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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n} - a_{n + 1} = 2^{n} a_{n} a_{n + 1}$ ，则 $a_{n} =$ （）

A、 $\frac{2}{2^{n - 1} + 1}$ B、 $\frac{1}{2^{n - 1}}$ C、 $\frac{2}{2^{n} + 1}$ D、 $\frac{1}{2^{n} - 1}$

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2、已知直线 $l$ 经过点 $P (2, 1)$ 、 $Q (4, 5)$ 两点，直线 $m$ 的倾斜角是直线 $l$ 的倾斜角的2倍，则直线 $m$ 的斜率为．

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3、已知 $f (x) = e^{x} + e^{- x} + λ sin x (λ \in R)$ .

(1)、若 $f (x)$ 为偶函数，求λ的值；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(0, π)$ 内有两个不同的极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求证： $x_{1} + x_{2} > π$ ；

(3)、当 $λ = 2$ 时，定义复数 $z_{n} = f (n π) + i f^{'} (n π)$ ， $n \in N^{*}$ ， i为虚数单位，记 $S_{n} = \sum_{j = 1}^{n} z_{j}$ .求证：对任意 $n \in N^{*}$ ，复数 $S_{n}$ 的模均满足 $|S_{n}| < \frac{e^{(n + 1) π}}{10} + 1$ .

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4、某研究小组为了探究性别与商场购物意愿之间是否存在关联，随机调查200名市民，得到如下数据：
单位：人
性别
商场购物意愿
合计
喜欢在商场购物
不喜欢商场购物
男性
60
30
90
女性
90
20
110
合计
150
50
200

(1)、根据小概率值 $α = 0.050$ 的独立性检验，分析性别与商场购物意愿是否有关联.

(2)、采用分层随机抽样，从调查中喜欢商场购物的市民抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人中男性人数X的分布列和期望.

(3)、某商场推出购物抽奖促销活动，抽奖是从一个装有1个红球、1个白球、4个黄球的不透明盒子中，依次有放回随机地摸取1个球.规则如下：每摸中1次红球，奖励10元购物券；当消费者摸中红球的个数比黄球个数多1时，抽奖结束，否则抽奖继续.记甲在n次摸球后抽奖结束且获奖30元购物券的概率为 $P (n)$ ，求当 $P (n)$ 取最大值时n的值.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .
临界值表：
α
0.050
0.010
0.001
$x_{α}$
3.841
6.635
10.828

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5、如图，在正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中，E，F分别是棱 $B C$ ， $C D$ 上的动点.

(1)、设E，F分别为 $B C$ 、 $C D$ 的中点.证明： $E F //$ 平面 $A B^{'} D^{'}$ ；

(2)、设 $B E = C F$ .
（ⅰ）证明： $B^{'} F ⊥ D^{'} E$ ；
（ⅱ）当三棱锥 $A^{'} - C E F$ 的体积取得最大值时，求平面 $A^{'} E F$ 与平面 $C E F$ 夹角的余弦值.

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6、已知函数 $f (x) = (x + 2) e^{x}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间及最值；

(2)、设 $g (x) = f (x) - k$ ，讨论 $g (x)$ 在区间 $[- 1, 1]$ 上的零点个数.

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7、在一个数字转换程序中， $S_{1}$ ， $S_{2}$ 分别输入正整数m，n，经该转换程序处理后输出的数值为 $A (m, n)$ ，该程序运行满足以下3个条件：
① $A (1, 1) = 1$ ；② $A (m + 1, 1) = 4 A (m, 1) + 3$ ；③ $A (m, n + 1) = A (m, n) + 3$ .
若 $S_{2}$ 输入2025，且输出的数值为6103，则 $S_{1}$ 输入的正整数为.

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8、已知 $\forall x \in [1, 2]$ ， $x \ln x + a x + 2 \leq 0$ 恒成立，则a的取值范围是.

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9、 ${(2 x + \frac{1}{x})}^{5}$ 展开式中 $x^{3}$ 的系数为.

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10、已知棱长为3的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，动点P满足 $P A = 2 P B$ ，下列结论正确的是（）

A、正方体棱上满足条件的P的个数为3 B、正方体棱上满足条件的P所在的平面去截正方体，截面面积为 $2 \sqrt{3}$ C、正方体棱上满足条件的P所在的平面去截正方体，被截去较小部分的体积为 $\frac{1}{2}$ D、点P到正方体各顶点距离的最大值为 $2 + \sqrt{34}$

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11、等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{3} = 1$ ， $S_{4} = 8$ .则下列说法正确的是（）

A、 $a_{5} = - 3$ B、数列 $\{a_{2 n - 1}\}$ 的第10项为 $- 13$ C、数列 $\{\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}\}$ 的前n项和 $\frac{n}{25 - 10 n}$ D、 $S_{n}$ 的最大值为8

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12、设某车床生产的零件长度为随机变量X， $X ~ N (5, 1)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $E (X + 3) = 8$ B、 $D (3 X + 1) = 4$ C、 $P (2 \leq X \leq 8) = 1 - 2 P (X > 8)$ D、 $P (6 \leq X \leq 7) < P (4 \leq X \leq 5)$

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13、袋子A中有2张10元纸币和4张1元纸币，袋子B中有6张5元纸币.现抛掷一枚质地均匀的骰子，掷出几点就从两个袋子中各取出几张纸币，则从A中取出的纸币的面值之和大于从B中取出的纸币的面值之和的概率为（）

A、 $\frac{7}{30}$ B、 $\frac{23}{90}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{29}{90}$

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14、已知四棱锥 $P - A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $∠ B A D = 60 °$ ， $P B ⊥ C D$ ， $P B$ 与底面 $A B C D$ 所成角为 $60 °$ ， $P B = 2$ ，则 $C D$ 到平面 $P A B$ 的距离是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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15、已知曲线 $f (x) = {(x + 1)}^{3}$ 在点 $(1, 8)$ 处的切线与直线 $y = k x$ 平行，则 $k =$ （）

A、8 B、12 C、13 D、14

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16、已知圆锥的表面积为 $12 π$ ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（）

A、 $\frac{8 \sqrt{3} π}{3}$ B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $\frac{5 π}{3}$ D、 $12 π$

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17、小明在注册某账号的密码时，想在1，2，3，a，b中组成无重复的五位字符的密码，要求a与b相邻，则可以设置不同的密码的个数为（）

A、12 B、24 C、36 D、48

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18、在正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中，O为底面ABCD的中心，则直线 $A^{'} O$ 与 $B^{'} D^{'}$ 所成的角为（）

A、 $45 °$ B、 $60 °$ C、 $90 °$ D、 $120 °$

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19、已知x与y之间的一组数据：
x
1
2
3
4
y
5.5
4
3.5
3
若y与x满足回归方程 $y = \hat{b} x + 5$ ，则 $\hat{b} =$ （）

A、 $- \frac{2}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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20、已知正项等比数列 $\{a_{n}\}$ ， $a_{2} a_{4} = 16$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、8

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性别	商场购物意愿		合计
性别	喜欢在商场购物	不喜欢商场购物	合计
男性	60	30	90
女性	90	20	110
合计	150	50	200

α	0.050	0.010	0.001
$x_{α}$	3.841	6.635	10.828

x	1	2	3	4
y	5.5	4	3.5	3