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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = x - \frac{1}{x} - m ln x (m \in R)$ .

(1)、若 $m = 1$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $a ， b ， c \in R$ 为函数 $y = f (x)$ 的三个零点，且满足 $a < b < c$ ，
①求实数 $m$ 的取值范围；
②求 $16^{a} + 4^{b} + 2^{c}$ 的最小值.

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2、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为4的正方形， $△ P A D$ 是正三角形，且 $C D ⊥$ 平面 $P A D$ ，若 $E, F, G$ 分别为 $P C, P D, C B$ 的中点，点 $H$ 在直线 $A B$ 上.

(1)、求证：直线 $E F$ 与直线 $G H$ 为异面直线；

(2)、求直线 $G H$ 与平面 $E F G$ 所成角的最大值.

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3、信息安全是互联网时代最重要的安全之一，我国自主研发的量子通信保密传输系统，依靠量子密钥分发实现信息安全传输，该系统采用量子信道和经典信道协同工作，某量子通信保密传输系统在单次密钥分发过程中，量子信道成功密钥生成的概率为 $\frac{3}{4}$ ，经典信道完成信息匹配的概率为 $\frac{5}{6}$ ，且两个信道工作相互独立．只有当量子信道密钥生成成功，且经典信道信息匹配成功，则本次有效密钥分发成功，否则本次有效密钥分发失败．

(1)、求该系统单次有效密钥分发成功的概率；

(2)、若该系统独立进行 $4$ 次密钥分发，记 $X$ 为有效分发成功的次数，求 $X$ 的数学期望 $E (X)$ ；

(3)、科研人员对该系统连续传输的密钥准确率进行检测，发现密钥准确率 $Z$ （单位： $%$ ）服从正态分布 $Z \sim N (99, 0.04)$ ．若准确率不低于 $99.4 %$ 为“最优传输”，估算 $1000$ 次密钥分发中，可用于“最优传输”的次数．
附：若 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ ．

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{n} = a_{n} + \frac{1}{2} n (n - 1)$ .

(1)、求 $a_{1}$ 的值；

(2)、求 $\sum_{i = 1}^{2026} \frac{1}{S_{i}}$ 的值.

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5、设关于 $x$ 的方程 $12 x^{2} + e^{2 x} - 7 x e^{x} = 0$ （ $e$ 为自然对数底数）有 $n$ 个不相等的实数解 $x_{i} (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n)$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n} (\ln x_{i} - x_{i}) =$ .

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6、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a = 2$ ， $b = 3$ ， $B = 2 A$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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7、在复平面内，i为虚数单位， $\vec{A B}$ 对应的复数是 $4 + 5 i$ ， $\vec{B C}$ 对应的复数是 $3 + i$ ，则 $\vec{A C}$ 对应的复数是.

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8、我国古代典籍《管子·地员篇》最早记载的“三分损益法”是用来算音阶的方法，它是把古琴的一根弦平均分成三截，截短一截就是“三分损一”，加长一截就是“三分益一”.我们取第一个音“黄钟”的弦长81，记为 $a_{1}$ ，用“三分损一”得到第二个音“林钟”的弦长 $81 \times (1 - \frac{1}{3})$ ，记为 $a_{2}$ ，再用“三分益一”得到第三个音“太簇”的弦长 $54 \times (1 + \frac{1}{3})$ ，记为 $a_{3}, \dots$ ，按此规律依次交替损益就能得到“十二律吕”的弦长.把上述依次得到的弦长组成的数列记为 $\{a_{n}\}$ （ $n \in N^{*}$ ）.则下列说法正确的是（）

A、 $a_{5} = 64$ B、 $2 a_{7} = 3 a_{8}$ C、 $\exists k \in N^{*}$ ，使得 $a_{2 k - 1} + a_{2 k + 3} = 2 a_{2 k + 1}$ D、 $\forall k \in N^{*}$ ，都有 $a_{2 k - 1} a_{2 k + 3} = {(a_{2 k + 1})}^{2}$

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9、如图，在正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点， $P$ 是 $A_{1} D$ 上的动点（不含端点），记直线 $P B$ 与直线 $B C$ 所成角为 $α$ ，直线 $P B$ 与平面 $A B C$ 所成角为 $β$ ，二面角 $P - B C - A$ 的平面角为 $γ$ ，则下列关于 $α, β, γ$ 的大小，一定正确的是（）

