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相关试卷

1、已知函数 $f (x)$ 的导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）

A、 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 1)$ 上单调递增 B、 $f^{'} (x)$ 在区间 $(- 1, 1)$ 上单调递减 C、 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极小值 D、 $f^{'} (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极大值

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2、已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = 2 x f^{'} (1) + \sqrt{x}$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、1 D、 $- 1$

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3、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 10$ ，公差 $d = - 2$ ，则（）

A、 $a_{5} = 0$ B、 $a_{n} < 0$ C、 $S_{5} = S_{6}$ D、 $S_{5} < S_{6}$

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4、用0，1，2，……，5这6个数字组成无重复数字的三位数的个数是（）

A、120 B、60 C、100 D、80

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5、已知函数 $f (x) = ln x - a x$ ， $g (x) = ln x + (a - 2) x$ ， $(a \in R)$ ．

(1)、若函数 $y = f (x)$ 存在2个零点，求 $a$ 的取值范围；

(2)、记 $h (x) = |f (x)| + |g (x)|$ ，
①当 $a = 1$ 时，求 $h (x)$ 的最小值；
②若 $h (x)$ 的最小值为2，求 $a$ 的取值范围．

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6、某连锁餐厅有 $n (n \in N^{*})$ 家分店，将分店按照规模从小到大依次编为 $1$ 号到 $n$ 号．每家分店都配备了一定数量的员工，配备方案为：第 $k$ 号分店员工包含第 $k$ 号店长和 $k (1 \leq k \leq n, k \in N^{*})$ 名服务员．为了加强各分店之间的员工交流与经验分享，提升整体服务水平，餐厅总部决定进行员工轮岗工作．具体安排为：从每家分店随机选派 $1$ 名员工到下一家分店进行工作，即从 $1$ 号分店选派 $1$ 名员工到 $2$ 号分店，再从 $2$ 号分店（含轮岗人员）选派 $1$ 名员工到 $3$ 号分店，依次类推，从 $n - 1$ 号分店选派 $1$ 名员工到 $n$ 号分店．轮岗结束后，从第 $n$ 号分店任选 $1$ 名员工进行服务反馈调查，并选派至 $1$ 号分店，记选中店长的概率为 $P_{n}$ ．

(1)、当 $n = 2$ 时，求 $P_{2}$ 的值；

(2)、在第 $4$ 号分店选中店长的条件下，若该店长为第 $X$ 号店长，求随机变量 $X$ 的分布列；

(3)、证明： $\frac{1}{n + 1} \leq P_{n} < \frac{1}{n}$ ．

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7、在三棱锥 $S - A B C$ 中，已知 $S A ⊥$ 平面 $A B C, A B ⊥ A C, S A = A C = A B = 1$ ，点 $P$ 在 $△ S A C$ 内（包括边界）， $P C ⊥ P A$ ．

(1)、已知 $P A = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ．
（i）求 $|\vec{B P}|$ ；
（ii）求直线 $P A$ 与 $B C$ 所成角的大小．

(2)、若点 $E, F$ 分别满足 $\vec{P E} = \frac{3}{4} \vec{P C}, \vec{A F} = \frac{1}{2} \vec{A B}$ ， $D$ 为直线 $P A$ 上一点，且 $E F / /$ 平面 $C B D$ ，求二面角 $A - B C - D$ 余弦的最小值．

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8、甲、乙两人玩“石头、剪刀、布”猜拳游戏，其规则为：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布，两人同时出示各自手势一次记为一次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，手势相同为平局，假定甲、乙双方在猜拳游戏过程中，出示三种手势是等可能的．

(1)、已知甲、乙两人进行了3次游戏，求第三次游戏结束时甲至少获胜两次的概率；

(2)、甲、乙两人进行了13次游戏，记甲获得 $n$ 次胜利的概率为 $f (n)$ ，当 $n$ 为何值时， $f (n)$ 取得最大值？

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9、已知 $C_{10}^{1} (x + 2) + C_{10}^{2} {(x + 2)}^{2} + \cdot \cdot \cdot + C_{10}^{10} {(x + 2)}^{10} = a_{10} x^{10} + a_{9} x^{9} + \cdot \cdot \cdot + a_{1} x + a_{0}$ ．

(1)、求 $(a_{0} + a_{2} + a_{4} + a_{6} + a_{8} + a_{10}) - (a_{1} + a_{3} + a_{5} + a_{7} + a_{9})$ 的值；

