec{A C} (x, y \in R)$ .

(1)、用 $\vec{A M}, \vec{A N}$ 表示 $\vec{A G}$ (系数中的字母只含x，y)；

(2)、求 $2 x + y$ 最小值.

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9、锐角 $△ A B C$ ，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ .已知 $2 b \sin A - a = 0$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、求 $\sin A + \cos C$ 的取值范围.

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10、（1）计算 $i^{2021} + {(\sqrt{2} - \sqrt{2} i)}^{8} + {(\frac{\sqrt{3} - i}{- 1 - \sqrt{3} i})}^{2} + {(\frac{- 1 - \sqrt{3} i}{- 1 + \sqrt{3} i})}^{6}$ ；
（2）已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} + x i + m \cdot (2 - 3 i) = 0$ 有实数解，求纯虚数 $m$ .

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11、 $△ A B C$ 中，角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别是a、b、c，若 $c \cdot \cos B$ $\cos A + b \cdot \cos A \cos C = b \cdot \cos B$ ，则 $△ A B C$ 的形状是.

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12、函数 $y = \sin (\frac{π}{2} x - \frac{π}{4})$ 的部分图像如图所示，则 $\vec{O B} \cdot \vec{O C} =$ .

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13、复数 $Z = \log_{2} (a - 1) + i \cdot \log_{2} (a^{2} - 2 a - 2)$ 是实数，则 $a =$ .

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14、 $△ A B C$ 中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若 $a \cos B + b \sin A = c, a = \sqrt{2}$ ， $a^{2} + c^{2} - b^{2} = a c \cdot \sin B$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $A = \frac{π}{4}$ B、 $\tan B = 2$ C、 $b = \frac{4}{5} \sqrt{5}$ D、 $△ A B C$ 面积为 $\frac{2}{5} \sqrt{10}$

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15、下列说法正确的是（）

A、 $\forall Z \in C$ ，有 $| Z |^{2} = Z^{2}$ B、 $Z \in C, Z \neq 0, 则 Z + \bar{Z} = 0$ ”是“ $Z$ 为纯虚数”的充要条件 C、若 $Z = \frac{1}{i}$ ，则 $Z^{3} - 1$ 对应的点在复平面内的第四象限 D、 $Z \in C, | Z | = 2$ ，则 $| Z + i |$ 的范围是 $[1, 3]$

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16、下列说法正确的是（）

A、 $\vec{a} = (\cos θ, \sin θ), \vec{b} = (1, - \sqrt{3}), \vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $θ = \frac{π}{6}$ B、若 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 为平面上一组基底，则 $\vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}, \vec{e_{2}} + \frac{1}{2} \vec{e_{1}}$ 也是一组基底 C、若对于两个非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，满足 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| - |\vec{b}| (|\vec{a}| \geq |\vec{b}|)$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线 D、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则存在唯一实数 $λ$ 使得 $\vec{a} = λ \vec{b}$

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17、故宫博物院收藏着一幅《梧桐双兔图》.该绢本设色画纵约 $176 cm$ ，横约 $95 cm$ ，挂在墙上最低点 $B$ 离地面 $194 cm$ ，小兰身高 $160 cm$ (头顶距眼睛的距离为 $10 cm)$ .为使观测视角 $θ$ 最大，小兰离墙距离 $S$ 应为（）

A、 $40 \sqrt{2} cm$ B、 $94 cm$ C、 $44 \sqrt{5} cm$ D、 $76 cm$

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18、如图，在平行四边形ABCD中， $\vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{A O}$ ，延长DE交AB于点 $F$ ， $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ，则 $\vec{D F} =$ （）

A、 $\frac{1}{5} \vec{a} - \vec{b}$ B、 $\vec{a} - \frac{1}{5} \vec{b}$ C、 $\frac{2}{5} \vec{a} - \vec{b}$ D、 $\frac{2}{5} \vec{a} + \frac{1}{5} \vec{b}$

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19、锐角 $△ A B C$ 中， $a = 2, A = \frac{π}{3}$ ，则 $b^{2} + c^{2}$ 取值范围是（）

A、 $(0, 4]$ B、 $(4, 8]$ C、 $(\frac{20}{3}, 8]$ D、 $[\frac{20}{3}, 8)$

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20、在等腰梯形 $A B C D$ 中，下列结论正确的是（）

A、 $\vec{D A} = \vec{C B}$ B、 $\vec{A D} + \vec{A B} = \vec{A C}$ C、 $\vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{A B} = \vec{A C}$ D、 $| \vec{D A} + \vec{D B} | = | \vec{C A} + \vec{C B} |$

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