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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = a x - e^{- x}$ ， $g (x) = x^{2} + x ln x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、证明： $g (x) > - \frac{5}{16}$ ；

(3)、若 $g (x) \geq f (x)$ ，求 $a$ 的取值范围．

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2、如图，四边形 $A B C D$ 是正方形，平面 $P A B E ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A ⊥ A B$ ， $E B / / P A$ ， $A B = P A = 4$ ， $E B = 2$ ．

(1)、求证： $B D / /$ 平面 $P E C$ ；

(2)、求二面角 $D - P C - E$ 的大小．

(3)、点 $Q$ 在直线BD上，直线 $P Q$ 与直线CE的夹角为 $α$ ，二面角 $D - P C - E$ 为 $β$ ，是否存在点 $Q$ ，使得 $α + β = π$ ．如果存在，请求出 $|B Q|$ ；如果不存在，请说明理由．

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3、深圳一高中为了解学生周末使用手机的情况，统计了全校所有学生在一年内周末使用手机的时长，现随机抽取了 $60$ 名同学在某个周末使用手机的时长，结果如下表：
周末使用手机时长（h）
0
1
2
3
4
5
6
$\geq 7$
合计
男生人数
1
2
4
5
6
5
4
3
30
女生人数
4
5
5
6
4
3
2
1
30
合计
5
7
9
11
10
8
6
4
60

(1)、若将周末使用为 $3$ 小时及 $3$ 小时以上的，称为“经常使用”，其余的称为“不经常使用”．
请完成以下 $2 \times 2$ 列联表，并依据小概率值 $α = 0.1$ 的独立性检验，能否认为性别因素与使用的经常性有关系；
性别
使用手机
合计
不经常
经常
男生
女生
合计

(2)、对于周末使用手机 $6$ 小时及以上的同学，学校想要为进一步了解他们的手机使用情况：
（ⅰ）在样本的 $10$ 名周末使用手机 $6$ 小时及以上的同学中，随机抽取 $3$ 人进行访谈，求恰好抽中 $1$ 名男生的概率；
（ⅱ）在和小明的访谈中得知，他有 $5$ 款喜爱的手机游戏，并且在周五周六周日三天中，每天随机选择一款玩一个小时，每天的选择互相独立.记至少选中过一次游戏的数目为 $Y$ ，求 $Y$ 的分布列和数学期望．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．
$α$
$0.1$
$0.05$
$0.01$
$x_{α}$
$2.706$
$3.841$
$6.635$

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 4, a_{n} = a_{n - 1} + 2^{n - 1} + 3 (n \geq 2, n \in N^{*})$ ．

(1)、证明数列 $\{a_{n} - 2^{n}\}$ 是等差数列，并求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{2^{n}} - 1$ ，求 $b_{n}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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5、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x - \sin x + 1$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、当 $x \in [0, π]$ 时，求函数 $f (x)$ 的极值．

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6、 $\forall x_{1}, x_{2} \in [1, e]$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，不等式 $\frac{e^{x_{2}} - e^{x_{1}}}{x_{2} - x_{1}} > m$ 恒成立，则m的取值范围为．

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7、在 $(x^{2} + \frac{2}{x}) {(2 x - 1)}^{6}$ 的展开式中， $x^{2}$ 项的系数为．

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8、如图所示，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，点 $P$ 为侧面 $A D D_{1} A_{1}$ 内的一个动点（含边界），点 $E, F, G$ 分别是线段 $B C$ 、 $C C_{1}$ 、 $B B_{1}$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A、直线 $A_{1} G //$ 平面 $A E F$ B、平面 $A E F$ 截正方体所得的截面面积为 $\frac{11}{2}$ C、 $\vec{P B_{1}} \cdot \vec{P F}$ 的最小值为 $\frac{11}{4}$ D、若 $P F ⊥ B D_{1}$ ，则点 $P$ 的运动轨迹长度为 $2 \sqrt{2}$

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9、下列说法正确的有（）

A、若随机变量 $ξ ~ N (2, σ^{2})$ ，且 $P (ξ < 4) = 0.8$ ，则 $P (0 < ξ < 4) = 0.6$ B、若随机变量 $X ～ B (6, \frac{1}{3})$ ， $Y = 2 X + 3$ ，则 $E (Y) = 7$ ， $D (Y) = \frac{8}{3}$ C、已知事件A，B，若 $A \subseteq B$ ，且 $P (A) = 0.4$ ， $P (B) = 0.7$ ，则 $P (B | \bar{A}) = 0.5$ D、有2个白球和4个黑球，从中一次摸三个球，记摸得白球数为X，则 $E (X) = 1$