(2)、求 $a_{7}$ 的值．

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10、某中学对50名学生的学习兴趣和主动预习情况进行了长期的调查，得到的统计数据如下表所示．
主动预习
不太主动预习
合计
学习兴趣高
18
学习兴趣一般
19
合计
24
50

(1)、补全该表；

(2)、试运用独立性检验的思想方法判断：是否有 $99.9 %$ 以上的把握认为，学生的学习兴趣与主动预习有关．
附：独立性检验临界值表
$P (χ^{2} \geq x_{0})$
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$x_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ）．

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11、一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同．一次从中摸出5个球，用随机变量 $X$ 表示取到的红球数，则 $E (X) =$ ， $\sum_{k = 0}^{5} P (X \leq k) =$ ．

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12、已知 $x_{i}, y_{i} \in \{- 1, 1\}, i = 1, 2, 3$ ，且 $x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} + x_{3} y_{3} = 1$ ，则满足条件的有序数组 $(x_{1}, x_{2}, x_{3}, y_{1}, y_{2}, y_{3})$ 共有个．

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13、若向量 $\vec{a} = (1, 2, 3)$ 与 $\vec{b} = (1, x, 3)$ 垂直，则实数 $x$ 的值为．

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14、已知 $M = \{(x, y, z)| 1 \leq x \leq 2, 2 \leq y \leq 3, 1 \leq z \leq 3, x, y, z \in N\}$ ，在集合 $M$ 中等可能的任取两个不同的点 $P_{i}, P_{j} (i \neq j)$ ，记 $ξ = |P_{i} P_{j}|$ ，则（）

A、 $P (ξ = \sqrt{3}) = P (ξ = \sqrt{5})$ B、 $P (ξ = 2) = \frac{4}{33}$ C、 $P (ξ = 1) = \frac{10}{33}$ D、 $E (ξ) > \frac{4}{3}$

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15、已知点 $A (1, 1, 1), B (1, 2, 3), C (1, 0, 1), D (2, 1, 1), E (2, 1, 0)$ ，过点 $E$ 的直线 $l$ 与直线 $A B, C D$ 分别交于 $F, G$ 两点，则（）

A、 $A, B, C, D$ 四点共面 B、直线 $A B$ 与直线 $C D$ 是异面直线 C、 $F$ 点坐标为 $(1, 0, - 1)$ D、 $G$ 点坐标为 $(3, 2, 1)$

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16、设随机变量 $X \sim N (1.2, 0.04)$ ， $Y \sim N (0.8, 0.01)$ 则（）
（若随机变量 $Z \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < Z < μ + σ) = 0.683$ ）

A、 $P (X > 1) > 0.8$ B、 $P (Y > 1) > 0.2$ C、 $P (X > 1.2) < P (Y > 0.8)$ D、 $P (Y > 1.2) < P (X > 0.8)$

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17、甲、乙、丙、丁、戊五位学生报名参加环保志愿服务、宣传志愿服务、敬老志愿服务，每位学生只参加一项服务，每项服务均有学生参加．若甲只能参加环保志愿服务，则不同的报名方式有（）

A、36种 B、50种 C、56种 D、120种

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18、在四面体 $A B C D$ 中， $O$ 是 $△ B C D$ 的重心， $\vec{A B} = 2 \vec{A E}, \vec{A C} = 3 \vec{A F}, \vec{A D} = 4 \vec{A G}$ ．若直线 $A O$ 交平面 $E F G$ 于点 $O^{'}$ ，则 $\frac{|\vec{A O}|}{|\vec{A O^{'}}|} =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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19、已知随机事件 $A$ 、 $B$ ， $P (A) = \frac{1}{2}$ ， $P (B) = \frac{1}{3}$ ， $P (A |B) = \frac{1}{2}$ ，则 $P (\bar{B} |A) =$ （）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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20、若向量 $\vec{a} = (0, 2, 0)$ 是直线 $l$ 的方向向量，向量 $\vec{n} = (1, 1, 1)$ 是平面 $α$ 的法向量，则直线 $l$ 与平面 $α$ 所成角的余弦值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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	主动预习	不太主动预习	合计
学习兴趣高	18
学习兴趣一般		19
合计	24		50

$P (χ^{2} \geq x_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$x_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828