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相关试卷

1、设抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p \geq 0)$ 的焦点为F，点M在C上， $|M F| = 5$ ，若以MF为直径的圆过点 $(0, 2)$ ，则抛物线C的方程为（）

A、 $y^{2} = 4 x$ B、 $y^{2} = 8 x$ C、 $y^{2} = 16 x$ D、 $y^{2} = 2 x$

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2、已知递减的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{5} = S_{7}$ ，则（）

A、 $a_{6} > 0$ B、 $S_{6}$ 最大 C、 $S_{13} > 0$ D、 $S_{11} > 0$

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3、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} + a_{2} = \frac{1}{2}$ ， $a_{1} - a_{3} = \frac{3}{4}$ ，则 $a_{4} =$

A、 $- \frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $- 4$ D、 $4$

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4、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为 $2 \sqrt{3}$ ，且点 $M (\sqrt{2}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ 在椭圆 $E$ 上．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、设直线 $y = k x + \sqrt{2}$ 与椭圆 $E$ 相交于不同的两点 $P$ 和 $Q$ ，当 $|P Q| = \sqrt{3}$ 时，求实数 $k$ 的值．

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5、数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{n} = - n^{2} + 7 n$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\{a_{n}\}$ 是递增数列 B、 $a_{10} = - 14$ C、当 $n > 4$ 时， $a_{n} < 0$ D、当 $n = 3$ 或4时， $S_{n}$ 取得最大值

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6、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，若C上存在一点P，使得 $|P F_{1}| = \frac{3}{2} |P F_{2}|$ ，则椭圆C的离心率的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{1}{5}]$ B、 $(0, \frac{1}{2}]$ C、 $[\frac{1}{2}, 1)$ D、 $[\frac{1}{5}, 1)$

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7、如图，机器人从A点出发，每次可以向右或向上沿着线走一个单位（每个小正方形的一条边长为一个单位），要走到B点，不同的走法共有种．

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = \{\begin{array}{l} (\frac{1}{2} - a) n + 2, n > 8 \\ a^{n - 7}, n \leq 8 \end{array}, n \in N^{*}$ ，若对于任意 $n \in N^{*}$ 都有 $a_{n} > a_{n + 1}$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{2}, 1)$ B、 $(\frac{1}{2}, \frac{13}{20})$ C、 $(\frac{13}{20}, 1)$ D、 $(1, \frac{3}{2})$

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9、在三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P A C ⊥$ 平面ABC，△ $P A C$ 为等腰直角三角形， $P A ⊥ P C$ ， $A C ⊥ B C$ ， $B C = 2 A C = 4$ ， M为AB的中点.

(1)、求证： $A C ⊥ P M$ .

(2)、求PC与平面PAB所成角的正弦值.

(3)、在线段PB上是否存在点N，使得平面 $C N M ⊥$ 平面PAB？若存在，求出 $\frac{P N}{P B}$ 的值；若不存在，说明理由.

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10、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $G$ 为 $△ A B C$ 的重心， $\vec{P D} = λ \vec{P A}, \vec{P E} = μ \vec{P B}, \vec{P F} = \frac{1}{2} \vec{P C}, λ, μ \in (0, 1)$ ，若 $P G$ 交平面 $D E F$ 于点 $M$ ，且 $\vec{P M} = \frac{1}{2} \vec{P G}$ ，则 $λ + μ$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、1 D、 $\frac{4}{3}$

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11、已知函数 $f (x) = 2 x^{2} + m x + n$ 的图象过点 $(0, - 1)$ ，且满足 $f (- 1) = f (2)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设函数 $f (x)$ 在 $[a, a + 2]$ 上的最小值为 $h (a)$ ，求 $h (a)$ ；

(3)、若 $x_{0}$ 满足 $f (x_{0}) = x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 为函数 $y = f (x)$ 的不动点.函数 $g (x) = f (x) - t x + t$ 有两个不相等的不动点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1} > 0, x_{2} > 0$ ，
①求实数 $t$ 的取值范围；②求 $\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}}$ 的最小值.

