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相关试卷

1、已知复数 $z$ 满足 $5 + z i = z (1 - i)$ ，则 $|z - i| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{10}$

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2、已知全集 $I = N$ ，集合 $A = \{x \in I |2 \leq x \leq 10\}$ ， $B = {x |x$ 为素数 $}$ ，则 $A \cap ∁_{I} B =$ （）

A、 $\{4, 6, 8, 10\}$ B、 $\{4, 5, 6, 8, 9\}$ C、 $\{2, 4, 6, 8, 10\}$ D、 $\{4, 6, 8, 9, 10\}$

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3、把函数 $f (x) = \sqrt{3} sin ω x + cos ω x (0 < ω < 3)$ 的图象向左平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位长度，得到的函数图象关于原点对称，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称 C、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{12}, \frac{π}{4})$ 上单调递增 D、若 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{12}, a)$ 上存在极大值点和极小值点，则实数 $a$ 的取值范围为 $(\frac{2 π}{3}, + \infty)$

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4、已知直线 $m$ 和平面 $α, β$ ，则下列命题中正确的有（）

A、若 $α // β, m ⊥ α$ ，则 $m ⊥ β$ B、若 $α ⊥ β, m ⊥ α$ ，则 $m // β$ C、若 $m // β, m ⊥ α$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $m // α, m // β$ ，则 $α // β$

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5、如图，直线 $y = k x + m$ 与曲线 $y = f (x)$ 相切于两点，则函数 $g (x) = f (x) - k x$ 在 $(0, + \infty)$ 上的极大值点个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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6、已知 $f (x)$ 是定义在 $I$ 上的函数，若对任意 $x \in I$ ， $f (x) \geq 0$ 恒成立，则称 $f (x)$ 为 $I$ 上的非负函数.

(1)、判断 $f (x) = x - e \ln x$ 是否为 $(0, + \infty)$ 上的非负函数，并说明理由.

(2)、已知 $n$ 为正整数， $g (x) = n x - a \ln x (a > 0)$ 为 $(0, + \infty)$ 上的非负函数，记 $a$ 的最大值为 $a_{n}$ ，证明： $\{a_{n}\}$ 为等差数列.

(3)、已知 $n \geq 2$ 且 $n \in N^{*}$ ，函数 $h (x) = \frac{n^{x}}{x^{n}} (x > 0)$ ，若 $F (x) = h (x) - h (b_{n})$ 为 $(0, + \infty)$ 上的非负函数，证明： $\sum_{n = 2}^{2025} \frac{1}{b_{n}} < {(\ln 2025)}^{2}$ .

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7、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，左右两顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$ ，过点 $C (1, 0)$ 作斜率为 $k_{1} (k_{1} \neq 0)$ 的动直线与椭圆 $E$ 相交于 $M, N$ 两点.当 $k_{1} = 1$ 时，点 $A_{1}$ 到直线 $M N$ 的距离为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、设点 $M$ 关于原点的对称点为 $P$ ，设直线 $A_{1} P$ 与直线 $A_{2} N$ 相交于点 $Q$ ，设直线 $O Q$ 的斜率为 $k_{2}$ ，试探究 $\frac{k_{2}}{k_{1}}$ 是否为定值，若为定值，求出定值并说明理由.

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8、若关于 $x$ 的方程 $m + e \ln m = \frac{x}{e^{x}} + e (\ln x - x)$ 有解，则实数m的最大值为.

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9、一道单项选择题有4个答案，要求学生将正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为 $\frac{1}{5}$ ，在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是.

