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相关试卷

1、设 $n \in N^{*}, n \geq 2, x_{i} \in \{0, 1\}, i = 1, 2, \dots, n$ ，集合 $S_{n} = \{X ∣ X = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})\}$ .对于 $P = (p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n}) \in S_{n}, Q = (q_{1}, q_{2}, \dots, q_{n}) \in S_{n}$ ，记 $P ⊖ Q = (|p_{1} - q_{1}|, |p_{2} - q_{2}|, \dots, |p_{n} - q_{n}|), P^{*} Q =$ $\sum_{i = 1}^{n} | p_{i} - q_{i} |$ .

(1)、若 $A, B, C \in S_{n}$ ，证明： ${(A ⊖ C)}^{*} (B ⊖ C) = A^{*} B$ ；

(2)、若 $A, B, C \in S_{n}, A^{*} B$ 和 $A^{*} C$ 都为奇数，证明： $B^{*} C$ 为偶数；

(3)、若 $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{10} \in S_{20}$ ，当 $1 \leq i < j \leq 10$ 时，求所有 $X_{i}^{*} X_{j}$ 之和的最大值.

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2、已知椭圆 $C$ 的中心在原点 $O$ ，焦点在 $x$ 轴上，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，以 $C$ 的四个顶点为顶点的平行四边形的面积为 $4 \sqrt{3}$ ，直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A ， B$ 两点（ $A ， B$ 不与椭圆的顶点重合）.

(1)、求 $C$ 的标准方程；

(2)、若以 $A B$ 为直径的圆经过原点，求证：直线 $l$ 与圆 $O ： x^{2} + y^{2} = \frac{12}{7}$ 相切；

(3)、若动直线 $l$ 过点 $M (4 ， 0)$ ，点 $B$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $D$ ，直线 $A D$ 与 $x$ 轴的交点为 $E$ ，求 $△ A B E$ 面积的最大值.

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3、设 $E$ 是 $△ A B C$ 的边 $A C$ 上一点，沿 $B E$ 将 $△ C E B$ 翻折至 $△ D E B$ 的位置 ( $D$ 不在平面 $C E B$ 内)， $F$ 是线段 $A B$ 上的一个动点，且 $\vec{A F} = λ \vec{A B} (0 < λ < 1)$ .

(1)、如图 1，若 $D F ⊥$ 平面 $A B E$ ，求证：直线 $D E$ 与平面 $A B E$ 所成的角以及 $D E$ 与平面 $A F D$ 所成的角之和不可能超过 $90^{\circ}$ ；

(2)、如图 2，若 $∠ C = 90^{\circ} ， A C = 4 ， B C = 2$ ， $E$ 是 $A C$ 的中点，平面 $D E B ⊥$ 平面 $A B E$ .是否存在 $λ$ ，使得三棱锥 $D - B E F$ 的体积是 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ ? 若存在，求出 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由.

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4、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x - sin x - \frac{π}{2} ， g (x) = - ln x + a x + 1 (a \in R)$ ，设 $max \{m, n\}$ 表示 $m ， n$ 的最大值，记 $F (x) = max \{f (x), g (x)\}$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 在 $(0, 2 π)$ 上的单调性；

(2)、当 $x > 0$ 时， $F (x) \geq 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

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5、锐角 $△ A B C$ 的三个内角是 $A ， B ， C$ ，满足 $cos 2 A - cos 2 B = 2 sin C (sin B - sin C)$ ， $△ A B C$ 的外接圆的圆心为 $O$ ，半径是 1 .

(1)、求角 $A$ 的大小及 $\vec{O B} \cdot \vec{O C}$ 的值；

(2)、求 $\vec{O A} \cdot \vec{A B}$ 的取值范围.

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6、在棱长为 4的正四面体 $A B C D$ 中， $O$ 为其外接球的球心，过点 $O$ 作平面 $α$ 使得 $α / / C D$ .若 $B \in α$ ，则 $α$ 截正四面体所得截面的面积为.

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7、已知圆 $C ： x^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1$ ，点 $P$ 在直线 $l ： y = 2 x$ 上运动，以线段 $P C$ 为直径的圆 $D$ 与圆 $C$ 相交于 $A ， B$ 两点，则直线 $A B$ 过定点.

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8、函数 $f (x) = |\sin x| + |\cos x|$ 的值域是 .

