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相关试卷

1、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，直线 $y = x$ 与 $C$ 交于点 $M$ ， $N$ ，若四边形 $M F_{1} N F_{2}$ 的面积为 $2 c^{2}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3} - 3}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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2、由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线 $\frac{y^{2}}{{\dot{a}}^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0, b > 0)$ 下支的部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为 $\sqrt{3}$ ，焦距为 $\frac{14}{3}$ ，则该双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{3 \sqrt{3}}{13} x$ B、 $y = \pm \frac{3 \sqrt{66}}{22} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{66}}{9} x$ D、 $y = \pm \frac{13 \sqrt{3}}{9} x$

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3、已知两点 $A (1, 3)$ ， $B (- 2, 5)$ ，直线 $l$ 过点 $P (- 1, 0)$ 且与线段 $A B$ 有交点，则直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围为（）

A、 $\frac{3}{2} \leq k \leq 5$ B、 $k \geq 5$ 或 $k \leq \frac{3}{2}$ C、 $k \geq \frac{3}{2}$ 或 $k \leq - 5$ D、 $- 5 \leq k \leq \frac{3}{2}$

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4、直线 $x + (2 a - 2) y - 1 = 0$ 与 $(a + 1) x - (a - 1) y - 2 = 0$ 平行，则 $a$ 的值为（）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $- \frac{3}{2}$ 或1 C、1 D、 $- 2$ 或1

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5、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，则 $\vec{A B} + \vec{B_{1} D_{1}} + \vec{D C} =$ （）

A、 $\vec{A C_{1}}$ B、 $\vec{C A}$ C、 $\vec{A D_{1}}$ D、 $\vec{A C}$

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6、已知动点 $P$ 到 $A (3, 0)$ ， $B (- 3, 0)$ 两点的距离和为8，则点 $P$ 的轨迹为（）

A、线段 B、圆 C、双曲线 D、椭圆

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7、某班有48名学生，其中男生28人，女生20人.按性别进行分层，用分层随机抽样的方法，从该班学生中抽取12人参加跳绳比赛，如果样本按比例分配，则应抽取的男生人数为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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8、如图1，在长方形 $A B C D$ 中， $A B = 2, A D = 1, M$ 为 $D C$ 的中点，将 $△ A D M$ 沿 $A M$ 折起，得到四棱锥 $D_{1} - A B C M$ （如图2），使得平面 $A M D_{1} ⊥$ 平面 $A B C M$ .

(1)、求证： $A D_{1} ⊥ B M$ ；

(2)、求直线 $C D_{1}$ 与平面 $B M D_{1}$ 所成角的正弦值；

(3)、若 $E$ 是线段 $D_{1} B$ 上的一动点，当点 $E$ 在何位置时，二面角 $E - A M - D_{1}$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ？

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9、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} + a x - 6 y + 12 = 0$ 关于直线 $x - y + 1 = 0$ 对称.

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $3 x + y - 8 = 0$ 与圆 $C$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，求 $|A B|$ ；

(3)、在（2）的前提下，若点 $Q$ 是圆 ${(x + 4)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 10$ 上的点，求 $△ Q A B$ 面积的最大值.

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10、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a sin B - b cos (A - \frac{π}{6}) = 0.$

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $D$ 为边 $B C$ 上一点(不包含端点)，且满足 $∠ A D B = 2 ∠ A C B$ ，
(i) 若 $A D ⊥ B C$ ， $c = 3$ 求 $C D$ 的长；
(ii) 求 $\frac{B D}{C D}$ 的取值范围.

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11、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n} = 3 a_{n - 1} + 1 (n \geq 2)$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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12、如图，是一个由正整数组成的三角形数阵，该三角形数阵的“两腰”分别是一个公差为 $1$ 的等差数列和一个公差为 $2$ 的等差数列，每一行是一个公差为 $1$ 的等差数列.我们把这个数阵的所有数从上到下，从左到右依次构成一个数列 $\{a_{n}\}$ ： $1$ ， $2$ ， $3$ ， $3$ ， $4$ ， $5$ ， $4$ ， $5$ ， $6$ ， $7$ ， $\dots$ ，则 $a_{50} =$ .

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13、若双曲线 $C$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 有相同的渐近线，且双曲线 $C$ 的右焦点在直线 $y = x - 10$ 上，则双曲线 $C$ 的标准方程为．

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14、某学校围棋社团组织高一与高二的同学比赛，双方各挑选业余一段、业余二段、业余三段三位选手，段位越高水平越高．已知高二每个段位的选手都比高一相应段位的选手强一些.比赛胜负仅由段位决定，段位高者获胜；若段位相同，则高二选手获胜.比赛共三局，每局双方各派一名选手出场，且每名选手只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利．在比赛之前，双方都不知道对方选手的出场顺序，则第一局比赛高一获胜的概率为，在一场比赛中高二获胜的概率为．

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15、如图，直线 $l_{1}, l_{2}, l_{3}$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ ，倾斜角分别为 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $k_{1} < k_{3} < k_{2}$ B、 $k_{3} < k_{2} < k_{1}$ C、 $α_{1} < α_{3} < α_{2}$ D、 $α_{3} < α_{2} < α_{1}$

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16、已知向量 $\vec{a} = (x, - 2), \vec{b} = (1, 2)$ ，则下列结论正确的有（）

A、若 $\vec{a} - \vec{b} = (5, - 4)$ ，则 $x = 6$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x = 4$ C、若 $|\vec{a}| = \sqrt{13}$ ，则 $x = \pm 3$ D、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x = 1$

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17、已知直线 $l : y = k (x - 1)$ ， “ $k = \frac{2}{3}$ 或 $k = - \frac{2}{3}$ ”是“直线 $l$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 有且仅有一个公共点”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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18、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ A B C = \frac{π}{6}$ ， $A C = \sqrt{3}$ ， $P A = 2$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 外接球的体积为（）

A、 $\frac{8 \sqrt{2}}{3} π$ B、 $4 \sqrt{3} π$ C、 $\frac{20}{3} \sqrt{5} π$ D、 $\frac{32}{3} π$

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19、在平面直角坐标系中，由点 $P (- 2, 5)$ 发出的一条光线射向 $y$ 轴上的点 $Q (0, 1)$ 后，经 $y$ 轴反射，则反射光线所在的直线方程为（）

A、 $2 x - y + 1 = 0$ B、 $2 x + y - 1 = 0$ C、 $x - 2 y + 2 = 0$ D、 $x + 2 y - 2 = 0$

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20、已知样本数据为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ ，该样本平均数为2025，方差为1，现加入一个数2025，得到新样本的平均数为 $\bar{x}$ ，方差为 $s^{2}$ ，则（）

A、 $\bar{x} > 2025, s^{2} > 1$ B、 $\bar{x} = 2025, s^{2} < 1$ C、 $\bar{x} < 2025, s^{2} < 1$ D、 $\bar{x} = 2025, s^{2} > 1$

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