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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \frac{1}{x} + \ln (x + 1) - a (x > 0, a \in R), g (x) = f (e^{- x})$ ．

(1)、若 $a = 2$ ，解关于 $x$ 的不等式 $g (x) + x > \ln 3$ ；

(2)、证明：关于 $x$ 的方程 $f (x) = g (x)$ 有且仅有一个实根；

(3)、证明： $g (g (t)) = t$ 的充要条件是 $g (t) = t$ ．

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2、在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} (- 1, 0), F_{2} (1, 0)$ ，直线 $l$ 过 $F_{2}$ 分别交 $C$ 于A，B两点．当 $l$ 的倾斜角为 $90^{°}$ 时， $| A B | = 3$ ．

(1)、求 $C$ 的标准方程；

(2)、 $E$ 为线段AB（不含端点）上任一点，射线OE与 $C$ 交于点 $P$ ，与直线 $x = 4$ 交于点 $Q$ ．
①若 $O P ⊥ A B$ ，求 $| A B | + | O P |^{2}$ 的最小值；
②若 $E$ 为线段AB的中点，判断并证明 $Q$ 与以AB为直径的圆的位置关系．

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3、如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 为直角梯形， $A D = 2 B C = 2 C D = 2$ ， $A P ⊥ P D$ ，平面 $A B C D ⊥$ 平面 $P A D$ .

(1)、求证：平面 $A B P ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求二面角 $B - P D - C$ 的正弦值的取值范围．

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4、现有甲、乙两台机器生产一批零件，甲生产出的零件内径 $X$ （单位：mm）服从正态分布 $N (10, 1)$ ，乙生产出的零件内径 $Y$ （单位：mm）服从正态分布 $N (8, 4)$ ．

(1)、若甲、乙在一天内发生故障的概率分别为0.1，0.2，且两台机器工作状态相互独立．设一天内发生故障的机器台数为 $Z$ ，求 $Z$ 的分布列；

(2)、若生产出的零件内径小于8mm，则每件亏损2元；若内径大于10mm，则每件亏损8元；其余尺寸的零件，则每件获利20元．已知每天每台机器生产出一千件零件，试比较哪一台台机器每天生产出的零件的平均利润更大．
参考数据：若 $ξ ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < ξ < μ + σ) \approx 0.683, P (μ - 2 σ < ξ < μ + 2 σ) \approx 0.955$ ．

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1} = 1, a_{2} = 3$ ， $S_{n - 1} + S_{n} + S_{n + 1} = 3 n^{2} + 2 (n \geq 2, n \in N^{*})$ ．

(1)、求 $a_{3}, a_{4}$ ；

(2)、求 $S_{3 n}$ ．

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是公比不为1的等比数列，从 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{20}$ 中任取四项，则这四项依然构成等比数列的概率为．

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7、若 $f (x) = x (\ln x + a)$ 在 $[1, e]$ 上不单调，则实数 $a$ 的取值范围是．

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8、已知四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P C ⊥$ 平面 $A B C D, A D ⊥ C D, A C = 4$ ，四棱锥 $P - A B C D$ 的外接球的球心为 $O$ ．记四棱锥 $P - A B C D, O - A B C D$ 的体积分别为 $V_{1}, V_{2}$ ，三棱锥 $P - A C D, P - A B C$ 的体积分别为 $V_{3}, V_{4}$ ，则下列说法中正确的有（）

A、 $A B ⊥ B P$ B、 $V_{1} = 2 V_{2}$ C、 $V_{1} = 2 V_{3}$ D、若二面角 $P - A B - C$ 的平面角大小为 $45^{°}$ ，则 $V_{4}$ 的最大值为 $\frac{64 \sqrt{3}}{27}$

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9、某数学兴趣小组研究发现，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图象是双曲线 $C$ ，记其焦点分别为 $M$ 、 $N$ ，若 $P$ 为其图象上任意一点，则（）

A、 $y$ 轴是 $C$ 的一条渐近线 B、点 $(1, 1)$ 是 $C$ 的一个焦点 C、 $||P M| - |P N|| = 2 \sqrt{2}$ D、 $C$ 的离心率为 $\sqrt{2}$