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10、若变量 $x, y$ 满足 $\{\begin{cases} 2 x - y - 6 \leq 0 \\ x - y + 3 \geq 0 \\ x \geq 1 \end{cases}$ ，目标函数 $z = 2 a x + b y (a > 0, b > 0)$ 取得最大值 $6$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为．

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11、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $M, N$ 分别为线段 $A_{1} B_{1}, C C_{1}$ 的中点， $A A_{1} = 2 B C = 2, A B = 2 \sqrt{2}$ ，平面 $A B N ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ，则四面体 $A B M N$ 的外接球的体积为（）

A、 $\frac{5 \sqrt{10} π}{3}$ B、 $10 π$ C、 $5 \sqrt{10} π$ D、 $30 π$

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12、已知抛物线 $C : y^{2} = - 12 x$ 的焦点为F，动点M在C上，圆M的半径为1，过点F的直线与圆M相切于点N，则 $\vec{F M} \cdot \vec{F N}$ 的最小值为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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13、把函数 $f (x) = \sin 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再将得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{ω}$ 倍，纵坐标不变，得到函数 $y = g (x)$ 的图象. 若函数 $y = g (x)$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 上恰有 3 个零点，则正数 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{5}{3}, \frac{8}{3}]$ B、 $(\frac{8}{3}, \frac{11}{3}]$ C、 $(\frac{11}{6}, + \infty)$ D、 $(\frac{8}{3}, + \infty)$

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14、已知 $x \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\cos (x + \frac{π}{4}) = \frac{3}{5}$ ，则 $\sin x$ 的值为

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ C、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ D、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{10}$

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15、某中学有初中生600名，高中生200名，为保障学生的身心健康，学校举办“校园安全知识”了竞赛.现按比例分配的分层随机抽样的方法，分别抽取初中生 $m$ 名，高中生 $n$ 名，经统计： $m + n$ 名学生的平均成绩为74分，其中 $m$ 名初中生的平均成绩为72分， $n$ 名高中生的平均成绩为 $x$ 分，则 $x =$ （）

A、74 B、76 C、78 D、80

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16、已知函数 $f (x) = a x ln x$ ．

(1)、当 $a > 0$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $0 < a < 2$ 时，若曲线 $f (x)$ 上的动点 $P$ 到直线 $2 x - y - 11 e = 0$ 距离的最小值为 $2 \sqrt{5} e$ （ $e$ 为自然对数的底数）．
①求实数 $a$ 的值；
②求证： $f (x) < e^{x} + cos x - 2$ ．

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17、已知函数 $f (x) = x \ln x - a x + 1$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $\frac{1}{4} < a_{1} < 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{1}{5 - 4 a_{n}}$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、若 $f (x) \geq 0$ ，求 $a$ 的取值范围；

(2)、证明：对任意 $n \in N^{*}$ ， $\frac{1}{4} < a_{n + 1} < a_{n} < 1$ ；

(3)、定义 $a_{0} = 1$ ，证明： $\sum_{k = 0}^{n} (a_{k} - a_{k + 1}) a_{k + 2} < \frac{\ln 2}{2}$ .

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18、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (\sqrt{2} < b < 2)$ 的左右焦点，直线 $l$ 与椭圆交于A、B两点，当 $∠ F_{1} F_{2} A = \frac{π}{3}$ 时， $△ A F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\sqrt{3}$ .

(1)、求椭圆E的标准方程；

(2)、已知椭圆E与x轴负半轴交于点M，直线 $M A$ 与 $M B$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{4}$ .
（i）证明：直线 $l$ 过定点；
（ii）设 $△ A M O$ 与 $△ A M B$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，若 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{1}{5}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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19、甲和乙两个箱子中各装有6个球，其中甲箱中有3个红球、3个白球，乙箱中有 $m (m \geq 2)$ 个红球，其余都是白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱中随机摸出2个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱中随机摸出2个球.已知摸到白球的概率是 $\frac{2}{3}$ .

(1)、求m；

(2)、记摸到红球的个数为随机变量X，求X的分布列和均值.

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20、在三棱锥 $A - B C D$ 中， $B C = B D = \sqrt{6}$ ， $C D = 2 \sqrt{2}$ . $O$ 为 $C D$ 的中点， $H$ 为 $B O$ 的中点， $A H ⊥$ 平面 $B C D$ .

(1)、求证：平面 $A B C ⊥$ 平面 $A H D$ ；

(2)、若 $A B$ 与底面 $B C D$ 所成角的正切值是2，求二面角 $B - A D - C$ 的余弦值.

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