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相关试卷

1、若正项数列 $\{x_{n}\}$ 的任意相邻四项 $x_{m}$ ， $x_{m + 1}$ ， $x_{m + 2}$ ， $x_{m + 3}$ 满足 $\frac{x_{m} x_{m + 3}}{x_{m + 1} x_{m + 2}} = \frac{x_{m} + x_{m + 3}}{x_{m + 1} + x_{m + 2}}$ ，则称数列 $\{x_{n}\}$ 是反数列．已知数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 均为反数列， $a_{1} = b_{1} = 1$ ．

(1)、证明： $(a_{1} - a_{2}) (a_{3} - a_{4}) \geq 0$ ；

(2)、若 $a_{3} = b_{3}$ ， $a_{2} + b_{2} = 1$ ，且数列 $\{a_{n} b_{n}\}$ 为反数列，求 $\{a_{2 n} + b_{2 n}\}$ 的前 $n$ 项和；

(3)、若 $a_{2} = \frac{3}{4}$ ， $b_{3} = \frac{1}{2}$ ，且数列 $\{a_{n} + b_{n}\}$ 为反数列，证明： $\sum_{i = 1}^{n} a_{2 i} b_{2 i - 1} < \frac{3 n}{n + 1}$ ．

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2、现有公差为 $d (d > 0)$ 的 $m (m \geq 2)$ 项等差数列 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}$ ，若从中随机取出 $l (0 \leq l \leq m)$ 项后，对于剩余项始终有 $a_{j} - a_{i} > d (1 \leq i < j \leq m)$ ，则称将取出的项按由小到大顺序排成的数列为 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}$ 的“间子列”．

(1)、写出数列 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ 的所有间子列；

(2)、证明：存在数列 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m + 1}$ 的一个间子列，其也为数列 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}$ 的间子列；

(3)、从数列 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}$ 中取出若干项从小到大排成一新数列，记该数列为 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}$ 的间子列的概率为 $p_{k}$ ，证明： $p_{k} \leq \frac{7}{32}$ ．

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3、已知 $k \in N^{*}$ ， $m \in N^{*}$ ， $k \leq m$ ， $m > 1$ ，设统计量 $P (k) = \frac{C_{m}^{k}}{C_{m + 1}^{2}}$ ．

(1)、若 $P (2) > \frac{1}{2}$ ，求 $m$ 的取值范围；

(2)、记 $E = \sum_{k = 1}^{m} k P (k)$ ，用 $m$ 表示 $E$ ；

(3)、判断 $E$ 与1的大小关系，并说明理由．

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4、已知函数 $f (x) = e^{x - a} - a x$ 的最小值是0．

(1)、求 $a$ ；

(2)、若实数 $m$ ， $n$ 满足 $m n = e^{m - 1} + n ln n$ ，求 $m n$ 的最小值．

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5、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，已知 $a c (1 + 2 cos B) = {(a - c)}^{2}$ ．

(1)、求 $\frac{{sin}^{2} B}{sin A sin C}$ ；

(2)、求角 $B$ 的最大值．

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6、设 $A$ ， $B$ 为抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上不同象限内的两点，且直线 $A B$ 的斜率为1．记 $O$ 为原点，则 $∠ A O B$ 的取值范围是．

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7、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $a + c = 2 b$ ，则 $tan \frac{B}{2}$ 的最大值是．

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8、 ${(1 + x)}^{6} + {(1 - x)}^{6}$ 的展开式中的所有项的系数之和是．

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9、直线 $y = a x + b$ 与曲线 $y = b x^{3} + x^{2} + a$ 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式是 $a_{n} = \frac{n^{2}}{3^{n}} (n \in N^{*})$ ，记 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $a_{n} > 1$ B、 $S_{n} > \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{3^{n}})$ C、 $n = 2$ 时， $a_{n}$ 取最大值 D、 $S_{n} > n$

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11、如图，国家统计局发布了自1990年至2023年的国家城镇化率与人口总数的关系，其中横坐标为年份，纵坐标为人口总数，每一年的数据点对应一个圆，圆的半径与城镇化率成正比．根据图像估计，下列说法正确的是（）

A、自1990年至2023年，我国人口总数大致呈增长趋势 B、自1990年至2023年，我国城镇化率大致呈增长趋势 C、自1990年至2023年，我国人口增长速率呈增长趋势 D、自1990年至2023年，我国城镇化率与人口总数正相关

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12、在矩形 $A B C D$ 中， $A D = 4$ ， $A B = 2$ ， $A_{1}$ ， $A_{2}$ 分别是 $A D$ ， $B C$ 的中点， $M$ ， $N$ 分别是线段 $A D$ ， $D C$ 上的动点，且 $| A D | \cdot | A_{1} M | = | D N |$ ，记 $A_{2} M$ 和 $A_{1} N$ 的交点为 $Q$ ，则 $Q$ 的轨迹的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$

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13、已知函数 $f (x) = tan(ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 在 $(\frac{π}{6}, \frac{π}{3})$ 上有定义，则 $f (\frac{π}{6})$ 的值不可能是（）

A、 $- 4$ B、 $- 2$ C、2 D、4

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14、抛掷一枚均匀的正四面体骰子，骰子静止后，认为朝下的面所包含的三条棱接触过地面，则经过3次抛掷后，存在从未接触过地面的棱的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{5}{8}$

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15、一四棱锥底面为正方形，侧面均为边长为 $\sqrt{2}$ 的等边三角形，则该四棱锥的体积是（）

A、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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16、已知 $α$ 是第一象限角，若 $sin 2 α = {cos}^{2} α$ ，则 $cos α =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、0 C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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17、已知平行四边形 $A B C D$ 满足 $\vec{A B} = (1, 0)$ ， $\vec{A D} = (2, 1)$ ，则四边形 $A B C D$ 的面积是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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18、若复数 $z = 2 + i$ （i为虚数单位），则 $\frac{z}{\bar{z}} =$ （）

A、 $\frac{3 - 4 i}{5}$ B、 $\frac{4 - 3 i}{5}$ C、 $\frac{3 + 4 i}{5}$ D、 $\frac{4 + 3 i}{5}$

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19、若集合 $A = \{x ∣ a x^{2} + 1 = 0\}$ 是空集，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $[0, + \infty)$ C、 $(- \infty, 0)$ D、 $(- \infty, 0]$

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20、某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
赔偿次数
0
1
2
3
4
单数
$800$
$100$
$60$
$30$
$10$
假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.

(1)、估计一份保单索赔次数不少于2的概率；

(2)、一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
（i）记 $X$ 为一份保单的毛利润，估计 $X$ 的数学期望 $E (X)$ ；
（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少 $4 %$ ，有索赔的保单的保费增加 $20 %$ ，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中 $E (X)$ 估计值的大小．（结论不要求证明）

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赔偿次数	0	1	2	3	4
单数	$800$	$100$	$60$	$30$	$10$