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相关试卷

1、抛物线 $4 y^{2} + x = 0$ 的焦点坐标为（）

A、 $(0, - 1)$ B、 $(- 1, 0)$ C、 $(0, - \frac{1}{16})$ D、 $(- \frac{1}{16}, 0)$

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2、数据2，3，5，6，7，7，8，10的上四分位数为（）

A、7.5 B、8 C、7 D、4

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3、球面几何学是在球表面上的几何学，也是非欧几何的一个例子.对于半径为R的球 $O$ ，过球面上一点 $A$ 作两条大圆的弧 $\overset{⌢}{A B}$ ， $\overset{⌢}{A C}$ ，它们构成的图形叫做球面角，记作 $∡ B A C$ （或 $∡ A$ ），其值为二面角 $B - A O - C$ 的大小，点 $A$ 称为球面角的顶点，大圆弧 $\overset{⌢}{A B}, \overset{⌢}{A C}$ 称为球面角的边.不在同一大圆上的三点 $A, B, C$ ，可以得到经过这三点中任意两点的大圆的劣弧 $\overset{⌢}{A B}, \overset{⌢}{B C}, \overset{⌢}{C A}$ ，这三条劣弧组成的图形称为球面 $△ A B C$ ，这三条劣弧称为球面 $△ A B C$ 的边， $A, B, C$ 三点称为球面 $△ A B C$ 的顶点；三个球面角 $∡ A, ∡ B, ∡ C$ 称为球面 $△ A B C$ 的三个内角.

已知球心为 $O$ 的单位球面上有不同在一个大圆上的三点 $A, B, C$ ．

(1)、球面 $△ A B C$ 的三条边长相等（称为等边球面三角形），若 $∡ A = \frac{π}{2}$ ，求球面 $△ A B C$ 的内角和；

(2)、类比二面角，我们称从点 $P$ 出发的三条射线 $P M, P N, P Q$ 组成的图形为三面角，记为 $P - M N Q$ .
其中点 $P$ 称为三面角的顶点， $P M, P N, P Q$ 称为它的棱， $∠ M P N, ∠ N P Q, ∠ Q P M$ 称为它的面角. 若三面角 $O - A B C$ 的三个面角的余弦值分别为 $\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{3}$ .
（ⅰ）求球面 $△ A B C$ 的三个内角的余弦值；
（ⅱ）求球面 $△ A B C$ 的面积.

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4、为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要部署，进一步推动青少年学生阅读深入开展，促进全面提升育人水平，教育部决定开展全国青少年学生读书行动.某校实施了全国青少年学生读书行动实施方案.现从该校的2400名学生中发放调查问卷，随机调查100名学生一周的课外阅读时间，将统计数据按照 $[0, 20)$ ， $[20, 40)$ ， … $[120, 140]$ 分组后绘制成如图所示的频率分布直方图（单位：分钟）

(1)、若每周课外阅读时间1小时以上视为达标，则该校达标的约为几人（保留整数）；

(2)、估计该校学生每周课外阅读的平均时间；

(3)、估计该校学生每周课外阅读时间的第75百分位数（结果保留1位小数）.

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5、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 棱长为2， $E$ ， $F$ 分别为 $A_{1} D_{1}$ 和 $C_{1} D_{1}$ 的中点．

(1)、证明：直线 $C F / /$ 平面 $B D E$ ；

(2)、求直线 $A A_{1}$ 与平面 $B D E$ 所成角的正切值．

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6、已知复数 $z$ 满足方程 $(1 + a i) z = b i$ ，其中 $i$ 为虚数单位， $a, b \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ ， $b = 2$ 时，求 $|z|$ ；

(2)、若 $z \cdot \bar{z} = 1$ ，求 $b^{2} + a$ 的最小值.

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7、某工厂的三个车间生产同一种产品，三个车间的产量分布如图所示，现在用分层随机抽样方法从三个车间生产的该产品中，共抽取70件做使用寿命的测试，则C车间应抽取的件数为；若A，B，C三个车间产品的平均寿命分别为200，220，210小时，方差分别为30，20，40，则总样本的方差为.

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8、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 棱长为2，N为线段 $A C$ 上一动点， $M$ 为线段 $D D_{1}$ 上一动点，则 $A_{1} M + M N$ 的最小值为.

