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相关试卷

1、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D = C D = D P = 1$ ， $A B = B C = B P = \sqrt{3}$ ， $D P ⊥ A C$ ， $D P ⊥ P B$ .

(1)、求证： $A C ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、过直线 $C D$ 与线段 $P B$ 的中点E的平面 $α$ 与线段 $P A$ 交于点F.
（i）试确定F点位置；
（ii）若H点为线段 $E F$ 上一动点，求直线 $A H$ 与平面 $B C P$ 所成角正弦值的最小值.

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2、已知函数 $f (x) = x (1 + \ln x)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的图像在点 $(1, 1)$ 处的切线方程；

(2)、若 $k \in Z$ ，且 $k (x - 1) < f (x)$ 对任意 $x > 1$ 恒成立，求 $k$ 的最大值.

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3、如图， $E A ⊥$ 平面ABCD， $E A ∥ F C$ ， $A C = E A = 2 F C = 2$ ，四边形ABCD为菱形.

(1)、证明： $F A ⊥$ 平面EBD；

(2)、若直线AB与平面EBD所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{5}$ ，求三棱锥 $E - B D F$ 的体积.

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4、定义“规范01数列” $\{a_{n}\}$ 如下： $\{a_{n}\}$ 共有 $2 m$ 项，其中 $m$ 项为0， $m$ 项为1，且对任意 $k \leq 2 m$ ， $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}$ 中0的个数不少于1的个数.若 $m = 4$ ，则不同的“规范01数列”共有个．

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5、小红和小梅大学毕业后，主动到山区学校参加支教活动，她们两个都决定从包括甲学校在内的 $n (n \in N^{*})$ 所学校中随机选择一所学校去支教，设事件A为“两人至少有一人选择甲学校”，事件B为“两人选择的学校不同”，若 $P (B | A) = \frac{4}{5}$ ，则 $n =$ ．

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6、 $(2 x + 1) {(1 - x)}^{9}$ 的展开式中 $x^{5}$ 的系数为．

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7、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，点 $P$ 满足 $\vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A D} + γ \vec{A A_{1}}$ ， $λ, μ, γ \in R$ （ $P$ 与 $B, D, A_{1}$ 三点不重合），则下列说法正确的是（）

A、当 $λ + μ + γ = 1$ 时， $P B / /$ 平面 $C D_{1} B_{1}$ B、当 $γ = 1, λ = μ$ 时， $A_{1} P ⊥$ 平面 $B D D_{1} B_{1}$ C、当 $λ = \frac{1}{2}, μ = γ = 1$ 时，平面 $A_{1} D P ⊥$ 平面 $A_{1} D C$ D、当 $λ μ = 1, γ = 0$ 时，直线 $P A_{1}$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所成角的正切值的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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8、甲是某公司的技术研发人员，他所在的小组负责某个项目，该项目由 $A, B, C$ 三个工序组成，甲只负责其中一个工序，且甲负责工序 $A, B, C$ 的概率分别为 $0.5, 0.3, 0.2$ ，当他负责工序 $A, B, C$ 时，该项目达标的概率分别为 $0.6, 0.8, 0.7$ ，则下列结论正确的是（）

A、该项目达标的概率为0.68 B、若甲不负责工序C，则该项目达标的概率为0.54 C、若该项目达标，则甲负责工序A的概率为 $\frac{15}{34}$ D、若该项目未达标，则甲负责工序A的概率为 $\frac{5}{8}$

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9、若 $(1 + x) + {(1 + x)}^{2} + \dots + {(1 + x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}$ ，且 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n - 1} = 125 - n$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $n = 6$ B、 ${(1 + 2 x)}^{n}$ 展开式中二项式系数和为 $729$ C、 $(1 + x) + {(1 + x)}^{2} + \dots + {(1 + x)}^{n}$ 展开式中所有项系数和为 $126$ D、 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \dots + n a_{n} = 321$

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10、中国蹴鞠已有两千三百多年的历史，于2004年被国际足联正式确认为世界足球运动的起源．蹴鞠在2022年卡塔尔世界杯上再次成为文化交流的媒介，走到世界舞台的中央，诉说中国传统非遗故事．为弘扬中华传统文化，某市四所高中各自组建了蹴鞠队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率均为 $\frac{1}{3}$ ，则在比赛结束时丙队在输了第一场且其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{5}{27}$ C、 $\frac{4}{81}$ D、 $\frac{8}{243}$

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11、已知椭圆、双曲线均是以直角三角形ABC的斜边AC的两端点为焦点的曲线，且都过B点，它们的离心率分别为 $e_{1} 、 e_{2}$ ，则 $\frac{1}{e_{1}^{2}} + \frac{1}{e_{2}^{2}}$ =（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、2 C、 $\frac{5}{2}$ D、3