A、 $β < α$ B、 $α < γ$ C、 $α > γ$ D、 $β < γ$

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10、已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 3 = 0$ 交于 $M ， N$ 两点，则下列说法正确的是（）

A、圆心坐标为 $(- 1, 0)$ B、 $|M N| = 4$ C、抛物线的准线与圆相切 D、过抛物线焦点的直线与圆相交

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11、如果一条双曲线的实轴与虚轴分别为另一条双曲线的虚轴与实轴，则这两条双曲线互为共轭双曲线，已知 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 互为共轭双曲线，且 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的离心率分别为 $e_{1}$ ， $e_{2}$ ，则 $\frac{1}{e_{1}} (\frac{1}{e_{1}} + \frac{1}{e_{2}})$ 的最大值是（）

A、1 B、 $\frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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12、已知 $O$ 为 $△ A B C$ 的外心，且满足 $\vec{A O} = \vec{A B} + 2 \vec{A C}$ ，则 $\frac{|\vec{A B}|}{|\vec{A C}|}$ 的值为（）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{7}$

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13、在二项展开式 ${(m + x)}^{8} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{8} x^{8} (m \neq 0)$ 中，前三项的系数 $a_{0}, a_{1}, a_{2}$ 成等差数列，则实数 $m$ 的值是（）

A、 $- 2$ 或7 B、2或7 C、 $- 2$ 或14 D、2或14

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14、已知 $l$ 为直线， $α$ 为平面，则下列条件是“ $l ⊥ α$ ”的充要条件的是（）

A、 $l$ 垂直平面 $α$ 内的两条直线 B、 $l$ 垂直平面 $α$ 内的无数条直线 C、 $l$ 的方向向量垂直于平面 $α$ 的法向量 D、 $l$ 的方向向量平行于平面 $α$ 的法向量

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15、下列函数所表示的曲线中，存在切线与 $x$ 轴平行的是（）

A、 $f (x) = sin x + x$ B、 $f (x) = e^{x} + x$ C、 $f (x) = ln x + x$ D、 $f (x) = x^{3} + x$

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16、下列函数中，最小正周期为 $π$ 且为偶函数的是（）

A、 $y = sin x$ B、 $y = |sin x|$ C、 $y = sin |x|$ D、 $y = cos x$

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17、数据1，2，4，5，7，9的第60百分位数为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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18、设集合 $M = \{x |- 1 < x < 3\}, N = \{1, 2, 3\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\{2, 3\}$ B、 $\{1, 2, 3\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{0, 1, 2, 3\}$

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19、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} - x - 1$ （ $e$ 为自然对数的底数）

(1)、若 $a = \frac{1}{2}$ ，求函数 $f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 恰有一个正零点，求实数a的取值范围；

(3)、对于任意的正整数k，且 $a = \frac{1}{2} + \frac{1}{k^{2} + k}$ 时，设 $f (x)$ 的正零点为 $x_{k}$ ，求证：对于任意的正整数n，都有 $\frac{2 n}{n + 2} < \sum_{k = 1}^{n} x_{k} < \frac{6 n}{n + 1}$ .

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20、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是公差不为0的等差数列，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{2}$ 是 $a_{1}$ 和 $a_{4}$ 的等比中项，等比数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式为 $b_{n} = q^{n}$ （其中 $q > 0$ ，且 $q \neq 1$ ）.

(1)、求 $\{a_{n} \cdot b_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ；

(2)、设集合 $U_{n} = \{1, 2, 3, \dots, n\}$ ，对于 $U_{n}$ 的每一个非空子集X，设其最小元素为x，最大元素为y.
（ⅰ）设 $T_{n}$ 为 $U_{n}$ 所有非空子集对应的 $a_{x}$ 之和，求证： $T_{n} = 2^{n + 1} - n - 2$ ；
（ⅱ）设 $c_{n}$ 为 $U_{n}$ 所有非空子集对应的 $a_{x} \cdot b_{y}$ 之和，且 $q \neq \frac{1}{2}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的通项公式.

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