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相关试卷

1、已知集合 $A = \{- 3, - 2, - 1, 0, 1\}, B = \{x ∣ x^{2} \leq 5\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, - 1, 0\}$ B、 $\{- 2, - 1\}$ C、 $\{- 2, - 1, 1\}$ D、 $\{- 2, - 1, 0, 1\}$

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2、记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $k$ 项的最小值为 $b_{k}$ ，称数列 $\{b_{n}\}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的“ $M$ 数列”.

(1)、若 $a_{n} = (n - 4) \cdot 3^{n}$ ，求由数列 $\{a_{n}\}$ 的“ $M$ 数列” $\{b_{n}\}$ 的所有项组成的集合；

(2)、若数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ 都只有4项， $\{b_{n}\}$ 是 $\{a_{n}\}$ 的“ $M$ 数列”，满足 $a_{k} \in \{1, 2, 3, 4\} (k = 1, 2, 3, 4)$ ，且存在 $i \in \{1, 2, 3, 4\}$ ，使得 $b_{i} = 1$ ，求符合条件的数列 $\{b_{n}\}$ 的个数；

(3)、若 $a_{n} = n cos \frac{(n + 1) π}{2}, \{a_{n}\}$ 的“ $M$ 数列”为 $\{b_{n}\}$ ，记 $S_{n} = |b_{1}| + |b_{2}| + \dots |b_{n}|$ ，从 $S_{1}, S_{2}$ ，
$S_{3}, \dots, S_{4 n} (n \geq 3)$ 中任取3个，记其中能被2整除且不能被4整除的个数为 $X$ ，求 $E (X)$ .

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3、如图，已知 $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ，平面 $P A B ⊥$ 平面 $P B C$ .

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若 $A B = B C = 2$ ，且平面 $P A C$ 与平面 $P B C$ 的夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ ，求 $P A$ 的长.

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4、已知函数 $f (x) = \ln x + \frac{a}{x} - a$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 有极小值，且 $f (x)$ 的极小值小于 $1 - a^{2}$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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5、已知 $△ A B C$ 内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, sin 2 C = \frac{1}{2} sin C$ .

(1)、求 $sin C$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{15}}{2}$ ，且 $a + b = \frac{2 \sqrt{6}}{3} c$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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6、甲，乙，丙，丁4人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人，经过两次传球后，球在乙手中的概率为；经过 $n$ 次传球后，球在甲手中的概率 $P_{n}$ 为（用含有 $n$ 的式子表示）.

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7、已知 $sin (α - β) = - \frac{\sqrt{2}}{10} ， \frac{tan α}{tan β} = \frac{3}{4}$ ，则 $sin (α + β) =$ .

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8、已知 $M$ 是抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 上的一个点， $F$ 是抛物线 $C$ 的焦点， $O$ 为坐标原点，若 $|M F| = 2$ ，则 $|M O| =$ .

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9、已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域为 $R$ ，若 $f (x)$ 为奇函数， $f (2) = - f (1) \neq 0$ ，且对任意 $x, y \in R, f (x + y) = f (x) f^{'} (y) + f^{'} (x) f (y)$ ，则下列正确的有（）

A、 $f^{'} (1) = - \frac{1}{2}$ B、 $f (9) = 0$ C、 $\sum_{k = 1}^{2024} f (k) = 1$ D、 $\sum_{k = 1}^{2024} f^{'} (k) = - 1$

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10、某同学投掷一枚骰子（一种各个面上分别标有 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ 个点的正方体玩具）5次，并将每次向上的点数记录下来，计算出平均数和方差.若这5个点数的平均数为2，方差小于4，则关于这5个点数，下列正确的有（）

A、极差小于4 B、一定不会出现6 C、众数可能为1 D、中位数可能为3

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11、已知圆台的上，下底面半径分别为1，3，母线长为4，则下列正确的有（）

A、圆台的侧面积为 $16 π$ B、圆台的体积为 $26 \sqrt{3} π$ C、母线与底面所成角为 $60^{\circ}$ D、存在相互垂直的母线

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12、设函数 $f (x) = (e^{x} - a) ln (x - 2 b)$ ，若 $f (x) \geq 0$ ，则 $a b$ 的最小值为（）

A、 $- \frac{1}{e}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、0 D、 $e$

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13、已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{2}$ 作 $C$ 的两条渐近线的平行线分别交两条渐近线于 $A$ 、 $B$ 两点.若 $△ A F_{1} B$ 为等腰直角三角形，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $2$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $3$ D、 $\sqrt{10}$

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14、方程 $sin (2 x + \frac{π}{6}) - cos x = 0$ 在 $x \in [0, 4 π]$ 的解的个数为（）

A、10 B、9 C、8 D、4

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15、如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动4次，则质点位于原点左侧的概率为（）

A、 $\frac{5}{16}$ B、 $\frac{1}{16}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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16、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{3} = S_{10}, a_{3} + a_{10} = 2$ ，则 $\{a_{n}\}$ 的公差为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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17、在复平面内，点 $Z (3, - 4)$ 对应的复数为 $z$ ，则 $|\frac{1 + 2 i}{z}| =$ （）

A、 $\frac{1}{25}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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18、已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{3}, 1), \vec{b} = (0, m)$ ，若 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $m =$ （）

A、 $- 2$ B、2 C、4 D、 $- 4$

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19、已知集合 $A = \{- 1, 0, 2, 3, 4\}$ ， $B = \{x |2^{x} < 9\}$ ，则 $∁_{A} (A \cap B) =$ （）

A、 $\{- 1\}$ B、 $\{4\}$ C、 $\{- 1, 0, 2, 3\}$ D、 $\{0, 2, 3, 4\}$

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20、已知在 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上任意一点 $M (x_{0}, y_{0})$ 处的切线 $l_{0}$ 为 $\frac{x x_{0}}{a^{2}} + \frac{y y_{0}}{b^{2}} = 1$ ，若过右焦点 $F$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 于 $P, Q$ 两点，已知在点 $P, Q$ 处切线相交于 $G$ .
（1）求 $G$ 点的轨迹方程；
（2）①若过点 $F$ 且与直线 $l$ 垂直的直线（斜率存在且不为零）交椭圆 $C$ 于 $E, H$ 两点，证明 $\frac{1}{| P Q |} + \frac{1}{| E H |}$ 为定值.
②四边形 $E Q H P$ 的面积是否有最小值，若有请求出最小值；若没有请说明理由.

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