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相关试卷

1、已知曲线 $C : y |y| = 4 x |x| + 4$ ，则（）

A、曲线 $C$ 在第一象限为双曲线的一部分 B、曲线 $C$ 的图象关于原点对称 C、直线 $y = 2 x$ 与曲线 $C$ 没有交点 D、存在过原点的直线与曲线 $C$ 有三个交点

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2、关于二项式 ${(\frac{1}{x} - \sqrt{x})}^{3}$ 的展开式，下列说法正确的有（）

A、有3项 B、常数项为3 C、所有项的二项式系数和为8 D、所有项的系数和为0

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3、已知 $x_{1}^{2} + y_{1}^{2} = x_{2}^{2} + y_{2}^{2} = 8$ ，且 $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = 0$ ，则 ${(x_{1} + x_{2} - 2)}^{2} + {(y_{1} + y_{2})}^{2}$ 的最大值为（）

A、9 B、12 C、36 D、48

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4、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1} = \frac{1}{2}, 8 S_{6} = 7 S_{3}$ ，若 $λ \geq S_{n}$ 恒成立，则 $λ$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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5、若 $f (x) = \ln (x^{2} + 1) - \frac{1}{| x |}$ ，设 $a = f (- 3), b = f (\ln 2), c = f (2^{0.3})$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $c > a > b$ B、 $b > c > a$ C、 $a > b > c$ D、 $a > c > b$

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6、若将大小形状完全相同的三个红球和三个白球（除颜色外不考虑球的其他区别）排成一排，则有且只有两个白球相邻的排法有（）

A、6 B、12 C、18 D、36

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7、已知直线a，b，c是三条不同的直线，平面α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是（）

A、若 $a ⊥ c ， b ⊥ c$ ，则 $a // b$ B、若 $a // b ， a // α$ ，则 $b // α$ C、若 $a // α ， b // α ， c ⊥ a$ ，且 $c ⊥ b$ ，则 $c ⊥ α$ D、若 $β ⊥ α ， γ ⊥ α$ ，且 $β \cap γ = a$ ，则 $a ⊥ α$

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8、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $c = 2$ ， $(b + 2) (sin C - sin B) = (a - b) sin A$ .

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $E$ 为 $A B$ 的中点，且 $C E = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积 $S$ ；

(3)、如图，过 $A$ 点在 $△ A B C$ 所在平面内作 $A D ⊥ A B$ ，且满足 $∠ A D C = \frac{2 π}{3}$ .求线段 $A D + D C$ 的最大值.

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9、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D$ ， $E$ 分别为棱 $A B$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点， $A B = 2$ .

(1)、证明： $D E //$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；

(2)、若三棱锥 $A - A_{1} D C$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求二面角 $D - A_{1} C - A$ 的余弦值.

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10、“数学好玩”是国际著名数学家陈省身赠送给少年数学爱好者们的一句话.某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，激发学生钻研数学的兴趣和热情，特举办数学节活动.在活动中，共有20道数学问题，满分100分在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段： $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， ……， $[90, 100]$ ，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、求频率分布直方图中a的值，并估计该校全体学生这次数学成绩的中位数；

(2)、活动中，甲、乙、丙三位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，丙同学答对了n道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同.
（i）任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率；
（ii）任选一道数学问题，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为 $\frac{22}{25}$ ，求n的值.

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11、已知向量 $\vec{m} = (sin x, sin (π - x))$ ， $\vec{n} = (2 \sqrt{3} sin x, 2 cos x)$ ，设 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n} - \sqrt{3}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、若 $f (x_{0} - \frac{π}{6}) = \frac{14}{25}$ ， $x_{0} \in [\frac{3 π}{4}, π]$ ，求 $sin 2 x_{0}$ 的值.

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12、在圆台 $O_{1} O_{2}$ 中，圆 $O_{1}$ 的半径是2，母线 $P C = 2$ ，圆 $O_{2}$ 是 $△ A B C$ 的外接圆， $∠ A C B = 60^{\circ}$ ， $A B = \sqrt{3}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 体积最大值为．

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13、若 $- 2 + i$ （ $i$ 为虚数单位）为方程 $x^{2} + m x + n = 0$ （ $m, n \in R$ ）的一个根，则 $n =$ .

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14、已知向量 $\vec{a} = (4, 3)$ ， $\vec{b} = (2, 4)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量的坐标是．

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15、一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有数字1，2，3，…，9.从袋中任意抽取1张卡片，记“抽出的卡片号为1，4，7”为事件A，“抽出的卡片号小于7”为事件 $B$ ， “抽出的卡片号大于7”记为事件 $C$ .下列说法正确的是（）

A、事件A与事件 $C$ 是互斥事件 B、事件A与事件 $B$ 是互斥事件 C、事件A与事件 $B$ 相互独立 D、事件 $B$ 与事件 $C$ 是对立事件

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16、如图，在多面体 $E F - A B C D$ 中，四边形ABCD是边长为3的正方形， $E F ∥ A B$ ， E到平面ABCD的距离为3， $E F = \sqrt{6}$ ， $E A = E D = F B = F C$ .若A，B，C，D，E，F在同一球面上，则该球的表面积为（）

A、 $19 π$ B、 $20 π$ C、 $21 π$ D、 $22 π$

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17、如图，在正方形 $A B C D$ 中，点E、F分别是AB、BC的中点，将 $△ A E D$ 、 $△ C F D$ 分别沿DE、DF折起，使A，C两点重合于P，连接EF，PB.

(1)、求证： $E F ⊥ P B$ ；

(2)、点M是PD上一点，若直线MF与平面 $P E F$ 所成角的正切值为 $\frac{1}{2}$ ，求二面角 $M - E F - D$ 的余弦值.

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18、在① $b (1 + \cos A) = \sqrt{3} a \sin B$ ， ② $\sqrt{3} b \cos \frac{B + C}{2} = a \sin B$ ， ③ $a \sin C = c \cos (A - \frac{π}{6})$ 这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题.
$△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知___________（只需填序号）.

(1)、求角 $A$ ；

(2)、设 $D$ 是BC上一点，且 $\vec{C D} = 2 \vec{D B}$ ， $| \vec{A D} | = 1$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

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19、如图， $A E ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $C F / / A E$ ， $B F / /$ 平面 $A D E$ .

(1)、求证： $A D / / B C$ ；

(2)、若 $A D ⊥ A B$ ， $A B = A D = C F = 2$ ， $A E = B C = 4$ ，求三棱锥 $F - B C E$ 的体积.

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20、文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创建者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均不低于40分）分成六段： $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， …， $[90, 100]$ ，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、求频率分布直方图中a的值，并求样本成绩的第75百分位数；

(2)、现从以上各段中采用样本量比例分配的分层随机抽样再抽取20份答卷作为“典型答卷”进一步统计研究，若落在 $[80, 90)$ 的“典型答卷”的平均成绩与方差分别是82和8，落在 $[90, 100]$ 的“典型答卷”的平均成绩与方差分别是96和1，据此估计这100份答卷中落在 $[80, 100]$ 的所有答卷的成绩的方差 $s^{2}$ .

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