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相关试卷

1、如图所示的迷宫共有9个格子，相邻格子有门相通，9号格子就是迷宫出口，整个迷宫将会在4分钟后坍塌，若1号格子有一只老鼠，这只老鼠以每分钟一格的速度在迷宫里乱窜 $($ 它通过各扇门的机会相等 $)$ ，则此老鼠在迷宫坍塌之前逃生的概率是.

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2、已知函数 $f (x) = \sin 2 x + \cos (2 x + \frac{π}{6})$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调递减区间；

(3)、将求函数 $f (x)$ 的图像向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图像，求 $g (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 的值域.

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3、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形，侧面 $P A D$ 是正三角形，侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $M$ 是 $P D$ 中点．

(1)、求证： $A M ⊥ P C$

(2)、求侧面 $P B C$ 与底面 $A B C D$ 所成二面角的正弦值.

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4、在一个文艺比赛中，5名专业人士和5名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分.下面是两组评委对同一名选手的打分：
$A$ 组
42
47
48
46
52
$B$ 组
52
36
70
38
39

(1)、分别计算两组评委打分的极差和平均数；

(2)、分别计算两组评委打分的方差，并判断哪组更像是由专业人士组成的评委小组；

(3)、甲、乙是该场比赛的专业人士评委，要从五位专业人士的评委小组中任意选取2人对该选手点评，求恰好甲、乙同时被选中的概率.

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5、已知a，b，c为 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边，向量 $\vec{m} = (\sin C + \sin B, \sin B - \sin A)$ ， $\vec{n} = (c - b, a)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ .

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $a = 2$ ， $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，且 $\vec{A B} = 3 \vec{D B}$ ，求线段 $C D$ 的长.

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6、甲船在岛B的正南A处， $A B = 10 km$ ，甲船以每小时4 km的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6 km的速度向北偏东 $60 °$ 的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是 h，最近距离是 km．

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7、已知三棱锥 $P - A B C$ 的三条棱 $P A$ ， $P B$ ， $P C$ 两两垂直，且 $P A = P B = P C = 1$ ，则该三棱锥的外接球的表面积为．

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8、已知角 $α ， β$ 都是锐角， $\tan α = \frac{4}{3}$ ， $\sin β = \frac{5}{13}$ ，则（）

A、 $cos (π - β) = \frac{12}{13}$ B、 $sin α = \frac{4}{5}$ C、 $tan(α - β) = \frac{33}{16}$ D、 $\cos \frac{α}{2} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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9、胡晓统计了他爸爸9月的手机通话明细清单，发现他爸爸该月共通话60次.胡晓按每次通话的时间长短进行分组（每组为左闭右开），画出了频率分布直方图.
以下说法正确的是（）

A、手机通话时长在区间 $[15, 20)$ 的次数为9 B、手机通话时长的众数为2.5 C、手机通话时长的平均数为11.6 D、手机通话时长在10分钟以上的频率为0.5

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10、如图是函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < π)$ 的部分图象，则下列说法正确的是（）

A、 $ω = 2, φ = \frac{2 π}{3}$ B、 $ω = 1, φ = \frac{2 π}{3}$ C、 $ω = 2, φ = \frac{π}{3}$ D、 $ω = 2, φ = \frac{π}{6}$

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11、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 4 x$ ，则不等式 $x f (x) > 0$ 的解集为．

A、 $(- \infty, - 4) \cup (4, + \infty)$ B、 $(- 4, 0) \cup (4, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 4) \cup (0, 4)$ D、 $(- 4, 4)$

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12、如图，在 $△ A B C$ 中， $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ， $\vec{A D} = m \vec{A B} + n \vec{A C}$ ，则 $m n =$ （）

A、 $\frac{2}{9}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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13、甲、乙两人独立破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是 $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{4}$ ，密码被成功破译的概率是（）

A、 $\frac{7}{12}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{1}{12}$

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14、已知 $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$ ， $A = {2, 4, 5}$ ， $B = {1, 3, 5, 7}$ ，则 $A \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${2}$ B、 ${2, 4, 6}$ C、 ${2, 4}$ D、 ${5}$

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15、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为正数，且 $a_{3} = a_{1} a_{2}$ ， $a_{1} = a_{2} + 2 a_{3}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{1}} + \frac{2}{a_{2}} + \frac{3}{a_{3}} + \dots + \frac{n}{a_{n}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式.

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16、已知平面向量 $\vec{a} = (x, 1), \vec{b} = (x - 1, 2 x),$ 若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $| \vec{a} | =$

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17、已知函数 $f (x) = a x - sin x, g (x) = ln (1 + 2 x) - a sin 2 x$ .当 $x \in (0, \frac{π}{2})$ 时， $f (x) > 0$ 恒成立.

(1)、求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、求证：（i） $g (x)$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 上存在极值点 $x_{1}$ 和零点 $x_{0}$ ；
（ii）对于（i）中的 $x_{1}$ 和 $x_{0}$ ，满足 $x_{1} < x_{0} < 2 x_{1}$ .

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18、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点分别是 $F_{1} (- 2 \sqrt{3}, 0), F_{2} (2 \sqrt{3}, 0)$ ，并且经过点 $A (2 \sqrt{3}, 4)$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过点 $F_{2}$ 的直线交双曲线的右支于 $M, N$ 两点（点 $M$ 在第一象限），过点 $M$ 作直线 $x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 的垂线，垂足为 $D$ .
（i）求证：直线 $D N$ 经过定点；
（ii）记 $△ O D N$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 的取值范围.

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19、2025年7月6日晚，“浙BA”揭幕战在绍兴诸暨打响，“浙BA”作为浙江省城市篮球联赛，不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎.某校为激发学生对篮球､足球､排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球､足球､排球三类相关知识题量占比分别为 $\frac{3}{10}, \frac{2}{5}, \frac{3}{10}$ .甲同学回答篮球､足球､排球这三类问题中每个题的正确率分别为 $\frac{2}{3}, \frac{3}{5}, \frac{1}{2}$ .

(1)、若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率；

(2)、若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得-1分.设该同学回答三题后的总得分为 $X$ 分，求 $X$ 的分布列及数学期望；

(3)、知识竞赛规则：随机从题库中抽取 $2 n$ 道题目，答对题目数不少于 $n$ 道，即可获得奖励.现以获得奖励的概率大小为依据，若甲同学在 $n = 4$ 和 $n = 5$ 之中选其一，则他应如何选择？并说明理由.

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20、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 3, A B = 2, D$ 为 $B C$ 的中点，点 $E$ 在棱 $B B_{1}$ 上， $B E = 2 E B_{1}$ .

(1)、证明： $C_{1} E ⊥$ 平面 $A D E$ ；

(2)、求平面 $A E C_{1}$ 与平面 $A B C$ 夹角的余弦值.

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$A$ 组	42	47	48	46	52
$B$ 组	52	36	70	38	39