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相关试卷

1、已知a，b，c分别为 $△ A B C$ 三个内角A，B，C的对边， ${(\sin B - \sin C)}^{2} = \sin^{2} (B + C) - \sin B \sin C$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ .

(1)、求A；

(2)、若 $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，求 $A D$ 的最小值.

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2、在量子通信中，光子极化序列需满足以下条件：
（1）每个极化方向为水平（H）或垂直（V）；
（2）任意三个连续光子中不能有全相同的极化方向；
（3）序列的首尾极化方向必须相同.
如“ $H V H$ ”是一个长度为3的合法序列.则长度为7的合法序列数目为.

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3、已知 $f (x) = \cos (π x + \frac{π}{6}) \cdot \ln x$ ，则函数 $f (x)$ 在区间 $[0, 3]$ 上的所有零点之和为.

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4、双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{3} = 1 (a > 0)$ 的两个焦点分别是 $F_{1}$ 与 $F_{2}$ ，焦距为4，M是双曲线上的一点，且 $|M F_{1}| = 3$ ，则 $△ M F_{1} F_{2}$ 的面积是.

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5、已知抛物线 $C$ ： $x^{2} = 4 y$ 与圆M： $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = r^{2}$ 交于A，B两点，圆M与y轴的负半轴交于点P， $O$ 为坐标原点，则（）

A、 $r > 1$ B、若 $△ P A B$ 为等边三角形，则 $r = 4$ C、存在 $r$ ，使得 $|O P| = |O A|$ D、直线 $P A$ 与抛物线C相切

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6、已知函数 $f (x) = \cos 2 x + 2 \sin x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $f (x)$ 是奇函数 C、曲线 $f (x)$ 关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 D、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{2}]$ 上单调递减

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7、若平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 两两的夹角相等，且 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ， $|\vec{c}| = 3$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|$ 的取值可以为（）

A、0 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、6

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8、若 $b > 1$ ， $a \in R$ ，且 $e^{a} + 2 \ln b = \frac{1}{b} - a$ ，则（）

A、 $a^{2} < b$ B、 $a^{2} > b$ C、 $e^{a} > b^{- 1}$ D、 $e^{a} > b^{- 2}$

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9、若 $\tan (α + β) = 3 \tan α$ ， $\sin (2 α + β) = \frac{4}{5}$ ，则 $\sin β =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{5}$

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10、在圆台 $O_{1} O_{2}$ 中，圆 $O_{2}$ 的半径是圆 $O_{1}$ 半径的2倍，且点 $O_{2}$ 为该圆台外接球球心，则圆台的体积与外接球的体积之比为（）

A、 $\frac{7 \sqrt{3}}{16}$ B、 $\frac{7 \sqrt{3}}{96}$ C、 $\frac{21 \sqrt{3}}{32}$ D、 $\frac{7 \sqrt{3}}{32}$

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11、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{3} = a_{5}$ ，若 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{m}$ 成等比数列，则 $m =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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12、2024年6月，国家卫健委等16部门联合发布《“体重管理年”活动实施方案》，旨在通过三年行动提升全民体重管理意识，推广健康生活方式.体重指数（体重公斤数除以身高米数平方）是常用的衡量人体胖瘦程度的一个标准，中国成人参考标准如下表.某中学在高三年级学生中随机抽取10人并计算出他们的体重指数分别为：16，18，18，19，19.7，20.3，21，22，26，30，则下列结论不正确的是（）
偏瘦
<18.5
正常
18.5~23.9
偏胖
24~27.9
肥胖
≥28

A、这组数据的中位数为20 B、该组数据的极差为14 C、这十个人的平均体重正常 D、从该校学生中随机抽取一人，体重偏胖概率为20%

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13、已知 $m, n \in R$ ，则“ $(m - 1) (n - 1) = 0$ ”是“ ${(m - 1)}^{2} + |n - 1| = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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14、已知集合 $A = \{x |x = 2 k + 1, k \in N\}$ ， $B = \{x |- 1 \leq x \leq 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 3\}$ B、 $\{1, 3\}$ C、 $\{1, 2, 3\}$ D、 $\{- 1, 1, 3\}$

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15、我们在学习解析儿何过程中知道椭圆、双曲线的定义分别是平面内到两定点距离之和、距离之差的绝对值等于某个定值，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星运行规律时发现到两定点距离之积为常数的点的轨迹，我们称之为卡西尼卵形线.若定点 $F_{1} (- c, 0), F_{2} (c, 0)$ ，动点 $P$ 满足 $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}| = a^{2}$ ，其中 $a, c$ 均为正数，记该卡西尼卵形线为曲线 $C$ ，它的轨迹方程为 ${(x^{2} + y^{2})}^{2} + λ (x^{2} - y^{2}) = μ$ .

(1)、求参数 $λ, μ$ 的值（用含 $a, c$ 的式子表示）；

(2)、若 $P (x, y)$ 为曲线上一点，求证： $|y| \leq \frac{a^{2}}{2 c}$ ， $|x| \leq \sqrt{a^{2} + c^{2}}$ ；

(3)、若 $a = c = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ，求证：曲线 $C$ 恰经过 $3$ 个整点（横、纵坐标均为整数的点）.

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16、如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长都为 $2, D$ 为 $C C_{1}$ 中点.

(1)、求证： $A B_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B D$ ；

(2)、求平面 $A_{1} A C C_{1}$ 与面 $A_{1} B D$ 所成角的余弦值.

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17、已知函数 $f (x) = a x^{2} + 1$ ，（ $a > 0$ ）， $g (x) = x^{3} + b x$
（1）若曲线 $y = f (x)$ 与曲线 $y = g (x)$ 在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a，b的值
（2）当 $a = 3, b = - 9$ 时，若函数 $f (x) + g (x)$ 在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值范围

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18、设 $[x]$ 表示不超x的最大整数（如 $[2] = 2, [\frac{5}{4}] = 1$ ）．对于给定的 $n \in N^{*}$ ，定义 $C_{n}^{x} = \frac{n (n - 1) \dots (n - [x] + 1)}{x (x - 1) \dots (x - [x] + 1)}, x \in [1, + \infty)$ ，则 $C_{8}^{\frac{3}{2}} =$ ；当 $x \in [2, 3)$ 时，函数 $C_{8}^{x}$ 的值域是．

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19、函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ，若 $a, b, c$ 成等比数列且 $f (0) = - 4$ ，则 $f (x)$ 值域为.

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20、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} =$ ；

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偏瘦	<18.5
正常	18.5~23.9
偏胖	24~27.9
肥胖	≥28