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9、如图，三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ A B C$ 为边长是 $\sqrt{3}$ 的正三角形， $P A ⊥$ 底面 $A B C ， P A = 2 ， Q$ 是线段 $B C$ 上一动点，则下列说法正确的是（）

A、点B到平面 $P A Q$ 的距离的最大值为 $\frac{3}{2}$ B、三棱锥 $P - A B C$ 的内切球半径为 $\frac{3}{8}$ C、PB与AQ所成角可能为 $\frac{π}{4}$ D、 $A Q$ 与平面 $P B C$ 所成角的正切值的最大值为 $\frac{4}{3}$

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10、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M, N, E$ 分别为线段 $A D_{1}$ ， $A C$ ， $B_{1} D_{1}$ 中点， $P, Q$ 分别为线段 $B E$ ，线段 $C D_{1}$ 上的动点，则三棱锥 $M - P Q N$ 的体积（）

A、与 $P$ 点位置有关 B、与 $P$ 点位置无关 C、与 $Q$ 点位置有关 D、与 $Q$ 点位置无关

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11、三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = P B$ ， $C P = 4$ ， $B A = B C = 2$ ， $∠ A B C = \frac{2 π}{3}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的体积的最大值为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $6$ D、 $12$

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12、已知球O为棱长为1的正四面体 $A B C D$ 的外接球，若点P是正四面体ABCD的表面上的一点，Q为球O表面上的一点，则 $|P Q|$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{12}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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13、如图，正三棱柱 $A B C - A^{'} B^{'} C^{'}$ 的所有边长都相等， $P$ 为线段 $B B^{'}$ 的中点， $Q$ 为侧面 $B B^{'} C^{'} C$ 内的一点（包括边界，异于点 $P$ ），过点 $A$ 、 $P$ 、 $Q$ 作正三棱柱的截面，则截面的形状不可能是（）

A、五边形 B、四边形 C、等腰三角形 D、直角三角形

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14、甲乙丙丁四位同学各掷5次骰子并记录点数，方差最大的是（       ）
甲：4       5       4       5       5             乙：4       2       3       4       3
丙：2       3       2       3       4             丁：6       1       2       6       1

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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15、复数 $z_{1} = 1 + i$ ， $z_{2} = i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则复数 $z = z_{1} \cdot z_{2}$ 在复平面内所对应的点在第（）象限

A、一 B、二 C、三 D、四

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16、如图所示， $△ A B C$ 为等边三角形， $A B = 4 \sqrt{3}$ ， $I$ 为 $△ A B C$ 的内心，点 $P$ 在以 $I$ 为圆心， $1$ 为半径的圆上运动.

(1)、求出 ${(\vec{P A})}^{2} + {(\vec{P B})}^{2} + {(\vec{P C})}^{2}$ 的值.

(2)、求 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的范围.

(3)、若 $x \vec{P A} + y \vec{P B} + z \vec{P C} = \vec{0} (x, y, z \in R)$ ，当 $\frac{x}{y}$ 最大时，求 $\frac{z}{x + y}$ 的值.

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17、2023年9月17日，联合国教科文组织第45届世界遗产大会通过决议，将中国“普洱景迈山古茶树文化景观”列入《世界遗产名录》，成为全球首个茶主题世界文化遗产.经验表明，某种普洱茶用95 $℃$ 的水冲泡，等茶水温度降至60 $℃$ 饮用，口感最佳.某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位： $℃$ ）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示：
时间／分钟
0
1
2
3
4
5
水温／ $℃$
95.00
88.00
81.70
76.03
70.93
66.33

(1)、给出下列三种函数模型：① $y = a t + b (a < 0)$ ， ② $y = a \cdot b^{t} + c (a > 0, 0 < b < 1)$ ， ③ $y = \log_{a} (t + b) + c (b > 0, a > 1)$ ，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前2分钟的数据求出相应的解析式.

(2)、根据（1）中所求模型，
（i）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）；
（ii）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）．
（参考数据： $\lg 3 \approx 0.477, \lg 5 \approx 0.699$ ）

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18、在① $2 sin (A + \frac{π}{6}) = \frac{a + c}{b}$ ， ② $(a + c - b) (a + c + b) = 3 a c$ ， ③ $\frac{sin A - sin B}{a - c} = \frac{sin C}{a + b}$ 这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解决该问题．
问题：在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且______．

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $B C = 3 A B$ ，求 $\sin A$ ．

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19、求值：

(1)、 $8^{0.25} \times \sqrt[4]{2} + \log_{5} 10 - \frac{1}{\log_{2} 5} - 2^{\log_{2} 3}$ ；

(2)、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + b = 1$ ，求 $\frac{1}{a} (b + \frac{1}{b})$ 的最小值.

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20、函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |\log_{5} (1 - x)| (x < 1) \\ - {(x - 2)}^{2} + 2 (x \geq 1) \end{array}$ ，若关于x的方程 $f (x + \frac{1}{x} - 2) - t = 0$ 恰好有4个不同的实数根，则实数t的取值范围是.

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时间／分钟	0	1	2	3	4	5
水温／ $℃$	95.00	88.00	81.70	76.03	70.93	66.33