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相关试卷

1、若 $2 + (a + 1) i (a \in R)$ 为实数， $(b - 2) + \sqrt{3} i (b \in R)$ 是纯虚数，则复数 $a + b i$ 为（）

A、 $2 - i$ B、 $2 + i$ C、 $1 + 2 i$ D、 $- 1 + 2 i$

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2、已知平面向量 $\vec{a} = (1, x)$ ， $\vec{b} = (- 2, 1)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、0 D、 $- \frac{1}{2}$

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3、甲同学与乙同学进行如下游戏：在 $m \times m$ 个白色小方格中，甲同学将从上往下数的第i行，从左往右数的第j列涂黑，而乙同学从除黑色方格以外的任意一格出发，只能往前、后、左、右四个方向移动，且不能经过黑色方格.若乙可以不重复的一次性经过所有白色方格，则乙获胜，否则甲获胜，记甲涂黑的方格为 $(i, j)$ .

(1)、若 $m = 3$ ，甲同学随机涂黑一个方格，求甲获胜的概率.

(2)、若甲将 $(1, 2)$ 涂黑，求证：当m为奇数时，甲一定获胜.

(3)、若m为奇数，乙从 $(1, 1)$ 出发，甲将 $(i, j)$ 涂黑，其中i，j不同时为1，求证：甲获胜的概率 $P = \frac{1}{2}$ .

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4、已知函数 $f (x) = e^{a x} - a^{e x} - a x (a > 0, x > 0)$

(1)、证明： $f (1) + a \geq 0$ .

(2)、若 $f (x)$ 有且只有一个零点，求a的范围.

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5、如图，正三棱锥 $P - A B C$ 的各棱长均为 $2$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $P A$ ， $P B$ ， $P C$ 的中点，连接 $B D$ ， $C D$ ，点 $O$ 为底面 $A B C$ 内 $B C$ 边上的高所在直线上的动点， $M$ 为 $△ A B C$ 的中心（图中未画出），

(1)、若平面 $B C D \cap$ 平面 $D E F =$ 直线 $l$ ，证明： $l //$ 平面 $A B C$

(2)、若 $\vec{M O} = λ \vec{M A}$ ，平面 $A B C$ 与平面 $P O B$ 的夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，求 $λ$ .

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6、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ， $P (1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ， $Q (1, - \frac{\sqrt{3}}{2})$ ， M为C上异于P，Q一点，O为坐标原点.

(1)、当点P到直线 $Q M$ 的距离为1时，求直线 $Q M$ 的斜率；

(2)、若直线 $O P$ 交 $M Q$ 于点N， $△ P N M$ ， $△ P N Q$ 的面积分别为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ，若 $13 S_{1} = 8 S_{2}$ ，求直线 $Q M$ 的斜率.

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7、已知在 $△ A B C$ 中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且 $\sqrt{3} b \cos \frac{B + C}{2} - a \sin B = 0$ ， $a = 1$ ， D为 $△ A B C$ 外一点.

(1)、求角A；

(2)、若A，B，C，D四点共圆，求四边形 $A B C D$ 面积的最大值.

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8、若函数 $f (x) = \frac{\sin x + \sin (m + n)}{\sin (x + m)}$ ， $g (x) = \ln f (x)$ ，若 $n = 0$ ， $f (x)$ 为偶函数，则 $m =$ .若 $g (x)$ 为奇函数，则 $n =$ .

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9、已知椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ， $F$ 为 $Γ$ 的右焦点， $P$ 为第一象限内椭圆上的一点，过点 $P$ 作 $Γ$ 的切线，与 $x$ 、 $y$ 轴分别交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $\vec{F A} \cdot \vec{F B} = - 3$ ，则点 $P$ 的坐标为.

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10、若随机变量 $X \sim N (50, σ^{2})$ ，且 $P (X \leq 40) = 0.3$ ，则 $P (X \leq 60) =$ .

