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相关试卷

1、在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 6 ， E$ 为线段 $C C_{1}$ 上的动点， $D$ 为 $B C$ 边上靠近B的三等分点，则三棱锥 $A - B D E$ 的外接球体积的最小值为（）

A、 $32 \sqrt{3} π$ B、 $\frac{4000 \sqrt{3} π}{27}$ C、 $\frac{500 \sqrt{3}}{27}$ D、 $108 \sqrt{3} π$

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2、甲､乙､丙､丁四人同时对一目标进行射击，四人击中目标的概率都为 $\frac{1}{2}$ ，目标被一人击中不会摧毁，目标被两人击中而摧毁的概率为 $\frac{1}{6}$ ，目标被三人击中而摧毁的概率为 $\frac{1}{2}$ ，若四人都击中目标肯定被摧毁，则目标被摧毁的概率为（）

A、 $\frac{1}{16}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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3、下列函数满足在定义域上有两个以上不同的单调区间，且存在 $m \in R$ ，使得函数图象无限趋近于直线 $y = m$ 但不与其相交的是（）

A、 $f (x) = ln |x - 1|$ B、 $f (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ C、 $f (x) = \frac{1}{x e^{- x}}$ D、 $f (x) = x sin x$

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4、若 $α \in (0, \frac{π}{2}), sin (\frac{π}{6} - α) = - \frac{1}{5}$ ，则 $cos (\frac{π}{6} + α)$ 的值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3} - \sqrt{6}}{10}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{6}}{10}$ C、 $\frac{2 \sqrt{6} - \sqrt{3}}{10}$ D、 $\frac{2 \sqrt{6} + \sqrt{3}}{10}$

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5、已知 $\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (3, 5)$ ，则 $\vec{b} - \vec{a}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为（）

A、 $(\frac{1}{5}, \frac{2}{5})$ B、 $(\frac{4}{5}, \frac{2}{5})$ C、 $(\frac{8}{5}, \frac{4}{5})$ . D、 $(\frac{12}{5}, \frac{6}{5})$

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6、已知复数 $z$ 满足 $(1 + 2 i) z = i^{2025}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $- \frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{5} i$ D、 $- \frac{1}{5} i$

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7、已知集合 $A = {x \in N | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0}, B = {x | {log}_{2} x < 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 1, 2\}$ B、 $\{0, 1, 2, 3\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{1, 2, 3\}$

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8、已知双曲线 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，离心率为2，过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与双曲线 $E$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，当直线 $l$ 垂直于 $x$ 轴时， $△ P Q F_{1}$ 的周长为16.

(1)、求双曲线 $E$ 的标准方程；

(2)、与 $x$ 轴不重合的直线 $l^{'}$ 过点 $N (x_{0}, 0) (x_{0} \neq 0)$ ，双曲线 $E$ 上存在两点 $A$ ， $B$ 关于 $l^{'}$ 对称，且AB的中点 $M$ 的横坐标为 $x_{0}^{'}$ .
（ⅰ）若 $x_{0} = λ x_{0}^{'}$ ，求实数 $λ$ 的值；
（ⅱ）若 $A$ ， $B$ 为双曲线 $E$ 右支上两个不同的点， $l^{'}$ 过点 $C (0, 4)$ ，求 $∠ A C B$ 的取值范围.

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9、如图所示，在圆柱 $O O_{1}$ 中，矩形 $A B B_{1} A_{1}$ 为圆柱 $O O_{1}$ 的轴截面，圆柱过点 $C$ 的母线为 $C C_{1}$ ，点 $C$ ， $E$ 为圆 $O$ 上异于点 $A$ ， $B$ 且在线段AB同侧的两点，且 $O E // B C$ ，点 $F$ 为线段 $A_{1} C$ 的中点， $A B = B B_{1} = 4$ .

(1)、求证： $E F //$ 平面 $B C B_{1}$ ；

(2)、若平面 $B C B_{1}$ 与平面 $A_{1} B_{1} C$ 所成夹角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{19}}{19}$ ，求 $∠ B A C$ 的大小；

(3)、若 $A C = 2 \sqrt{3}$ ，平面 $α$ 经过点 $C$ ，且直线 $C C_{1}$ 与平面 $α$ 所成的角为 $30 °$ ，过 $C_{1}$ 点作平面 $α$ 的垂线 $C_{1} Q$ （垂足为 $Q$ ），求直线AQ与直线 $C C_{1}$ 所成角的范围.