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12、已知函数 $f (x) = (a - 1) x + \ln x$ ．

(1)、若 $a = \frac{1}{2}$ ，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、对任意 $x > 0$ ，不等式 $e^{x - a} + (x - 1) a - x \geq f (x)$ 恒成立，求a的取值范围；

(3)、对任意 $t < 1, x > 0$ ，不等式 $e^{x - t} - \ln a - t \geq f (x)$ 恒成立，求a的取值范围．

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13、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < 2), M (1, 0)$ ．

(1)、若M是椭圆C的焦点，求b的值；

(2)、若P为椭圆在第一象限上的点，A，B分别为椭圆的上顶点和右顶点，直线PA，PB分别与x轴和y轴交于点S和T．记 $△ P S T$ ， $△ P A B$ 面积分别为 $S_{1}, S_{2}$ ，若 $S_{1} - S_{2}$ 为定值 $2 \sqrt{3}$ ，求椭圆C的标准方程．

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14、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 棱长为1，点E为正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内（含边界）一动点．

(1)、若 $\vec{C_{1} E} = \frac{3}{4} \vec{C_{1} A_{1}}$ ，证明：面 $A_{1} B D ⊥$ 面 $C C_{1} E$ ；

(2)、若面 $A_{1} B D ⊥$ 面 $C C_{1} E$ ，求直线EB与平面ABCD所成角的正弦值的最大值．

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15、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 $2 a \sin (C + \frac{π}{6}) = b + c$ ．

(1)、求A；

(2)、如果 $a = 2$ 且 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，求角B的大小．

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16、鱼饼是温州十大名小吃之一，不但本地人喜欢，而且深受外来游客的赞赏小张从事鱼饼生产和批发多年，有着不少来自零售商和酒店的客户，小张把一年采购鱼饼的数量x（单位：箱）在 $[100 ， 200)$ 的客户采购的数量制成下图及下表：
采购数x
$[100, 120)$
$[120, 140)$
$[140, 160)$
$[160, 180)$
$[180, 200)$
客户数
10
10
5
20
5

(1)、根据表格中的数据求出频率分布直方图中的数据a，b，c，并估计客户采购数的第25百分位数；

(2)、为感谢新老客户的大力支持，小张要在国庆节开展促销活动．促销活动可以在门店内举行，也可以在门店外举行．已知在门店内的促销活动可以获得利润2千元；门店外的促销活动，如果不遇有雨天气可以获得利润8千元，如果遇到有雨天气则会带来经济损失3千元.9月30日气象台预报国庆节当地的降水概率是P．从利润期望的角度考虑，小张最终选择了在门店外进行促销活动，求降水概率P的取值范围．

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17、如图所示，已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a, b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 分别作两条互相平行的直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ ， $l_{1}$ 与双曲线的左支交于A、B两点（A在x轴上方）， $l_{2}$ 与双曲线的右支交于C、D两点（C在x轴上方），若 $\frac{|F_{1} B|}{|F_{2} D|} = \frac{4}{5}$ ， $∠ F_{1} C D + 3 ∠ C F_{1} D = π$ ，则 $e^{2}$ （e是双曲线的离心率）等于．

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18、在 $△ A B C$ 中， $A B = 2, A C = 5, ∠ B A C = \frac{π}{3}$ ，边 $B C$ 和 $A C$ 上的两条中线 $A M$ 和 $B N$ 相交于点 $P$ ，那么 $\vec{A P} \cdot \vec{A C}$ 的值为．

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19、已知 $A$ 、 $B$ 为一次试验中的两个事件， $P (A) = \frac{1}{2}$ ， $P (B) = \frac{1}{3}$ ，则 $P (A + B) + P (A B) =$ ．

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20、用平面 $α$ 截如图放置的正四面体ABCD，下列说法正确的是（）

A、当截面为平行四边形时，正四面体有两条棱所在的直线平行平面 $α$ B、截面可能是直角梯形 C、若平面 $α$ 分别与棱AB，AC，AD交于点E，F，G， $A E = \frac{1}{2} A B$ ， $A F = \frac{1}{3} A C$ ， $A G = \frac{1}{4} A D$ ，则平面 $α$ 与平面BCD夹角的余弦值为 $\frac{5}{6}$ D、设点F在棱AC上，点G在棱AD上（均包含端点），且 $A F = λ A C$ ， $A G = μ A D$ ，其中 $λ + μ = 1$ ．如果平面 $α$ 经过B，F，G三点，那么平面 $α$ 与平面BCD夹角的余弦值的取值范围为 $[\frac{1}{3}, \frac{5 \sqrt{33}}{33}]$

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采购数x	$[100, 120)$	$[120, 140)$	$[140, 160)$	$[160, 180)$	$[180, 200)$
客户数	10	10	5	20	5