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12、在 $Rt △ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\frac{\cos A}{a} = \frac{\cos B + \cos C}{b + c} .$

(1)、求角 $A$ ；

(2)、已知 $c \neq 2 b, a = 2 \sqrt{3}$ ，点 $P, Q$ 是边 $A C$ 上的两个动点（ $P, Q$ 不重合），记 $∠ P B Q = θ$ .
①当 $θ = \frac{π}{6}$ 时，设 $△ P B Q$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 的最小值：
②三角和差化积公式是一组应用广泛的三角恒等变换式，其形式如图：
$\sin α \cdot \cos β = \frac{1}{2} [\sin (α + β) + \sin (α - β)]$
$\cos α \cdot \sin β = \frac{1}{2} [\sin (α + β) - \sin (α - β)]$
$\cos α \cdot \cos β = \frac{1}{2} [\cos (α + β) + \cos (α - β)]$
$\sin α \cdot \sin β = - \frac{1}{2} [\cos (α + β) - \cos (α - β)]$
它在工程学、绘图测量学等方面，有着广泛的应用．现记 $∠ B P Q = α, ∠ B Q P = β$ ，请利用该公式，探究是否存在实常数 $θ$ 和 $k$ ，对于所有满足题意的 $α, β$ ，都有 $\sin 2 α + \sin 2 β + k = 4 k \sin α \sin β$ 成立？若存在，求出 $θ$ 和 $k$ 的值；若不存在，说明理由．

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13、某小区拟用一块半圆形地块（如图所示）建造一个居民活动区和绿化区．已知半圆形地块的直径 $A B = 4$ 千米，点 $O$ 是半圆的圆心，在圆弧上取点 $C$ 、 $D$ ，使得 $B C = D C$ ，把四边形 $A B C D$ 建为居民活动区，并且在居民活动区周围铺上一条由线段 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ 和 $D A$ 组成的塑胶跑道，其它部分建为绿化区．设 $∠ C O B = θ$ ，且 $\frac{π}{6} \leq θ < \frac{π}{2}$ ；

(1)、求塑胶跑道的总长 $l$ 关于 $θ$ 的函数关系式；

(2)、当 $θ$ 为何值时，塑胶跑道的总长 $l$ 最长，并求出 $l$ 的最大值．

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14、在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 4$ ， $A C = 10$ ， $∠ B A C = 60^{\circ}$ ， $B C$ 、 $A C$ 边上的两条中线 $A M$ 、 $B N$ 相交于点 $G$ .

(1)、求 $B N$ 、 $A M$ 的长；

(2)、求 $∠ M G N$ 的余弦值.

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15、已知 $|\vec{a}| = 4, |\vec{b}| = 3, (2 \vec{a} - 3 \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} + \vec{b}) = 13$ ．

(1)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角；

(2)、若 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $\vec{c}$ ，求 $\vec{c} \cdot (\vec{a} + \vec{b})$ 的值．

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16、已知 $\tan (α + \frac{π}{6}) = \frac{1}{2}$ ， $\tan (\frac{π}{12} + β) = \frac{1}{3}$ ，则 $\tan (α - 2 β) =$ ．

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17、若 $z \in C$ 且 $|z| = 1$ ，则 $|z - 1 - 2 i|$ 的最小值是．

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18、如图所示，已知角 $α, β (0 < α < β < \frac{π}{2})$ 的始边为 $x$ 轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为 $A, B$ ， $M$ 为线段 $A B$ 的中点，射线 $O M$ 与单位圆交于点 $C$ ，则（）

A、 $∠ A O B = β - α$ B、 $|O M| = cos \frac{β - α}{2}$ C、点 $C$ 的坐标为 $(cos \frac{α + β}{2}, sin \frac{α + β}{2})$ D、点 $M$ 的坐标为 $(cos \frac{α + β}{2} cos \frac{β - α}{2}, sin \frac{α + β}{2} sin \frac{β - α}{2})$

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19、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $(a + b) : (b + c) : (c + a) = 5 : 6 : 7$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $sin A : sin B : sin C = 2 : 3 : 4$ B、 $△ A B C$ 为钝角三角形 C、若 $a = 6$ ，则 $△ A B C$ 的面积是 $6 \sqrt{15}$ D、若 $△ A B C$ 外接圆半径是 $R$ ，内切圆半径为 $r$ ，则 $\frac{R}{r} = \frac{16}{5}$

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20、已知复数 $z_{1}, z_{2}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + b x + 1 = 0 (- 2 < b < 2, b \in R)$ 的两根，则下列说法中正确的是（）

A、 ${\bar{z}}_{1} = z_{2}$ B、 $\frac{z_{1}}{z_{2}} \in R$ C、 $|z_{1} \cdot z_{2}| = 1$ D、若 $b = 1$ ，则 $z_{1}^{3} = z_{2}^{3} = 1$

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