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10、已知函数 $f (x) = \ln x - a x - 2$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的最值；

(2)、若函数 $g (x) = x \cdot f (x)$ 有两个不同极值点 $x_{1}, x_{2}$ ，证明： $x_{1} x_{2} > e^{3}$ .

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11、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，且 $a_{2} = 3$ ， $a_{4} + a_{5} + a_{6} = 27$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、已知数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 b_{n} - 2$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、已知数列 $\{c_{n}\}$ 满足： $c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $M_{n}$ .

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12、已知抛物线 $C$ ： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $M (x_{0}, 2)$ 在抛物线 $C$ 上，且 $|M F| = 3$ ，点 $P$ 在直线 $l$ ： $y = - 2 (x \neq 0)$ 上，过 $P$ 向抛物线 $C$ 引两条切线PQ，PR，切点分别为 $Q$ ， $R$ ，过点 $A (0, 4)$ 引直线QR的垂线，垂足为点 $H$ ，则直线FH的斜率的取值范围是.

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13、已知函数 $f (x) = \sin (2 x - \frac{π}{4})$ ，若 $f (x)$ 在区间 $(0, m)$ 上单调递增，则实数 $m$ 的取值范围为.

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14、已知 ${(1 - 2 x)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5}$ ，则 $a_{4} =$ .

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15、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面积与体积的数值之比为3， $P$ ， $Q$ 分别是棱BC， $B B_{1}$ 的中点， $G$ 是线段 $A D_{1}$ 上一个动点，则下列结论正确的是（）

A、 $A A_{1} = 3$ B、多面体 $A D D_{1} A_{1} - P Q B_{1} C_{1} C$ 的体积为 $\frac{23}{3}$ C、存在一点 $G$ ，使得 $G C_{1} // A P$ D、若 $A C_{1} ⊥$ 平面PQG，则平面PQG截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的截面面积是 $3 \sqrt{3}$

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16、已知定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 的导数为 $f^{'} (x)$ ，若 $f (1) = 1$ ，且 $f^{'} (x) + \frac{1}{x^{2}} > 0$ ，则下列式子中一定成立的是（）

A、 $f (\frac{1}{3}) < 3$ B、 $f (\frac{1}{π}) > π$ C、 $f (\log_{2} e) > \ln 2$ D、 $f (\ln 3) < \log_{3} e$

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17、某市为丰富市民的业余生活，春节前举办“迎春杯”歌手大奖赛，比赛分青年组、中年组和老年组.每组由6位专业评委对演唱评分（满分10分），老年组的甲和乙参加比赛得分的折线统计图如下图所示，则下列结论正确的是（）

A、甲得分的中位数大于乙得分的中位数 B、甲得分的极差大于乙得分的极差 C、甲得分的上四分位数小于乙得分的上四分位数 D、甲得分的方差大于乙得分的方差

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18、定义：在空间直角坐标系中 $P (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ 、 $Q (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ 两点的“网线距离”为 $d (P, Q) = |a_{1} - b_{1}| + |a_{2} - b_{2}| + |a_{3} - b_{3}|$ .设 $A (0, 0, 0)$ 、 $B (4, 4, 4)$ 、 $P (x, y, z)$ ，其中 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 均为整数，若满足 $d (A, P) + d (P, B) = d (A, B)$ 的点 $P$ 的个数为 $n$ ，则 $n$ 的值为（）

A、 $27$ B、 $64$ C、 $125$ D、 $216$

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19、已知函数 $f (x) = x^{2} + 2 a ln x$ ，若函数 $f (x)$ 在区间 $(1, 2)$ 的图象上存在两条斜率之积为 $- 4$ 的切线，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- 2, 1)$ B、 $(- 2, - 1)$ C、 $(- 2, 0)$ D、 $(- 3, - 2)$

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20、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $A = \frac{π}{3}$ ， $a = 4$ ， BC边上的高 $A D = \sqrt{3}$ ，则 $b + c =$ （）

A、 $2 \sqrt{10}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、8 D、 $4 \sqrt{2}$

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