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相关试卷

1、若函数 $f (x) = 2 \ln x - x^{2} + m$ 在 $[\frac{1}{e}, e^{2}]$ 上有两个不同的零点，则实数m的取值可能是（）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{e^{2}} + 1$ D、 $\frac{1}{e^{2}} + 2$

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2、对于 ${(x^{2} - \frac{3}{x})}^{6}$ 的展开式，下列说法正确的是（）

A、所有项的二项式系数和为64 B、所有项的系数和为64 C、常数项为1215 D、二项式系数最大的项为第3项

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3、在三棱锥 $S - A B C$ 中，底面 $△ A B C$ 为斜边 $A C = 2 \sqrt{2}$ 的等腰直角三角形，顶点S在底面 $A B C$ 上的射影为 $A C$ 的中点．若 $S A = 2$ ， $E$ 为线段 $A B$ 上的一个动点，则 $S E + C E$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $2 (\sqrt{3} + 1)$ D、 $2 (\sqrt{3} - 1)$

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4、已知首项为1的正项数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\sqrt{a_{n + 1}} - \sqrt{a_{n}} = \frac{1}{4} a_{2}$ .

(1)、求 $a_{2}$ ；

(2)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、求数列 $\{\frac{1}{a_{n} + \sqrt{a_{n}}}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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5、定义向量 $\vec{O M} = (a, b)$ 的“伴随函数”为 $f (x) = a sin x + b cos x$ ；函数 $f (x) = a sin x + b cos x$ 的“伴随向量”为 $\vec{O M} = (a, b)$

(1)、求函数 $f (x) = 2 sin (x + \frac{π}{3})$ 的“伴随向量” $\vec{O M}$ 的坐标；

(2)、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若函数 $h (x)$ 的“伴随向量”为 $\vec{O M} = (0, 1)$ ，且已知 $a = 4$ ， $h (A) = \frac{3}{5}$ .
（i）求 $△ A B C$ 周长的最大值；
（ii）求 $| \vec{A B} + \vec{A C} | - \vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 的取值范围.

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6、所有棱长均为2的正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，它的顶点均在球 $O$ 的表面上，则球 $O$ 的表面积为.

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7、已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ， $|\vec{a}| = 3$ ， $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{13}$ ，则向量 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量的模长为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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8、已知一个圆台母线长为2，侧面展开图是一个圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ 的扇环，则圆台上下底面圆周长之差的绝对值为（）

A、 $\frac{4 π}{3}$ B、 $2 π$ C、 $3 π$ D、 $4 π$

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9、若复数 $z$ 满足 $\frac{z + 1}{i - 1} = |2 + i|$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $i$ C、1 D、 $\sqrt{5} i$

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10、记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $|S_{n}| = n$ ，则 $|a_{1}| + |a_{2}| + \cdot \cdot \cdot + |a_{10}|$ 的值不可能为（）

A、96 B、98 C、100 D、102

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11、已知正数 $m, n$ 满足 $\frac{1}{m} + \frac{3}{n} = 2$ ，则 $m + 3 n$ 的最小值为（）

A、8 B、7 C、6 D、5

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12、如图，在等腰直角三角形 $A B C$ 中， $A C = B C$ ， M是半圆弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上异于A，B的动点，平面 $A B C ⊥$ 平面 $A B M$ ．设O，N分别为 $A B$ ， $A M$ 的中点， $∠ M A B = α$ ，三棱锥 $A - B C M$ 体积的最大值为 $\frac{1}{3}$ ．

(1)、证明： $A M ⊥$ 平面 $O C N$ ；

(2)、当 $α = \frac{π}{6}$ 时，求二面角 $C - A M - B$ 的正切值；

(3)、求点N到平面 $B C M$ 的距离（用 $α$ 表示）．

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13、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin x \cos x + \sin^{2} x + m (x \in R)$ 的最小值为 $- 1$ ．

(1)、求m的值；

(2)、当 $x \in [0, n] (n > 0)$ 时，函数 $f (x)$ 的取值范围是 $[- \frac{1}{2}, 1]$ ，求n的取值范围；

(3)、当 $x \in [0, π]$ 时，求方程 $6 f^{2} (x) - f (x) - 2 = 0$ 所有实数根的和．

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14、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 $b^{2} + c^{2} - a^{2} = 2 \sqrt{3} a c \sin B$ ．

(1)、求角A；

(2)、若 $△ A B C$ 的外接圆的面积为 $4 π$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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15、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $P A ⊥$ 底面 $A B C$ ， M，N分别是 $P B$ ， $P C$ 的中点．

(1)、求证： $M N ∥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求证：平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B C$ ．

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16、已知 $A (1, \sqrt{3})$ ， $B (- 2, y)$ ， $C (4, 2 \sqrt{3})$ ， $\vec{A B} / / \vec{B C}$ ， O为坐标原点．

(1)、求向量 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B}$ 的夹角；

(2)、求 $△ O A B$ 的面积．

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17、十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出一个几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小．”它的答案是：当三角形的三个角均小于 $120 °$ 时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成 $120 °$ 角；当三角形有一内角大于或等于 $120 °$ 时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中，所求的点称为费马点．在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 $a^{2} - {(b - c)}^{2} = 3$ ， $\tan A + \tan B = \frac{\sqrt{3} c}{a \cos B}$ ．若点P为 $△ A B C$ 的费马点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P B} \cdot \vec{P C} + \vec{P A} \cdot \vec{P C} =$ ．

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18、若圆锥、圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则圆锥、圆柱、球的体积比为．

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19、已知复数 $z = 1 - i$ （i为虚数单位），则 $|3 z - \bar{z}| =$ ．

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20、数学家威廉·邓纳姆认为“终极优雅”是“无言的证明”，即通过一个直观、精巧的图示就能完整传达数学定理的证明．如图， $A B C D$ 为矩形，则（）．

A、 $A D = \sin 2 x$ B、 $D E = \cos 2 x$ C、 $C E = \cos^{2} x$ D、 $\frac{S_{△ E F C}}{S_{△ A B F}} = \tan^{2} x$

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