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相关试卷

1、如图所示，棱长为3的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，P为线段 $A_{1} B$ 上的动点(不含端点)，则下列结论正确的是（）

A、 $D_{1} P ⊥ A B_{1}$ B、 $D_{1} P$ 与 $A C$ 所成的角可能是 $\frac{π}{6}$ C、 $\vec{A P} \cdot \vec{D C_{1}}$ 是定值 D、当 $A_{1} P = 2 P B$ 时，点 $C_{1}$ 到平面 $D_{1} A P$ 的距离为2

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2、已知空间中三个向量 $\vec{a} = (1, 2, 0)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2, 1)$ ， $\vec{c} = (- 1, - 2, 1)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{a}$ 与 $\vec{c}$ 是共线向量 B、与 $\vec{a}$ 同向的单位向量是 $(\frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2 \sqrt{5}}{5}, 0)$ C、 $\vec{c}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量是 $(- 1, - 2, 0)$ D、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $90 °$

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3、若函数 $f (x) = {(\frac{1}{3})}^{|x|} + m - 1$ 至少有一个零点，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $m < 1$ B、 $m \geq 1$ C、 $0 \leq m < 1$ D、 $0 \leq m \leq 1$

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4、意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”．记斐波那契数列为 $\{a_{n}\}$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $a_{9} = 34$ B、 $S_{7} = 32$ C、 $a_{1} + a_{2} + a_{4} + a_{6} + \dots + a_{2024} = a_{2025}$ D、 $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + \dots + a_{2023}^{2} = a_{2023} a_{2024}$

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5、过曲线 $y = f (x)$ 上一点 $P$ 作其切线，若恰有两条，则称 $P$ 为 $f (x)$ 的“ $A$ 类点”；过曲线 $y = f (x)$ 外一点 $Q$ 作其切线，若恰有三条，则称 $Q$ 为 $f (x)$ 的“ $B$ 类点”；若点 $R$ 为 $f (x)$ 的“ $A$ 类点”或“ $B$ 类点”，且过 $R$ 存在两条相互垂直的切线，则称 $R$ 为 $f (x)$ 的“ $C$ 类点”．

(1)、设 $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ ，判断点 $P (1, 1)$ 是否为 $f (x)$ 的“ $A$ 类点”，并说明理由；

(2)、设 $f (x) = x^{3} - m x$ ，若点 $Q (2, 0)$ 为 $f (x)$ 的“ $B$ 类点”，且过点 $Q$ 的三条切线的切点横坐标可构成等差数列，求实数 $m$ 的值；

(3)、设 $f (x) = \frac{x + 1}{e^{x}}$ ，证明： $y$ 轴上不存在 $f (x)$ 的“ $C$ 类点”．

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6、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过坐标原点的直线交椭圆于A、 $B$ 两点，点A在第一象限．

(1)、若 $|O A| = \sqrt{6}$ ，求点A的坐标；

(2)、求 $|\vec{A F_{1}} + 3 \vec{A F_{2}}|$ 的取值范围；

(3)、若 $A E ⊥ x$ 轴，垂足为 $E$ ，连结 $B E$ 并延长交椭圆于点 $C$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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7、申辉中学为期两周的高一、高二年级校园篮球赛告一段落．高一小 $A$ 、高二小 $B$ 分别荣获了高一年级和高二年级比赛的年级MVP（最有价值球员）．以下是他们在各自8场比赛的二分球和三分球出手次数及其命中率．

二分球出手
二分球命中率
三分球出手
三分球命中率
小 $A$
100次
$80 %$
100次
$40 %$
小 $B$
190次
$70 %$
10次
$30 %$
现以两人的总投篮命中率（二分球+三分球）较高者评为校 $MVP$ （总投篮命中率 $=$ 总命中次数÷总出手次数）

(1)、小 $C$ 认为，目测小 $A$ 的二分球命中率和三分球命中率均高于小 $B$ ，此次必定能评为校 $MVP$ ，试通过计算判断小 $C$ 的想法是否准确？

(2)、小 $D$ 是游戏爱好者，设置了一款由游戏人物小 $a$ 、小 $b$ 轮流投篮对战游戏，游戏规则如下：①游戏中小 $a$ 的命中率始终为0.4，小 $b$ 的命中率始终为0.3，②游戏中投篮总次数最多为 $k (3 \leq k \leq 20, k \in Z)$ 次，且同一个游戏人物不允许连续技篮．③游戏中若投篮命中，则游戏结束，投中者获得胜利；若直至第 $k$ 次投篮都没有命中，则规定第二次投篮者获胜．若每次游戏对战前必须设置“第一次投篮人物”和“ $k$ ”的值，请解答以下两个问题．
（ⅰ）若小 $a$ 第一次投篮，请证明小 $a$ 获胜概率大；
（ⅱ）若小 $b$ 第一次投篮，试问谁的获胜概率大？并说明理由．

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8、如图，已知 $A B$ 为圆柱 $O O_{1}$ 底面圆 $O$ 的直径， $O A = 2$ ，母线 $A A_{1}$ 长为3，点 $P$ 为底面圆 $O$ 的圆周上一点．

(1)、若 $∠ B O P = 90 °$ ，求三棱锥 $A - P B A_{1}$ 的体积；

(2)、若 $∠ B O P = 60 °$ ，求异面直线 $A_{1} B$ 与 $A P$ 所成的角的余弦值．

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9、已知函数 $y = f (x)$ 的表达式为 $f (x) = \sin ω x$ ， $ω > 0$ ．