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10、记 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若 $b > c, \cos B = \frac{\sqrt{6}}{4}, a = \frac{\sqrt{6}}{2} b$ ，则（）

A、 $A = \frac{\sqrt{6}}{2} B$ B、 $A = 2 B$ C、 $b = \sqrt{3} c$ D、 $b = 2 c$

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11、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = 1 - \frac{1}{2} a_{n}$ ，则（）

A、 $a_{n + 1} > a_{n}$ B、 $a_{n} > \frac{1}{2}$ C、 $1013 a_{2025} < 1$ D、 $2025 a_{2025} < 1$

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12、在平面直角坐标系xOy中，过点 $P (2, 2)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 交于A，B两点，若直线OA，OP，OB的斜率依此成等比数列，则 $l$ 的斜率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、3

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13、某厂生产一批圆台形灯罩，灯罩的上、下底面都是空的，上、下底面的半径之比为1：2，高为15cm，母线长为25cm．现要对100个这样的灯罩的内、外表面都涂上一层防潮涂料，若每平方米需要100克涂料，则共需涂料（）

A、 $750 π$ 克 B、 $1500 π$ 克 C、 $3000 π$ 克 D、 $6000 π$ 克

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14、在平面直角坐标系xOy中，已知点 $A (- 2, 0), B (2, 0)$ ，若点 $P$ 满足 $| \vec{P A} + \vec{P B} | = 2$ ，则 $\vec{A P} \cdot \vec{B P} =$ （）

A、-3 B、0 C、1 D、4

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15、某射击运动员在男子10米气步枪决赛中，最后10枪成绩分别为10.9，10.7，10.4，10.0，10.5，9.8，10.7，9.9，10.5，10.6，则这10枪成绩的上四分位数是（）

A、10.5 B、10.6 C、10.65 D、10.7

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16、已知 ${(x + y)}^{n}$ 的展开式中系数之和为64，则展开式中 $x^{2} y^{n - 2}$ 的系数为（）

A、10 B、15 C、21 D、24

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17、设i是虚数单位，若复数 $z$ 满足 $(2 + i) z = 1 - i$ ，则 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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18、已知函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 满足 $g (x) = f (x) + \frac{a^{2}}{f (x)} (a > 0)$ .

(1)、设 $f (x) = x$ ，求证：函数 $g (x)$ 在区间 $(0, a)$ 上为减函数，在区间 $(a, + \infty)$ 上为增函数；

(2)、设 $f (x) = \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}$ .
①当 $a = 1$ 时，求 $g (x)$ 的最小值；
②若对任意实数 $r, s, t \in [- \frac{3}{5}, \frac{3}{5}]$ ， $|g (r) - g (s)| < g (t)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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19、如图，已知直线 $l_{1} / / l_{2}$ ， $A$ 是 $l_{1}, l_{2}$ 之间的一个定点，过 $A$ 作 $l_{1}, l_{2}$ 的垂线分别交 $l_{1}, l_{2}$ 于 $D, E$ 两点， $A D = A E = 2$ ， $B, C$ 分别是 $l_{1}, l_{2}$ 上的两个动点（ $B, C$ 均在 $D E$ 的右侧）．设 $∠ B A C = α$ ， $∠ A B D = θ$ ， $△ A B C$ 的周长和面积分别为 $L (θ)$ 和 $S (θ)$ ．

(1)、当 $α = \frac{π}{2}$ 时，求 $L (θ)$ 的最小值；

(2)、当 $α = \frac{2 π}{3}$ 时，求 $S (θ)$ 的最小值．

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20、如图所示，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为3的菱形， $A A_{1} = 4, ∠ D A B = ∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = 60^{\circ}, E, F$ 分别在线段 $B_{1} B$ 和 $D_{1} D$ 上，且 $B E = \frac{1}{4} B B_{1}$ ， $D F = \frac{3}{4} D D_{1}$ ．

(1)、证明： $A, E, C_{1}, F$ 四点共面；

(2)、求平面 $A E C_{1} F$ 与平面 $A_{1} A D D_{1}$ 夹角的余弦值．

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