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10、甲公司从某年起连续7年的利润情况如下表所示．
第x年
1
2
3
4
5
6
7
利润y（亿元）
2.9
3.3
3.6
4.4
m
5.2
5.9
根据表中的数据可得回归直线方程为 $\hat{y} = 0.5 x + 2.3$ ，则以下正确的是（）

A、 $m = 4.8$ B、相关系数 $r > 0$ C、第8年的利润预计大约为8.3亿元 D、第6个样本点的实际值比预测值小0.1

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11、若点P是曲线 $y = e^{x} + x + a$ 上任意一点，且点P到直线 $y = 2 x$ 的距离的最小值 $\sqrt{5}$ ，则a的值为（）

A、0 B、4 C、-6 D、4或-6

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12、若半径为 $2 \sqrt{3}$ 的球与正六棱柱的各个面均相切，则该正六棱柱外接球的表面积为（）

A、 $48 π$ B、 $56 π$ C、 $96 π$ D、 $112 π$

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13、将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中，下列说法错误的是（）

A、恰有一个空盒，有324种放法 B、把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有12种放法 C、有256种放法 D、每盒至多两球，有204种放法

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14、函数 $f (x) = \ln x - \frac{1}{2} x^{2}$ 的单调递增区间是（）

A、 $(- 1, 1)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ D、 $(1, + \infty)$

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15、根据变量Y和x的成对样本数据，由一元线性回归模型 $\{\begin{array}{l} Y = b x + a + e \\ E (e) = 0, D (e) = σ^{2} \end{array}$ 得到经验回归模型 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，求得残差图.对于以下四幅残差图，满足一元线性回归模型中对随机误差假设的是（）

A、 B、 C、 D、

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16、2025年蛇年春晚的武汉分会场地点设在黄鹤楼，楼的外观有五层而实际上内部有九层．为营造春节的喜庆气氛，主办方决定在黄鹤楼的外部用灯笼进行装饰．这五层楼预计共挂186盏灯笼，且相邻两层中的下一层灯笼数是上一层灯笼数的2倍，则最中间一层需要挂灯笼的数量为（　　）

A、12盏 B、24盏 C、36盏 D、48盏

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17、已知 $α, β$ 是两个不同的平面， $m, n$ 是两条不同的直线，下列命题中正确的是（）

A、若 $m ⊥ α, n // α$ ，则 $m ⊥ n$ B、若 $α ⊥ β, m \subset α, n \subset β$ ，则 $m ⊥ n$ C、若 $m // n, n \subset α$ ，则 $m / / α$ D、若 $m \subset α, n \subset α, m // β, n // β$ ，则 $α // β$

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18、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $b \cos C + c \cos B = 2 b$ ，且 $\frac{1}{\tan A} + \frac{1}{\tan B} = \frac{1}{\sin C}$ .

(1)、求 $\frac{a}{b}$ 的值；

(2)、求 $tan C$ 的值.

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19、现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期 $T$ 内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失，设每次分裂成一个新细胞的概率为 $p$ ，分裂成两个新细胞的概率为 $1 - p$ ；新细胞在下一个周期 $T$ 内可以继续分裂，每个细胞的分裂相互独立. 设有一个初始的细胞，在第一个周期 $T$ 内开始分裂，记 $n (n \in N^{*})$ 个周期结束后，细胞的数量为 $X_{n}$ ，其中 $p \in (\frac{1}{2}, 1)$ .

(1)、若 $p = \frac{2}{3}$ ，求 $X_{2}$ 的分布列和数学期望；

(2)、求 $P (X_{n} = 2)$ ；

(3)、求证： $P (X_{n} = 3) < \frac{8}{27 p^{2}}$ .

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20、已知直线 $x - y - 1 = 0$ 与抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于A，B两点，且 $|A B| = 8$ .

(1)、求p；

(2)、M，N为抛物线C上异于顶点O的两点，F为焦点.若 $\vec{M F} \cdot \vec{N F} = 0$ ，求 $△ M N F$ 面积的最小值.

(3)、若点 $P (- 4, 0)$ ，问x轴上是否存在点 $T$ ，使得过点 $T$ 的任一条直线与抛物线 $C$ 交于点Q、R两点，且点 $T$ 到直线PQ、PR的距离相等？若存在，求出点 $T$ 的坐标；若不存在，说明理由．

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周末使用手机时长（h）	0	1	2	3	4	5	6	$\geq 7$	合计
男生人数	1	2	4	5	6	5	4	3	30
女生人数	4	5	5	6	4	3	2	1	30
合计	5	7	9	11	10	8	6	4	60

性别	使用手机		合计
性别	不经常	经常	合计
男生
女生
合计

$α$	$0.1$	$0.05$	$0.01$
$x_{α}$	$2.706$	$3.841$	$6.635$

第x年	1	2	3	4	5	6	7
利润y（亿元）	2.9	3.3	3.6	4.4	m	5.2	5.9