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9、设直线 $l_{1} ， l_{2} ， l_{3}$ 两两垂直，且三条直线与平面 $α_{1} ， α_{2} ， α_{3}$ 所成角如下表所示：
夹角
$α_{1}$
$α_{2}$
$α_{3}$
$l_{1}$
$\frac{π}{6}$
0
$θ_{3}$
$l_{2}$
$\frac{π}{4}$
$θ_{2}$
0
$l_{3}$
$θ_{1}$
$\frac{π}{6}$
$\frac{π}{4}$
注：夹角为 0 表示相应直线和平面平行.则下列结论正确的是（）

A、 $θ_{1} = \frac{π}{3}$ B、 $θ_{1} = θ_{2}$ C、 $θ_{1}$ 和 $θ_{2}$ 互余 D、 $3 θ_{1}$ 和 $2 θ_{3}$ 互补

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10、点 $P$ 在曲线 $y = ln x$ 上，点 $Q$ 是点 $P$ 关于 $y$ 轴的对称点，点 $R$ 是点 $P$ 关于 $x$ 轴的对称点，点 $S$ 是点 $R$ 关于直线 $y = x$ 的对称点.设 $O$ 为坐标原点，则下列结论正确的有（）

A、 $\vec{O Q} + \vec{O R} = \vec{0}$ B、点 $S$ 在曲线 $y = - e^{- x}$ 上 C、 $∠ S P O$ 为定值 D、当且仅当点 $P$ 与点 $R$ 重合时， $|Q S|$ 取最小值 $\sqrt{2}$

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11、盒中有 3 个球，其中 1 个红球， 2 个黄球.从盒中随机取球，每次取 1 个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为 $ξ ， E (ξ) ， D (ξ)$ 分别为随机变量 $ξ$ 的均值与方差，则下列结论正确的是（）

A、 $P (ξ = 0) = \frac{1}{3}$ B、 $E (ξ) = 1$ C、 $E (3 ξ + 1) = 3$ D、 $D (3 ξ + 1) = 6$

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12、已知可导函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (x - 1)$ 为奇函数，设 $g (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，若 $g (x + 1)$ 为奇函数，且 $g (0) = \frac{1}{2}$ ，则 $\sum_{k = 1}^{2024} k g (2 k)$ $=$ （）

A、-1012 B、-506 C、506 D、1012

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{2} = 6, S_{n} = \frac{1}{2} a_{n + 1} + 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列 B、数列 $\{S_{n}\}$ 为等比数列 C、 $a_{n} = 2 \cdot 3^{n - 1}$ D、 $S_{n} = 3^{n} + 1$

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14、已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F (1, 0)$ ，过焦点 $F$ 的直线交 $C$ 于 $A ， B$ 两点， $A$ 在第一象限，若以 $A F$ 为直径的圆经过(0，2)，则 $△ A O B$ 的面积为（）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{17}{4}$ D、5

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15、已知 $\vec{a}$ 为单位向量，向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量是 $2 \vec{a}$ ，且 $(4 \vec{a} + λ \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $λ$ 的值为（）

A、2 B、0 C、 $- 2$ D、 $- 1$

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16、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，设 $f (x)$ 的导函数是 $f^{'} (x)$ ，且 $f (x) \cdot f^{'} (x) + x > 0$ 恒成立，则（）

A、 $f (1) < f (- 1)$ B、 $f (1) > f (- 1)$ C、 $|f (1)| > |f (- 1)|$ D、 $|f (1)| < |f (- 1)|$

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17、“ $tan α \geq 0$ ”是“ $sin 2 α \geq 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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18、复数 $z = \frac{|3 - 4 i|}{3 - 4 i}$ 的共轭复数在复平面上对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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19、已知集合 $A = \{- 1, 0, a\}, B = \{- 1, 2, 3\}$ .若 $A \cup B = \{- 1, 0, 2, 3\}$ ，则实数 $a$ 的取值集合为（）

A、 $\{2, 3\}$ B、 $\{0, 2, 3\}$ C、 $\{- 1, 2, 3\}$ D、 $\{0, - 1, 2, 3\}$

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20、若存在正实数x，y满足于 $\frac{4}{y} + \frac{1}{x} = 1$ ，且使不等式 $x + \frac{y}{4} < m^{2} - 3 m$ 有解，则实数m的取值范围是（）

A、 $(- 4, 1)$ B、 $(- 1, 4)$ C、 $(- \infty, - 4) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (4, + \infty)$

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夹角	$α_{1}$	$α_{2}$	$α_{3}$
$l_{1}$	$\frac{π}{6}$	0	$θ_{3}$
$l_{2}$	$\frac{π}{4}$	$θ_{2}$	0
$l_{3}$	$θ_{1}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$