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相关试卷

1、已知 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，其公差为 $d$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $\{b_{n}\}$ 为等比数列，其公比为 $q$ ，前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若 $d = q \neq 1$ ， $a_{5} = T_{3}$ ， $S_{9} = T_{6}$ ， $a_{1} = 6$ ．

(1)、求公差 $d$ 和 $b_{1}$ ；

(2)、记 $c_{n} = \frac{b_{n}}{(b_{n + 1} - 1) (b_{n} - 1)}$ ，证明： $c_{1} + c_{2} + \dots + c_{n} < 1$ ．

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2、已知抛物线 $C : y^{2} = 8 x$ ，过点 $M (m, 0)$ 的直线与抛物线 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，若 $\frac{1}{{|A M|}^{2}} + \frac{1}{{|B M|}^{2}}$ 为定值，则实数 $m$ 的值为．

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3、设等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{5} + a_{6} = 27$ ， $S_{6} = 39$ ，则 $S_{2} =$

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4、已知实数 $m > 0$ ，若圆 $O : x^{2} + y^{2} = 9$ 上恰有三个点到直线 $l : y = x + m$ 的距离为 $1$ ，则 $m$ 的值为．

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5、双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得：过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知O为坐标原点， $F_{1}, F_{2}$ 分别为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的左、右焦点，过C右支上一点 $A (x_{0}, y_{0}) (x_{0} > \sqrt{3})$ 作双曲线的切线交x轴于点 $P (x_{p}, 0)$ ，则（）

A、 $0 < x_{P} < \sqrt{3}$ B、平面上点 $B (4, 1), |A F_{2}| + |A B|$ 的最小值为 $\sqrt{37} - 2 \sqrt{3}$ C、若经过左焦点 $F_{1}$ 的入射光线经过点A，且 $x_{0} = \frac{\sqrt{15}}{2}$ ，则入射光线与反射光线的夹角为 $\frac{π}{3}$ D、过点 $F_{1}$ 作 $F_{1} H ⊥ A P$ ，垂足为H，则 $| O H | = \sqrt{3}$

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 2 n - 1$ ，对任意的 $n \in N^{*}$ 成立， $a_{1} = - 1$ ，其前n项和记为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $\{a_{n} + 2 n + 1\}$ 是等比数列 B、 $\{a_{n + 1} - a_{n} + 2\}$ 是等差数列 C、 $a_{n} = 2^{n} - 2 n - 1$ D、存在实数 $λ$ ，使得 $\{S_{n} - {(n + λ)}^{2}\}$ 为等比数列

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7、已知曲线 $C : m x^{2} + n y^{2} = m n$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $m > n > 0$ ，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B、若 $m = 3 n > 0$ ，则C是椭圆，其离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、若 $n > 0 > m$ ，则C是双曲线，其焦点在y轴上 D、若 $m = - 2 n < 0$ ，则C是双曲线，其离心率为 $\sqrt{3}$

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 1, a_{n + 1} \cdot \sqrt{1 + 4 a_{n}^{2}} = a_{n}$ 对任意的 $n \in N^{*}$ 成立，令 $b_{n} = a_{n}^{2} \cdot a_{n + 1}^{2}, S_{n}$ 是数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和，若 $S_{n} < \frac{t}{31}$ 对任意的 $n \in N^{*}$ 恒成立，则整数t的最小值为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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9、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F (- c, 0)$ ，上顶点为A，在以点F为圆心，c为半径的圆上存在点M，使得直线 $A M$ 的斜率为 $\frac{4}{3}$ ，则椭圆C的离心率的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{3}, 1)$ B、 $(0, \frac{1}{3}]$ C、 $[\frac{\sqrt{10}}{10}, 1)$ D、 $(0, \frac{\sqrt{10}}{10}]$

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 2$ ， $a_{m + n} = a_{m} a_{n}$ 对任意的 $m$ 、 $n \in N^{*}$ 恒成立，若 $a_{k} + a_{k + 1} + \dots + a_{k + 9} = 2^{16} - 2^{6}$ ，则 $k =$ （）

A、 $4$ B、 $5$ C、 $6$ D、 $7$

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11、在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是正方形， $P A = 2$ ， $A B = 1$ ，则直线 $P C$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{9}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{5 \sqrt{3}}{9}$

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12、数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = 3 n - 25$ ，则当该数列的前n项和 $S_{n}$ 取得最小值时n的值为（）

A、9 B、8 C、8或9 D、7或8

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13、将正奇数按照如图排列，我们将 $3, 7, 13, 21, 31$ ……，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为（）

A、55 B、75 C、111 D、135

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14、若直线 $l_{1} : (m - 1) x + y + 2 = 0$ 与直线 $l_{2} : 2 x + m y + 4 = 0$ 平行，则 $m$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $- 1$ 或 $2$ C、 $2$ D、 $1$

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15、过抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 焦点的直线与 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，则 $|A B|$ 的最小值是（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n} = \frac{1}{3} (1 - a_{n}) (n \in N^{*})$ ．若 $2 + b_{n} = 3 \log_{\frac{1}{4}} a_{n}$ ，且数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}$ ．

(1)、求证：数列 $\{b_{n}\}$ 是等差数列；

(2)、求证：数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n} < \frac{2}{3}$ ；

(3)、若 $c_{n} \leq \frac{1}{4} (t^{2} + t - 1)$ 对一切 $n \in N^{*}$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围．

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17、记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $sin C sin (A - B) = sin B sin (C - A)$ ．

(1)、求A取值的范围；

(2)、若 $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 周长的最大值；

(3)、若 $b = 2, A = 2 B$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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18、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x^{2} + 2 x + 3, x \leq 0 \\ l n x, x > 0 \end{matrix}$ ，若存在实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，使得 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3}) = a$ ，则 $x_{3} (x_{1} + x_{2} + ln x_{3})$ 的最大值为.

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19、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且满足 $b \cos C + c \cos B = 2 a \cos A$ ，若 $△ A B C$ 的中线 $A D = \sqrt{3}$ ，且 $b + c = 4$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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20、若曲线 $y = a x^{2}$ 与 $y = \ln x$ 有一条斜率为2的公切线，则 $a =$ .

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