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相关试卷

1、已知四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P C ⊥$ 平面 $A B C D, A D ⊥ C D, A C = 4$ ，四棱锥 $P - A B C D$ 的外接球的球心为 $O$ ．记四棱锥 $P - A B C D, O - A B C D$ 的体积分别为 $V_{1}, V_{2}$ ，三棱锥 $P - A C D, P - A B C$ 的体积分别为 $V_{3}, V_{4}$ ，则下列说法中正确的有（）

A、 $A B ⊥ B P$ B、 $V_{1} = 2 V_{2}$ C、 $V_{1} = 2 V_{3}$ D、若二面角 $P - A B - C$ 的平面角大小为 $45^{°}$ ，则 $V_{4}$ 的最大值为 $\frac{64 \sqrt{3}}{27}$

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2、某数学兴趣小组研究发现，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图象是双曲线 $C$ ，记其焦点分别为 $M$ 、 $N$ ，若 $P$ 为其图象上任意一点，则（）

A、 $y$ 轴是 $C$ 的一条渐近线 B、点 $(1, 1)$ 是 $C$ 的一个焦点 C、 $||P M| - |P N|| = 2 \sqrt{2}$ D、 $C$ 的离心率为 $\sqrt{2}$

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3、记 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若 $b > c, \cos B = \frac{\sqrt{6}}{4}, a = \frac{\sqrt{6}}{2} b$ ，则（）

A、 $A = \frac{\sqrt{6}}{2} B$ B、 $A = 2 B$ C、 $b = \sqrt{3} c$ D、 $b = 2 c$

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = 1 - \frac{1}{2} a_{n}$ ，则（）

A、 $a_{n + 1} > a_{n}$ B、 $a_{n} > \frac{1}{2}$ C、 $1013 a_{2025} < 1$ D、 $2025 a_{2025} < 1$

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5、在平面直角坐标系xOy中，过点 $P (2, 2)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 交于A，B两点，若直线OA，OP，OB的斜率依此成等比数列，则 $l$ 的斜率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、3

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6、某厂生产一批圆台形灯罩，灯罩的上、下底面都是空的，上、下底面的半径之比为1：2，高为15cm，母线长为25cm．现要对100个这样的灯罩的内、外表面都涂上一层防潮涂料，若每平方米需要100克涂料，则共需涂料（）

A、 $750 π$ 克 B、 $1500 π$ 克 C、 $3000 π$ 克 D、 $6000 π$ 克

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7、在平面直角坐标系xOy中，已知点 $A (- 2, 0), B (2, 0)$ ，若点 $P$ 满足 $| \vec{P A} + \vec{P B} | = 2$ ，则 $\vec{A P} \cdot \vec{B P} =$ （）

A、-3 B、0 C、1 D、4

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8、某射击运动员在男子10米气步枪决赛中，最后10枪成绩分别为10.9，10.7，10.4，10.0，10.5，9.8，10.7，9.9，10.5，10.6，则这10枪成绩的上四分位数是（）

A、10.5 B、10.6 C、10.65 D、10.7

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9、已知 ${(x + y)}^{n}$ 的展开式中系数之和为64，则展开式中 $x^{2} y^{n - 2}$ 的系数为（）

A、10 B、15 C、21 D、24

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10、设i是虚数单位，若复数 $z$ 满足 $(2 + i) z = 1 - i$ ，则 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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11、已知函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 满足 $g (x) = f (x) + \frac{a^{2}}{f (x)} (a > 0)$ .

(1)、设 $f (x) = x$ ，求证：函数 $g (x)$ 在区间 $(0, a)$ 上为减函数，在区间 $(a, + \infty)$ 上为增函数；

(2)、设 $f (x) = \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}$ .
①当 $a = 1$ 时，求 $g (x)$ 的最小值；
②若对任意实数 $r, s, t \in [- \frac{3}{5}, \frac{3}{5}]$ ， $|g (r) - g (s)| < g (t)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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12、如图，已知直线 $l_{1} / / l_{2}$ ， $A$ 是 $l_{1}, l_{2}$ 之间的一个定点，过 $A$ 作 $l_{1}, l_{2}$ 的垂线分别交 $l_{1}, l_{2}$ 于 $D, E$ 两点， $A D = A E = 2$ ， $B, C$ 分别是 $l_{1}, l_{2}$ 上的两个动点（ $B, C$ 均在 $D E$ 的右侧）．设 $∠ B A C = α$ ， $∠ A B D = θ$ ， $△ A B C$ 的周长和面积分别为 $L (θ)$ 和 $S (θ)$ ．

(1)、当 $α = \frac{π}{2}$ 时，求 $L (θ)$ 的最小值；

(2)、当 $α = \frac{2 π}{3}$ 时，求 $S (θ)$ 的最小值．

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13、如图所示，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为3的菱形， $A A_{1} = 4, ∠ D A B = ∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = 60^{\circ}, E, F$ 分别在线段 $B_{1} B$ 和 $D_{1} D$ 上，且 $B E = \frac{1}{4} B B_{1}$ ， $D F = \frac{3}{4} D D_{1}$ ．

(1)、证明： $A, E, C_{1}, F$ 四点共面；

(2)、求平面 $A E C_{1} F$ 与平面 $A_{1} A D D_{1}$ 夹角的余弦值．

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14、为了提高市民的普法意识，某市举行了普法知识竞赛，为了解全市参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取了 $100$ 人的成绩（均为整数）作为样本，将其整理后分为 $6$ 组，并作出了如图所示的频率分布直方图（最低 $40$ 分，最高 $100$ 分）．

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值，并求出样本中成绩在 $60$ 分以上的人数：

(2)、若划定成绩大于或等于第 $75$ 百分位数为“良好”以上等级，请根据直方图，估计全市参赛者的成绩在“良好”以上等级的范围；

(3)、现知道样本中，成绩在“良好”以上等级的平均数为 $88$ ，方差为 $18$ ，成绩在 $[80, 90)$ 内的平均数为 $86$ ，方差为 $2$ ，求成绩在 $[90, 100]$ 内的平均数和方差．

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15、已知向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，且 $(2 \vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + 3 \vec{b}) = - 5$ .

(1)、若 $(4 \vec{a} - 3 \vec{b}) ⊥ (k \vec{a} + \vec{b})$ ，求实数 $k$ 的值；

(2)、求 $\vec{a}$ 与 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 的夹角.

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16、在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $| \vec{O A} | = | \vec{O B} | = \sqrt{2}$ ， $| \vec{A B} | = 2$ ．设 $C (3, 4)$ ，则 $| 2 \vec{C A} + \vec{A B} |$ 的取值范围是．

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17、已知函数 $f (x) = x^{2} + a |x| + a^{2} - 4$ 有唯一零点，则 $a =$ ．

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18、已知i是虚数单位，则 $|\frac{3+i}{i}| =$ ．

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19、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $\forall x, y \in R$ ， $f (x) f (y) = f (x + y)$ ，且 $f (1) = \frac{1}{2}$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (- 1) = 2$ C、 $f (x + 1) < f (x)$ D、 $f (x + 2) - f (x + 1) < f (x + 1) - f (x)$

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20、某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平面多边形，平面 $A F R ⊥$ 平面ABC，平面 $C D T ⊥$ 平面ABC， $A B ⊥ B C, A B ∥ E F ∥ R S ∥ C D, B C ∥ D E ∥ S T ∥ A F$ ．若 $A B = B C = 8, A F = C D = 4, R A = R F = T C = T D = \frac{5}{2}$ ，则该多面体的体积为（）

A、40 B、50 C、60 D、70

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