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相关试卷

1、若圆的一条直径的两个端点坐标是 $A (4, 9), B (6, 3)$ ，则圆的方程为（）

A、 ${(x - 5)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = 10$ B、 ${(x - 6)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 10$ C、 ${(x - 6)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 40$ D、 ${(x - 5)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = 40$

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2、若复数 $z$ 满足 $(1 - z) i = 1 + z$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的虚部是（）

A、-1 B、1 C、 $- i$ D、 $i$

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3、记 $\prod_{i = 1}^{n} a_{i} = a_{1} a_{2} \dots a_{n}$ ．已知函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的定义域都为 $D$ ，若存在 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{m} \in D$ ，使得 $[f (x) - g (x)] \cdot \prod_{i = 1}^{m} (x - x_{i}) \leq 0$ ，当且仅当 $x = x_{i}, i = 1, 2, \dots, m$ 时等号成立，则称 $f (x)$ 和 $g (x)$ 在 $D$ 上“ $m$ 次缠绕”.

(1)、判断 $f (x) = \sin x$ 和 $g (x) = \cos x$ 在 $(0, 2 π)$ 上“几次缠绕”，并说明理由；

(2)、设 $f (x) = \ln x + \frac{a}{x^{2}}$ ，若 $f (x)$ 和 $f (\frac{1}{x})$ 在 $(0, + \infty)$ 上“3次缠绕”，求 $a$ 的取值范围；

(3)、记所有定义在区间 $(a, b)$ 上的函数组成集合 $A$ ，证明：给定 $m \in N^{*}$ ，对任意 $F (x) \in A$ ，都存在 $f (x), g (x) \in A$ ，使得 $F (x) = f (x) + g (x)$ ，且 $f (x)$ 和 $g (x)$ 在 $(a, b)$ 上“ $m$ 次缠绕”.

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4、“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼•闵可夫斯基提出来的．在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，如图，对于一个具有正南､正北､正东和正西方向规则布局的城镇街道，从一点到另一点的距离等于在南北方向上行进的距离加上在东西方向上行进的距离，这种距离即“曼哈顿距离”，也叫“出租车距离”．对于平面直角坐标系中的点 $P_{1} (x_{1}, y_{1})$ 和 $P_{2} (x_{2}, y_{2})$ ，两点间的“曼哈顿距离” $d (P_{1}, P_{2}) = |x_{1} - x_{2}| + |y_{1} - y_{2}|$ ．

(1)、如图，若 $O$ 为坐标原点， $A, B$ 两点坐标分别为 $(2, 3)$ 和 $(4, 1)$ ，求 $d (O, A), d (O, B), d (A, B)$ ；

(2)、若点 $P$ 满足 $d (O, P) = 5$ ，试在图中画出点 $P$ 的轨迹，并求该轨迹所围成图形的面积；

(3)、已知函数 $f (x) = {(x + 2)}^{2}, x \in [- 4, 0], M$ 是 $f (x)$ 图象上一个动点，求 $d (O, M)$ 的最值，并求出此时点 $M$ 的坐标．

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5、已知二次函数 $f (x)$ 满足 $f (x) > 4 - 7 x$ 的解集为 $(1, 4)$ ，且 $f (0) = 0$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $x > 0$ ，求 $g (x) = \frac{f (x) - 1}{x}$ 的最大值；

(3)、当 $x \in [t, t + 2] (t \in R)$ 时，求函数 $f (x)$ 的最大值 $h (t)$ （用 $t$ 表示）．

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6、2025年被称为“智能体元年”，基于 $AI$ 大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革．某科技 $AI$ 研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分 $P (t)$ （满分100分）和有效训练时长 $t$ （单位：百 $GPU$ 小时）的关系分为两个阶段．通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系： $P (t) = \{\begin{cases} - 0.4 t^{2} + 8 t + c, 0 \leq t \leq 10 \\ - \frac{k}{t} - 1.8 t + 170, 10 < t \leq 60 \end{cases}$ .已知初始综合性能评分 $P (0) = 40$ ，且在 $t = 10$ 处函数图象是连续不断的．

(1)、求常数 $c$ 和 $k$ 的值；

(2)、若“天穹”模型用于科研辅助场景时，要求综合性能评分不低于92分，求满足条件的训练时长范围；

(3)、已知大模型的标准化训练效率定义为 $E (t) = \frac{P (t) - 50}{t}$ ， $t > 0$ ，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？