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11、 $P_{1} (x_{1}, y_{1}) (x_{1} > 0)$ 为抛物线 $C : x^{2} = 8 y$ 上一点，按照如下方式构造 $P_{n}$ 与 $P_{n - 1} (n = 1, 3, 5, 7, \dots)$ ：过点 $P_{n - 2}$ 作 $C$ 的切线交 $x$ 轴于 $Q_{n - 2}$ ，取 $P_{n - 2} Q_{n - 2}$ 中点为 $P_{n - 1}$ ，过点 $P_{n - 1}$ 作 $C$ 的切线，切点为 $P_{n}$ ，与 $x$ 轴交于点 $Q_{n}$ ， $P_{n}$ 与 $P_{n - 2}$ 为两个不同的点， $F$ 为抛物线的焦点，若 $P_{n} (x_{n}, y_{n})$ ，则（）

A、数列 $\{x_{n}\}$ 为等比数列 B、数列 $\{y_{n}\}$ 为等比数列 C、 $\vec{P_{2 n} P_{2 n - 1}} \cdot \vec{Q_{2 n - 1} F} = 0$ D、 $\sum_{i = 1}^{n} \frac{x_{i}}{x_{1}} \geq (2 + \sqrt{2}) [1 - {(\frac{1}{2})}^{\frac{n}{2}}]$

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12、已知函数 $f (x) = \ln (\sin x + 1) + x$ ，下列说法正确的是（）

A、当 $x > 0$ 时， $f (x) < 2 x$ B、 $f^{'} (x)$ 是周期函数，且最小正周期为 $π$ C、不存在直线 $y = m (m \in R)$ 与曲线 $f (x)$ 相切 D、若 $f (α) = - f (β)$ ， $α \in (- \frac{π}{2}, 0)$ ， $β \in (0, \frac{π}{2})$ ，则 $α + β > 0$

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13、若 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 均为复数，下列说法正确的是（）

A、 $|z_{1}| |z_{2}| = |z_{1} z_{2}|$ B、若 $|z_{1} + 1| = |z_{2} + 1|$ ，则 $z_{1} = z_{2}$ C、若 $z_{1} + {\bar{z}}_{1} = 2 z_{2}$ ， $z_{2} \in R$ D、若 $z_{1} = 1 + i$ ， $z_{2} = i^{2024} (z_{1} + n)$ 在复平面内对应的点在第一象限，则实数n的范围是 $(- \infty, - 1)$

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14、若椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，直线l： $y = - x + 1$ 与椭圆交于A，B两点，若点P为线段 $A B$ 上的动点，则 $S_{△ A F_{1} P} + S_{△ B F_{2} P}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{3} + 1}{5}$ B、 $\frac{4 \sqrt{3} - 1}{5}$ C、 $\frac{4 (\sqrt{3} - 1)}{5}$ D、 $\frac{4 (\sqrt{3} + 1)}{5}$

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15、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，若对任意正整数 $p$ ， $q$ ，若 $p > q$ 时，恒有 $a_{p + q} + a_{p - q} = 2 a_{p} - a_{q}$ 成立，则 $S_{7} =$ （）

A、 $32$ B、 $35$ C、 $38$ D、 $40$

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16、已知 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 是直三棱柱，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足 $b \cos C + C \cos B = a \sin A$ ， $a = \sqrt{2 b c} = 1$ ，若三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 有内切球，则 $A A_{1} =$ （）

A、 $2 \sqrt{2} - 1$ B、 $\sqrt{2} - 1$ C、 $2 \sqrt{2} + 1$ D、 $\sqrt{2} + 1$

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17、从两名男同学和四名女同学中随机选出三人参加数学竞赛，则恰好选出一名男同学和两名女同学的概率为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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18、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |\log_{2} x|, 0 < x < 4 \\ \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 1, x \geq 4 \end{array}$ 与直线 $y = a$ 恰有三个交点，则a的取值范围是（）

A、 $[1, 2]$ B、 $(1, 2)$ C、 $(1, 2]$ D、 $[1, 2)$

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19、若 $cos 10 ° = a$ ， $sin 10 ° = b$ ，则 $\frac{cos 80 ° sin 10 °}{sin 20 °} =$ （）

A、 $\frac{a}{2 b}$ B、 $\frac{b}{2 a}$ C、 $\frac{a}{b}$ D、 $\frac{b}{a}$

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20、已知集合 $A = \{x |y = \frac{x}{\sqrt{2 - x}} + \ln x\}$ ，集合 $B = \{x |y = x^{2} + 2 x - 3 < 0\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(- 3, 2)$ B、 $(- 2, 3)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(- 3, - 2)$

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