(1)、若函数 $y = f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ ，求 $ω$ 的值及 $y = f (x)$ 的单调增区间；

(2)、若 $ω = 2$ ，设函数 $y = g (x)$ 的表达式为 $g (x) = f (x) + \sqrt{3} \cos 2 x$ ，求当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时， $y = g (x)$ 的值域．

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10、设函数 $y = F (x)$ ， $y = G (x)$ 的定义域均为 $R$ ，值域分别为 $A$ 、 $B$ ，且 $A \cap B = \emptyset$ ．若集合S满足以下两个条件：（1） $A \cup B \subseteq S$ ；（2） $∁_{S} (A \cup B)$ 是有限集，则称 $y = F (x)$ 和 $y = G (x)$ 是S-互补函数．给出以下两个命题：①存在函数 $y = f (x)$ ，使得 $y = 2^{f (x)}$ 和 $y = {log}_{2} f (x)$ 是 $[0, 16]$ -互补函数；②存在函数 $y = g (x)$ ，使得 $y = \sin g (x)$ 和 $y = \tan g (x)$ 是 $[0, + \infty)$ -互补函数．则（）

A、①②都是真命题 B、①是真命题，②是假命题 C、①是假命题，②是真命题 D、①②都是假命题

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11、对一组数据3，3，3，1，1，5，5，2，4，若任意去掉其中一个数据，剩余数据的统计量一定会发生变化的为（）

A、中位数 B、众数 C、平均数 D、方差

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12、设 $m$ 、 $n$ 为两条直线， $α$ 、 $β$ 为两个平面，且 $α \cap β = n$ ．下述四个命题中为假命题的是（）

A、若 $m ⊥ α$ ，则 $m ⊥ n$ B、若 $m / / α$ ，则 $m / / n$ C、若 $m / / α$ 且 $m / / β$ ，则 $m / / n$ D、若 $m / / n$ ，则 $m / / α$ 或 $m / / β$

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13、若实数 $a$ 、 $b$ 满足 $a^{2} > b^{2}$ ，下列不等式中恒成立的是（）

A、 $a > b$ B、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、 $a^{2} + b^{2} > 2 a b$ D、 $a > |b|$

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14、已知在复数集中，等式 $x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} = (x - z_{1}) (x - z_{2}) (x - z_{3}) (x - z_{4})$ 对任意复数 $x$ 恒成立，复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ， $z_{3}$ ， $z_{4}$ 在复平面上对应的4个点为某个单位圆内接正方形的4个顶点， $\{a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}\} \subset \{n | 1 \leq n \leq 2024, n \in Z\}$ ，则满足条件的不同集合 $\{a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}\}$ 个数为．

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15、已知空间中三个单位向量 $\vec{O A_{1}}$ 、 $\vec{O A_{2}}$ 、 $\vec{O A_{3}}$ ， $\vec{O A_{1}} \cdot \vec{O A_{2}} = \vec{O A_{2}} \cdot \vec{O A_{3}} = \vec{O A_{3}} \cdot \vec{O A_{1}} = 0$ ， $P$ 为空间中一点，且满足 $|\vec{O P} \cdot \vec{O A_{1}}| = 1$ ， $|\vec{O P} \cdot \vec{O A_{2}}| = 2$ ， $|\vec{O P} \cdot \vec{O A_{3}}| = 3$ ，则点 $P$ 个数的最大值为．

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16、某地要建造一个市民休闲公园长方形 $A B C D$ ，如图，边 $A B = 2 km$ ，边 $A D = 1 km$ ，其中区域 $A D E$ 开挖成一个人工湖，其他区域为绿化风景区．经测算，人工湖在公园内的边界是一段圆弧，且 $A$ 、 $D$ 位于圆心 $O$ 的正北方向， $E$ 位于圆心 $O$ 的北偏东60°方向．拟定在圆弧 $P$ 处修建一座渔人码头，供游客湖中泛舟，并在公园的边 $D C$ 、 $C B$ 开设两个门 $M$ 、 $N$ ，修建步行道 $P M$ 、 $P N$ 通往渔人码头，且 $P M ⊥ C D$ 、 $P N ⊥ C B$ ，则步行道 $P M$ 、 $P N$ 长度之和的最小值是 $km$ ．（精确到0.001）

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17、已知双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，双曲线上的点 $P$ 在第一象限，且 $P F_{2}$ 与双曲线的一条渐近线平行，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为．

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18、已知函数 $y = f (x)$ 的表达式为 $f (x) = \{\begin{cases} {(\frac{1}{2})}^{x} - 3, x \leq 0 \\ x^{2}, x > 0 \end{cases}$ ，则不等式 $f (x) \leq 1$ 的解集为．

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19、若等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{7} + a_{8} + a_{9} = 0$ ， $a_{7} + a_{10} = 1$ ，则 $a_{1} =$ ．

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20、已知实数 $a$ 、 $b$ 满足 $a + 2 b = 1$ ，则 $3^{a} + 9^{b}$ 的最小值为．

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	二分球出手	二分球命中率	三分球出手	三分球命中率
小 $A$	100次	$80 %$	100次	$40 %$
小 $B$	190次	$70 %$	10次	$30 %$