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相关试卷

1、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $△ B A C$ 与 $△ A D C$ 均为等腰直角三角形， $∠ B A C = 90 °$ ， $∠ A D C = 90 °$ .

(1)、若 $E$ 为 $P B$ 的中点，求证： $A E$ $/ /$ 平面 $P D C$ ；

(2)、若 $P A ⊥$ 平面 $A B C D, P A = A C = 2$ .
（i）求平面 $P A B$ 与平面 $P D C$ 夹角的余弦值；
（ii）求点 $A$ 到平面 $P D C$ 的距离.

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2、已知函数 $f (x) = cos x (sin x + cos x)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期，并求 $y = f (x)$ 的图象的对称轴方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[0, a)$ 上无最小值，求实数 $a$ 的取值范围.

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1} > 0$ ，且 $S_{n} = a_{n + 1} + a_{n}$ .给出下列四个结论：
① $a_{2} = 0$ ；
② $\{a_{n}\}$ 是递增数列；
③ $\forall M > 0, \exists m \in N^{*}$ ，使得当 $n > m$ 时， $a_{n} > M$ ；
④ $\exists m \in N^{*}, m \geq 2$ ，使得当 $n > m$ 时，总有 $|\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}| < \frac{1}{1000}$ .
其中所有正确结论的序号是.

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4、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 7, A B = 2, B C = 4$ ，过点 $B$ 的平面 $B E F$ 分别交棱 $A A_{1}, D D_{1}, C C_{1}$ 于 $E, F, G$ .已知四边形 $B E F G$ 为菱形，且 $D F = 6$ ，则 $A E =$ .；长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 被平面 $B E F$ 所截得的上下两部分体积之比为.

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5、如图，在正方形 $A B C D$ 中， $\vec{A E} = λ \vec{A B} (0 < λ < 1), \vec{B F} = μ \vec{B C} (0 < μ < 1)$ ，点 $M$ 为 $D E$ 和 $A F$ 的交点.若 $∠ E M F$ 为钝角，写出符合条件的一组 $λ, μ$ 的值为 $λ =$ ， $μ =$ .

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6、函数 $f (x) = x + tan x$ 的定义域是.

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7、已知复数 $z$ 满足 $\frac{1}{z} = 1 + 2 i$ ，则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z} =$ .

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8、某生物种群数量在一个有限的环境中增长时，由于资源和空间等因素的限制，该种群数量 $N$ 与时间 $t$ 之间的关系可以由函数 $N = f (t) = \frac{K}{1 + (\frac{K - N_{0}}{N_{0}}) e^{- r t}}$ 刻画，其中常数 $N_{0} (N_{0} > 0)$ 表示该种群数量的初始值，常数 $K (K > N_{0})$ 表示该种群环境容纳量，常数 $r (r > 0)$ 表示内禀增长率，函数 $N = f (t)$ 的图象如下图所示.
给出下列三个结论：
①函数 $f (t)$ 的导函数 $f^{'} (t)$ 有最大值；
②存在 $t_{0} > 0$ ，使得函数 $f (t)$ 在区间 $(0, t_{0})$ 的图象是中心对称图形；
③对于任意的 $0 < t_{1} < t_{2} < t_{3}$ ，有 $\frac{f (t_{2}) - f (t_{1})}{t_{2} - t_{1}} \leq \frac{f (t_{3}) - f (t_{1})}{t_{3} - t_{1}}$ 成立.
其中所有正确结论的序号是（）

A、① B、①② C、②③ D、①②③

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9、若函数 $f (x) = x + \frac{a}{x^{2}}$ 在区间 $[1, 2]$ 上是单调函数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, \frac{1}{2}] \cup [4, + \infty)$ B、 $(- \infty, 0]\cup[8, + \infty)$ C、 $(- \infty, 0]\cup[4, + \infty)$ D、 $[0, \frac{1}{2}] \cup [8, + \infty)$

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10、在 $△ A B C$ 中， $∠ C = \frac{π}{2}, A C = 2, A B = 4, M$ 是 $A B$ 的中点，将 $△ A M C$ 沿 $M C$ 折起，使得 $△ A M C$ 所在平面与 $△ B M C$ 所在平面垂直，则此时点 $A$ 与点 $B$ 的距离为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、3 C、 $\sqrt{10}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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11、若方程 $x + ln x = 8$ 在区间 $(n, n + 1) (n \in N^{*})$ 上有解，则 $n =$ （）

A、4 B、5 C、6 D、7

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12、在等差数列 $- 10, - 7, - 4, - 1, \dots$ 的每相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列 $\{a_{n}\}$ ，则 $a_{8} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、 $\frac{3}{2}$

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13、设 $a \in R$ ，则“ $a > 1$ ”是“ $a^{3} + 1 > a^{2} + a$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14、下列不等式中正确的是（）

A、 ${0.5}^{0.3} > {0.5}^{0.2}$ B、 $2^{0.5} > 3^{0.5}$ C、 ${log}_{0.5} 0.3 > {log}_{0.5} 0.2$ D、 ${log}_{2} 0.5 < {log}_{3} 0.5$

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15、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 2, \vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ （）

A、2 B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、12

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16、若全集 $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}, A = \{1, 2, 3\}, B = \{1, 5\}$ ，则 $∁_{U} (A \cup B) =$ （）

A、 $\{4\}$ B、 $\{4, 5\}$ C、 $\{1, 4, 5\}$ D、 $\{2, 3, 4\}$

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17、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C$ ，点 $A_{1}$ 在平面 $A B C$ 上的射影为 $B C$ 的中点 $O$ .

(1)、求证：四边形 $B C C_{1} B_{1}$ 是矩形；

(2)、若 $A B ⊥ A C, B C = B B_{1} = 2,$ 求二面角 $B - A B_{1} - C$ 的正弦值；

(3)、记三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $V$ ，线段 $C C_{n} (n \in N^{*})$ 的中点为 $C_{n + 1}$ ，三棱锥 $C_{n} - A B_{1} C$ 的体积为 $V_{n}$ ，若 $T_{n} = \frac{(n + 2) V_{n}}{n (n + 1)}$ ，求证： $T_{1} + T_{2} + \dots + T_{n} < \frac{2 V}{3} .$

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18、已知椭圆C $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 直线 $2 x - 3 y + 6 = 0$ 与C 交于点 M，N，且线段 $M N$ 的中点为 $A (- \frac{3}{2}, 1) .$

(1)、求C 的离心率.

(2)、若点M在x轴上，点 P，Q（点Q在点 P的右上方）在C上，且直线 $P Q$ 与直线 $M N$ 平行.
（i）求直线 $P Q$ 与直线 $M N$ 之间距离的取值范围；
（ii）求证：直线 $M P$ ， $N Q$ 的交点在定直线上.

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19、已知函数 $f (x) = ln (a x)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求方程 $f (x) = e^{x - 1} - 1$ 的解；

(2)、若 $a \in (1, + \infty), b \in (0, 1)$ ，证明： $f (x) < \frac{x^{b} + a - 2}{b} .$

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20、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $\frac{b^{2}}{c} + c = 2 b \cos A + a \cos B$ .

(1)、求C；

(2)、若C的平分线与 $A B$ 交于点D，且 $C D = 2$ ，求 $a + 4 b$ 的最小值.

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