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7、已知集合 $A = \{x ∣ 3 - a \leq x \leq 3 + a\}, B = \{x ∣ x^{2} - 6 x + 5 \geq 0\}$ ．

(1)、当 $a = 3$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、若集合 $C = ∁_{R} B$ ，且 $A \cap C = A$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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8、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$ ．

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、用定义法证明函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增．

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9、若 $f (x)$ 是定义在 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ 上的奇函数，且 $f (2) = 2$ ．若对任意的两个不相等的正数 $x_{1}, x_{2}$ ，都有 $\frac{x_{2} f (x_{1}) - x_{1} f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ ，则 $f (x) - x < 0$ 的解集为．

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10、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} - 1, x > 0 \\ \frac{1}{2} g (x) - x, x < 0 \end{array}$ ，若 $f (x)$ 是奇函数，则 $g (- 2) =$ ．

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11、函数 $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}} + \frac{1}{x}$ 的定义域是．

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12、对于函数 $f (x) = x + \frac{a}{x} (a > 0)$ ，下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 为奇函数 B、设 $h (x) = f (x) + f (\frac{1}{x}), x > 0$ ，则 $h (x)$ 在 $(0, \sqrt{a + 1})$ 上单调递减，在 $(\sqrt{a + 1}, + \infty)$ 上单调递增 C、若方程 $f (x) - a = 0$ 在定义域内恰有两个不同的根，则实数 $a$ 的取值范围为 $(4, + \infty)$ D、若 $f (x) = x + \frac{a}{x} (a > 0)$ 在区间 $[2, 4]$ 上的最大值比最小值大1，则实数 $a$ 的取值不唯一

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13、已知 $f (x)$ 是奇函数，定义域为 $\{x ∣ x \neq 0\}$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) = \frac{x - 2}{2 x + 1}$ ．则下列说法正确的是（）

A、 $f (- 3) = - \frac{1}{7}$ B、当 $x < 0$ 时， $f (x) = \frac{- x - 2}{2 x - 1}$ C、当 $x \in (- \infty, - 1]$ 时， $f (x)$ 单调递减 D、 $- 2 < f (x) < 2$

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14、已知函数 $f (x) = x^{α} (α \in R)$ ，则（）

A、当 $α = 2$ 时， $f (2) > f (- 3)$ B、当 $α = - 1$ 时， $f (x)$ 的定义域为 $R$ C、当 $α = 3$ 时， $f (x)$ 为增函数 D、当 $α = \frac{1}{2}$ 时， $f (x^{2})$ 为偶函数

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15、已知 $f (x), g (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数，其中 $f (x)$ 是奇函数， $g (x)$ 是偶函数，且 $f (x) + g (x) = a x^{2} + x + 2$ ，若 $\frac{g (x)}{x} \geq 1$ 在区间 $[1, 3]$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1, + \infty)$ B、 $[\frac{1}{9}, + \infty)$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $[\frac{1}{8}, + \infty)$

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16、定义： $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[1.2]= 1,[- 2.1]= - 3,[1] = 1$ ，则不等式 ${[2 x]}^{2} - 5 [2 x] + 6 \leq 0$ 的解集为（）

A、 $[1, 2.5)$ B、 $[1.5, 2.5)$ C、 $(1, 2)$ D、 $[1, 2)$

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17、函数 $f (x)$ 的部分图象如图所示，则 $f (x)$ 的解析式可能是（）

A、 $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{|x| - 1}$ B、 $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ C、 $f (x) = \frac{|x^{2} - 1|}{|x| - 1}$ D、 $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{|x - 1|}$

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18、若不等式 $x + \frac{3}{x} > 8 k$ 对一切 $x \in (0, + \infty)$ 都成立，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{\sqrt{3}}{4}, + \infty)$ B、 $(\frac{\sqrt{6}}{2}, + \infty)$ C、 $(- \infty, \frac{\sqrt{3}}{4})$ D、 $(- \infty, \frac{\sqrt{6}}{2})$

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19、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \sqrt{1 - x}, x < 0, \\ x^{2}, x \geq 0, \end{array}$ 则使得 $f (a) = 1$ 的 $a$ 的值为（）

A、0或1或-1 B、1 C、0 D、-1

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20、“ $a > 1$ ”是“函数 $f (x) = (a + 2) x$ 在 $R$ 上单调递增”的（）

A、充要条件 B、必要不充分条件 C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件

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