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相关试卷

1、定义 $\min \{a, b\} = \{\begin{cases} a (a < b) \\ b (a \geq b) \end{cases}$ ，设 $f (x) = \min \{|x - 1|, \frac{1}{2} x + 1\}$ ，则下列结论不正确的是（）

A、 $f (2) = 1$ B、不等式 $f (x) \geq 1$ 的解集为 $[2, + \infty)$ C、当 $x \leq 0$ 时， $f (x)$ 的最大值为 $1$ D、 $f (x)$ 在 $(0, 1)$ 上单调递减

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2、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ ，的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，满足 $\sqrt{3} a \cos B = b \sin A$

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $b = 2$ ， $c = 2 a$ ，求边 $a$ 的值；

(3)、若 $\cos A = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ，求 $cos (2 A - B)$ 的值.

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3、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} - a x - 5, x \leq 1 \\ \frac{a}{x}, x > 1 \end{array}$ 满足对任意 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 成立，则a的范围是（）

A、 $[- 3, 0)$ B、 $[- 3, - 2]$ C、 $(- \infty, - 2]$ D、 $(- \infty, 0]$

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4、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ B、函数 $f (x)$ 的值域为 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ C、 $f (x) + f (- x) = 0$ D、函数 $f (x)$ 为减函数

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5、如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛 $B$ 与小岛 $A$ 、小岛 $C$ 相距都为 $5n mile$ ，与小岛 $D$ 相距为 $3 \sqrt{5} n mile$ ．小岛 $A$ 对小岛 $B$ 与 $D$ 的视角为钝角，且 $\sin A = \frac{3}{5}$ ．
（Ⅰ）求小岛 $A$ 与小岛 $D$ 之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；
（Ⅱ）记小岛 $D$ 对小岛 $B$ 与 $C$ 的视角为 $α$ ，小岛 $B$ 对小岛 $C$ 与 $D$ 的视角为 $β$ ，求 $\sin (2 α + β)$ 的值．

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6、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是菱形， $∠ A B C = 60 °$ ．点 $E$ ， $F$ 分别在棱 $B C$ ， $P D$ 的中点．
（1）证明： $E F //$ 平面 $P A B$ ．
（2）若 $A B = 2 \sqrt{2}$ ，求点 $F$ 到平面 $P A B$ 的距离．

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7、在① $2 a + b = 2 c \cos B$ ， ② $\sqrt{3} c \cdot \cos A - a \sin C = \sqrt{3} b$ 这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解（1）、（2）的答案.问题：在 $△ A B C$ 中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知________.

(1)、求角C；

(2)、若 $b = 4$ ， $△ A B C$ 的面积 $S = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.
（注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.）

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8、已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ = \frac{2 π}{3}$ ，且 $|\vec{a}| = 3$ ， $|\vec{b}| = 2$ .

(1)、求 $|\vec{a} + \vec{b}|$ ；

(2)、 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量；

(3)、求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 夹角的余弦值.

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9、已知球 $O$ 是圆锥 $P O_{1}$ 的外接球，圆锥 $P O_{1}$ 的母线长是底面半径的 $3$ 倍，且球 $O$ 的表面积为 $\frac{81 π}{8}$ ，则圆锥 $P O_{1}$ 的侧面积为.

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10、函数 $f (x) = 2 \sin (\frac{π}{3} + 4 x) + \sin (4 x - \frac{π}{6})$ 的最大值为.

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11、若向量 $\vec{a} = (- 4, 3)$ ， $\vec{b} = (1, 3)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量坐标为.

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12、已知复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = 2 i$ ，则下列关于复数 $z$ 的结论正确的是（）

A、 $|z| = \sqrt{2}$ B、 $z$ 的虚部为 $i$ C、复数 $z$ 的共轭复数 $\bar{z} = - 1 - i$ D、复数 $z$ 是方程 $x^{2} + 2 x + 2 = 0$ 的一个根

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13、如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到 $A$ 处时测得公路北侧远处一山顶 $D$ 在西偏北30°的方向上，行驶 $600m$ 后到达 $B$ 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为60°，求此山的高度 $C D =$ （）

A、 $300 \sqrt{6}$ B、 $100 \sqrt{6}$ C、100 D、300

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14、在空间中，l，m是不重合的直线， $α$ ， $β$ 是不重合的平面，则下列说法正确的是（）

A、若 $l \subset α$ ， $m \subset β$ ， $α // β$ ，则 $l // m$ B、若 $l // m$ ， $m \subset β$ ，则 $l // β$ C、若 $m / / β$ ， $m / / α$ ，则 $α // β$ D、若 $α \cap β = l$ ， $m / / β$ ， $m / / α$ ，则 $l // m$

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15、正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）

A、 $20 + 12 \sqrt{3}$ B、 $28 \sqrt{2}$ C、 $\frac{56}{3}$ D、 $\frac{28 \sqrt{2}}{3}$

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16、在 $△ A B C$ 中，D为BC的中点，E为AC边上的点，且 $\vec{A E} = 3 \vec{E C}$ ，则 $\vec{E D} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A C}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A C}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{1}{4} \vec{A C}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$

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17、如图，已知等腰直角三角形 $O^{'} A^{'} B^{'}$ 是一个平面图形的直观图， $O^{'} A^{'} = A^{'} B^{'}$ ，斜边 $O^{'} B^{'} = 2$ ，则这个平面图形的面积是（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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18、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$ ，其离心率 $e = \frac{\sqrt{5}}{3}$ ，过点 $B (2, 0)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $P, Q$ 两点（异于 $A_{1}, A_{2}$ ），当直线 $l$ 的斜率不存在时， $| P Q | = \frac{4 \sqrt{5}}{3}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $A_{1} P$ 与 $A_{2} Q$ 交于点 $S$ ，试问：点 $S$ 是否恒在一条直线上？若是，求出此定直线方程，若不是，请说明理由.

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 各项均为正数，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $4 S_{n} = {(a_{n} + 1)}^{2}$ .
（1）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式.
（2）设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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20、已知函数 $y = f (x)$ 的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（）

A、 $- 1$ 是函数 $f (x)$ 的极小值点 B、 $- 3$ 是函数 $f (x)$ 的极小值点 C、函数 $f (x)$ 在区间 $(- 3,1)$ 上单调递增 D、函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处切线的斜率小于零

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