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相关试卷

1、已知点 $A (3, 3)$ 和 $B (4, - 2)$ ， $P$ 是直线 $l : x + y + 2 = 0$ 上的动点，则（）

A、存在 $P (1, - 3)$ ，使 $|P A| + |P B|$ 最小 B、存在 $P (- 1, - 1)$ ，使 $||P A| - |P B||$ 最小 C、存在 $P (5, - 7)$ ，使 $||P A| - |P B||$ 最大 D、存在 $P (\frac{1}{2}, - \frac{5}{2})$ ，使 ${|P A|}^{2} + {|P B|}^{2}$ 最小

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2、下述四个结论，正确的是（）

A、过点 $A (1, 1)$ 在 $x$ 轴， $y$ 轴上截距都相等的直线方程为 $x + y - 2 = 0$ B、直线 $x - y + k = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相交的充分不必要条件是 $k = 1$ C、直线 $a x + y + 1 = 0$ 表示过点 $(0, - 1)$ 的所有直线 D、过点 $B (1, \sqrt{3})$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 相切的直线方程为 $x + \sqrt{3} y - 4 = 0$

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3、在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 2$ ， $A A_{1} = 1$ ， $O$ 是 $A C$ 的中点，点 $P$ 在线段 $A_{1} C_{1}$ 上，若直线 $O P$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成的角为 $θ$ ，则 $\sin θ$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{\sqrt{2}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}]$ B、 $[\frac{\sqrt{2}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3}]$ C、 $[\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{7}}{3}]$ D、 $[\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{\sqrt{3}}{3}]$

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4、直线 $l_{1} : x + (m + 1) y - 2 m - 2 = 0$ 与直线 $l_{2} : (m + 1) x - y - 2 m - 2 = 0$ 相交于点P，对任意实数m，直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别恒过定点A，B，则 $|P A| + |P B|$ 的最大值为( )

A、4 B、8 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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5、 $M$ ， $N$ 分别为直线 $3 x - 4 y - 12 = 0$ 与 $6 x - 8 y + 5 = 0$ 上任意一点，则 $|M N|$ 最小值为（）

A、 $\frac{29}{10}$ B、 $\frac{29}{5}$ C、 $\frac{17}{5}$ D、 $\frac{17}{10}$

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6、如图所示，直线 $l_{1} : a x + y + b = 0$ 与 $l_{2} : b x - y + a = 0 (a b \neq 0, a \neq b)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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7、已知 $A (- 1, 0)$ 、 $B (3, 6)$ ，则以 $A B$ 为直径的圆的一般方程为（）

A、 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 6 y + 3 = 0$ B、 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 6 y - 3 = 0$ C、 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 6 y + 3 = 0$ D、 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 6 y - 3 = 0$

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8、已知直线 $a x + 2 a y + 1 = 0$ 与 $(a - 1) x - (a + 1) y - 1 = 0$ 垂直，则实数 $a$ 的值是（）

A、0或3 B、3 C、0或 $- 3$ D、 $- 3$

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9、直线 $\sqrt{3} x - 3 y - 1 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $30 °$ B、 $135 °$ C、 $60 °$ D、 $150 °$

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10、若 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ，且 $cos (2 α + \frac{π}{2}) = \frac{cos (\frac{π}{2} - β)}{sin (\frac{π}{2} + β)}$ ，则 $\frac{5 - {cos}^{2} α}{tan β}$ 的最大值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{5}$ B、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $- 2 \sqrt{5}$ D、 $- \frac{\sqrt{5}}{10}$

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11、已知函数 $f (x)$ 对任意实数 $u$ ， $v$ ，都有 $f (u - v) = f (u) - f (v)$ 成立，且当 $u < 0$ 时， $f (u) < 0$ .

(1)、证明：对任意实数 $u$ ， $v$ ， $f (u + v) = f (u) + f (v)$ ；

(2)、求证： $f (x)$ 是 $R$ 上的增函数；

(3)、若命题 $p : \exists x \in [- 2, 1)$ ， $f (x^{2}) + f (a x + 1) \geq 2 f (x + a)$ 为假命题，求实数 $a$ 的取值范围.

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12、我们有如下结论：函数 $y = g (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = g (x + a) - b$ 为奇函数.

(1)、判断： $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 13 x - 9$ 的图象是否关于点 $Q (2, 1)$ 成中心对称图形?

(2)、已知 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的初等函数，若 $h (x) = f (x - m) - f (- x + m) + n$ ，证明： $h (x)$ 的图象关于点 $(m, n)$ 成中心对称图形.

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13、几个大学生联合自主创业拟开办一家公司，根据前期的市场调研发现：生产某种电子设备的固定成本为20万元，每生产一台设备需增加投入 $\frac{1}{10}$ 万元.已知总收入 $f (x)$ （单位：万元）与月产量 $x$ （单位：台）满足函数： $f (x) = \{\begin{array}{l} \frac{2}{5} x - a x^{2}, 0 \leq x \leq 400; \\ 80, x > 400. \end{array}$ ，且当 $x = 400$ 时， $f (x) = 80$ .

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、预测：当月产量 $x$ 为多少时，公司所获得的利润不低于20万元?（总收入 $=$ 总成本十利润）

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14、已知正数 $x$ ， $y$ 满足 $x y - 2 x - \frac{y}{2} = 0$ .

(1)、当 $x > 1$ 时，求 $y$ 的取值范围；

(2)、求 $x y$ 的最小值.

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15、已知集合 $A = \{x ∣ - 3 \leq 1 - 2 x \leq - 1\}$ ， $B = \{x ∣ m \leq x \leq m + 1, m \in R\}$ .

(1)、若 $A = B$ ，求 $m$ 的值；

(2)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求 $m$ 的取值范围.

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16、 $f (x)$ 是定义在 $[- 4, 4]$ 上的奇函数，在 $(0, 4]$ 上时， $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} + 2 x + a, 0 < x \leq 2 \\ 2 |x - 3| - 2, 2 < x \leq 4 \end{array}$ ，且值域为 $[- 2, 2]$ ，则 $a$ 的取值范围是.

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17、若函数 $f (x) = (λ - 2) x^{λ}$ 是幂函数，则 $f (\sqrt{2}) =$ .

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18、已知集合 $A = \{0, a\}$ ， $B = \{1, a + 1, a - 1\}$ ，若 $A \subseteq B$ ，则 $a$ 的取值集合为.

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19、设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $\exists x_{0} \in R$ ， $f (x_{0}) \neq 0$ ，若 $\forall x \in R$ ， $f^{2} (- x) = f^{2} (x)$ ，则 $f (x)$ 可以（）

A、是奇函数 B、是偶函数 C、既是奇函数又是偶函数 D、既不是奇函数又不是偶函数

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20、若实数 $x$ ， $y$ 满足 ${(x + y)}^{2} = \frac{3}{4} + 3 x y$ ，则（）

A、 $x y \leq \frac{3}{4}$ B、 $x y \geq 1$ C、 $|x + y| \leq \sqrt{3}$ D、 $|x + y| \geq 2$

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