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相关试卷

1、牛顿冷却定律，即温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律.如果物体的初始温度为 $T_{0}$ ，则经过一定时间t分钟后的温度T满足 $T - T_{c} = {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{h}} (T_{0} - T_{c})$ ，其中 $T_{c}$ 是环境温度，h为常数.现有一个105℃的物体，放在室温15℃的环境中，该物体温度降至75℃大约用时1分钟，那么再经过m分钟后，该物体的温度降至30℃，则m的值约为（）（参考数据： $\lg 2 \approx 0.3010$ ， $\lg 3 \approx 0.4771$ ）

A、2.9 B、3.4 C、3.9 D、4.4

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2、已知 $△ A B C$ 是边长为1的正三角形， $E$ 为 $B C$ 中点，且 $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{A D} =$ （）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $- \frac{3}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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3、下列说法不正确的是（）

A、对具有线性相关关系的变量 $x$ ， $y$ ，且回归方程为 $y = 0.3 x - m$ ，若样本点的中心为 $(- 4, m)$ ，则实数 $m$ 的值是 $- 0.6$ B、若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (1, σ^{2})$ ，且 $P (X \leq 2) = 0.7$ ，则 $P (1 < X \leq 2) = 0.2$ C、若线性相关系数 $|r|$ 越接近1，则两个变量的线性相关程度越高 D、一组数据10，10，11，12，12，14，16，19，21，21的第80百分位数为19

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4、已知函数 $f (x) = \frac{ln x}{x + a}$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线与直线 $2 x - y = 0$ 平行，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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5、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{4} = 7$ ， $S_{9} = 90$ ，则 $a_{7} =$ （）

A、20 B、18 C、16 D、15

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6、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程；
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 $\overset{⃑}{P Q} = 9 \overset{⃑}{Q F}$ ，求直线 $O Q$ 斜率的最大值.

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7、已知函数 $f (x) = a x + \ln x, g (x) = f (x) (x - \ln x) - x^{2}, a \in R$ .
（1）讨论 $f (x)$ 的单调性；
（2）若 $a \in Z$ ，且函数 $g (x)$ 只有一个零点，求 $a$ 的最小值.

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8、在 $△ A B C$ 中，点 $C$ 的坐标为 $(4, - 1)$ ， $B C$ 边上的中线所在直线的方程为 $3 x - y - 1 = 0$ ，直线 $A C$ 的倾斜角为 $\frac{3 π}{4}$ ．

(1)、求点 $A$ 的坐标；

(2)、过点 $A$ 的直线 $l$ 与 $x$ 轴的正半轴、 $y$ 轴的正半轴分别交于 $M$ ， $N$ 两点，求 $△ M O N$ （ $O$ 为坐标原点）面积的最小值．

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9、已知函数 $f (x) = a^{x} + b$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）的部分图象如图示．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若关于x的不等式 ${(\frac{1}{a})}^{x} + {(- 2 b)}^{x} - m \leq 0$ 在 $[1, + \infty)$ 上有解，求实数m的取值范围．

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10、在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥 $P - A B C D$ 为阳马，侧棱 $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $P A = 3$ ， $B C = A B = 4$ ，设该阳马的外接球半径为 $R$ ，内切球半径为 $r$ ，则 $\frac{R}{r} =$ ．

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11、若函数 $f (x) = \ln x + x - 3$ 的零点在区间 $(k, k + 1)$ ， $k \in Z$ 内，则 $k =$ ．

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12、已知集合 $A = \{1,3, 6\}, B = \{x |1 < x < 7\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(1, 7)$ B、 $(3, 6)$ C、 $\{1, 7\}$ D、 $\{3, 6\}$

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13、甲、乙、丙、丁、戊5名学生站成一排，记“甲、乙相邻”为事件 $A$ ， “甲不站在两端”为事件 $B$ ，则 $P (B ∣ A) =$ （）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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14、如图，在四棱锥 $E - A B C D$ 中， $A E ⊥$ 平面ABCD， $A D ∥ B C$ ， $A D ⊥ A B$ ， $A B = A D = 1$ ， $A E = B C = 2$ ， F为 $C E$ 中点.

(1)、求证： $D F ∥$ 平面EAB；

(2)、求点C到平面BDE的距离.

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15、已知 $|\vec{a}| = 4$ ， $|\vec{b}| = 3$ ， $(2 \vec{a} - 3 \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} + \vec{b}) = 13$ .

(1)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ ；

(2)、若 $\vec{c} = t \vec{a} + (1 - t) \vec{b}$ ，且 $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$ ，求t及 $|\vec{c}|$ .

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16、已知复数 $z_{1} = 1 + 2 i$ ，复数 $z_{2}$ 在复平面内对应的点为 $Z (2, - 4)$ .

(1)、若复数 $z_{2}$ 是关于x的方程 $x^{2} + m x + n - 1 = 0$ 的一个根，m， $n \in R$ ，求 $m + n$ 的值；

(2)、若复数z满足 $z = \frac{10}{z_{1}} + \frac{10}{z_{2}}$ ，求复数z的共轭复数 $\bar{z}$ .

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17、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D, A B = \sqrt{3}, A D = 2$ ，且 $P B$ 与平面 $A B C D$ 所成角为 $60^{\circ}$ ，则四棱锥 $P - A B C D$ 的外接球的表面积为.

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18、某校高一共有学生800人，现采用分层抽样的方法从中抽取80人进行体能测试，若这80人中有39人是男生，据此估计该校高一男生有人.

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19、如图，一条河某一段的宽度为8km，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船的速度大小为5km/h，水流速度的大小为3km/h，当航程最短时，预计这艘船行驶到河对岸需要时间为h.

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20、如图，在棱长为4的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，P是线段 $C_{1} D_{1}$ 上的动点，则下列说法正确的是（）

A、存在点P使得 $A C_{1} ⊥$ 平面 $B B_{1} P$ B、存在点P使得 $A A_{1} / /$ 平面 $B B_{1} P$ C、若P是 $C_{1} D_{1}$ 的中点，则 $D D_{1}$ 到平面 $B B_{1} P$ 的距离为 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ D、若直线 $B D_{1}$ 与平面 $B B_{1} P$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{15}$ ，则 $D_{1} P = \frac{4}{5}$

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