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相关试卷

1、集合 $A = \{x | - 2 \leq x < 3\}$ ， $B = \{x | x^{2} - 5 x + 6 \leq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x | - 2 \leq x < 3\}$ B、 $\{x | - 2 \leq x \leq 3\}$ C、 $\{x | 2 \leq x < 3\}$ D、 $\{x | 2 < x \leq 3\}$

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2、已知直线 $l_{1} : k x - y + 1 + 2 k = 0 (k \in R)$ 过定点 $P$ ，且交 $x$ 轴负半轴于点 $A$ 、交 $y$ 轴正半轴于点 $B$ ，点 $O$ 为坐标原点．

(1)、求 $|P A| \cdot |P B|$ 的最小值，并求此时直线 $l_{1}$ 的方程．

(2)、 $△ A B O$ 的面积为S（ $O$ 为坐标原点），求S的最小值并求此时直线 $l_{1}$ 的方程．

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3、如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 1$ ，点 $E$ 为 $D D_{1}$ 的中点， $E B_{1} ⊥$ 平面 $A C E$ ．

(1)、求 $D D_{1}$ 的长；

(2)、求平面 $A C E$ 与平面 $C E C_{1}$ 夹角的余弦值；

(3)、求点 $A_{1}$ 到平面 $A C E$ 的距离．

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4、已知直线 $l$ 过点 $A (4, 1)$ ．

(1)、若直线 $l$ 在 $x$ 轴上的截距是在 $y$ 轴上的截距的2倍，求直线 $l$ 的方程；

(2)、求与 $x + 6 y - 2 = 0$ 平行时的直线 $l$ 的方程．

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5、如图，已知P是半径为2，圆心角为 $\frac{π}{3}$ 的一段圆弧AB上一点， $\overset{⇀}{A B} = 2 \overset{⇀}{B C}$ ，则 $\overset{⇀}{P C} \cdot \overset{⇀}{P A}$ 的最小值为．

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6、已知点 $A (3, 2)$ ， $B (- 2, 3)$ ，直线 $l : k x - y - 2 k = 0$ ．若直线 $l$ 与线段 $A B$ 有公共点，则实数 $k$ 的取值范围是．

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7、已知直线 $l$ 经过点 $A (- 3 ， 2)$ ，且与直线 $x + 2 y - 2 = 0$ 垂直，则直线 $l$ 的方程为（）

A、 $x + 2 y - 1 = 0$ B、 $x - 2 y + 7 = 0$ C、 $2 x + y + 4 = 0$ D、 $2 x - y + 8 = 0$

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8、已知向量 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}, \vec{e_{3}}$ ，是两两垂直的单位向量，且 $\vec{a} = 3 \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}} - \vec{e_{3}}, \vec{b} = \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{3}}$ ，则 $(6 \vec{a}) \cdot (\frac{1}{2} \vec{b})$ 等于(　　)

A、15 B、3 C、－3 D、5

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9、已知直线 $l$ 的一个方向向量是 $\vec{a} = (- 3, 2, 1)$ ，平面 $α$ 的一个法向量是 $\vec{u} = (1, 2, - 1)$ ，则 $l$ 与 $α$ 的位置关系是（）

A、 $l ⊥ α$ B、 $l ∥ α$ C、 $l \subset α$ D、 $l ∥ α$ 或 $l \subset α$

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10、已知函数 $f (x) = a \sin ω x \cos ω x (a > 0, ω > 0)$ ．从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数 $f (x)$ 存在且唯一确定．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设 $g (x) = f (x) - 2 \cos^{2} ω x + 1$ ，求函数 $g (x)$ 在 $(0, π)$ 上的单调递增区间．
条件①： $f (\frac{π}{4}) = 1$ ；
条件②： $f (x)$ 为偶函数；
条件③： $f (x)$ 的最大值为1；
条件④： $f (x)$ 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

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11、在 $△ A B C$ 中， $C A = C B = \sqrt{5}$ ， $A B = 4$ ，点 $M$ 为 $△ A B C$ 所在平面内一点且 $\vec{A M} \cdot \vec{B C} = 0$ ，则 $\vec{A M} \cdot \vec{C M}$ 的最小值为.

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12、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 4$ ， $a_{5} = - 3$ ，且任意连续三项的和均为7，则 $a_{2026} =$ ；记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则使得 $S_{n} \leq 100$ 成立的最大整数 $n =$ .

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13、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，已知 $b - c = \frac{1}{4} a$ ， $2 \sin B = 3 \sin C$ ，则 $\frac{b}{c} =$ ， $\cos A$ 的值为．

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14、设函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 2^{x - 1}, x < 1 \\ x^{\frac{1}{2}}, x \geq 1 \end{matrix}$ ，则使得 $f (x) \leq 2$ 成立的 $x$ 的取值范围是.

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15、已知函数 $f (x) = sin (2 x - \frac{π}{6}) - 2 sin (x + \frac{π}{4}) cos (x + \frac{π}{4}) (x \in R)$ ，现给出下列四个命题，
①函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$
②函数 $f (x)$ 的最大值为 $\sqrt{3}$
③函数 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ 上单调递增
④将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位长度，得到的函数解析式为 $g (x) = \sqrt{3} cos 2 x$
其中，所有正确结论的序号是（）

A、①② B、②④ C、①④ D、③④

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16、已知单位向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，若 $|\vec{a} + \vec{b}| > 1$ ，则 $θ$ 的取值范围为（）

A、 $[0, \frac{π}{3})$ B、 $[0, \frac{2 π}{3})$ C、 $(\frac{π}{3}, \frac{2 π}{3})$ D、 $(\frac{2 π}{3}, π)$

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17、设 $i$ 为虚数单位，则在复平面内，复数 $z = \frac{2 - i}{1 + i}$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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18、强基计划某试点高校为选拔基础学科拔尖人才，对考生设置两项能力测试：学科知识整合能力指标x（考察数学、物理等学科知识的交叉应用）和创新思维能力指标y（考察逻辑推理、问题建模等能力）.随机抽取5名考生的测试结果如下表：
$x$
6
8
9
$t$
12
$y$
2
3
4
5
6

(1)、若学科知识整合能力指标的平均值 $\bar{x} = 9$ ，
（ⅰ）求t的值；
（ii）求y关于x的经验回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，并估计学科知识整合能力指标为14时的创新思维能力指标；

(2)、现有甲、乙两所试点高校的强基计划笔试环节均设置了三门独立考试科目，每门科目通过情况相互独立；
甲高校：每门科目通过的概率均为 $\frac{2}{5}$ ，通过科目数记为随机变量X；
乙高校：第一门科目通过概率为 $m (0 < m < 1)$ ，第二门科目通过概率为 $\frac{1}{4}$ ，第三门科目通过概率为 $\frac{2}{3}$ ，通过科目数记为随机变量Y；
若以笔试环节通过科目数的期望为决策依据，分析考生应选择报考哪所高校.
（附：经验回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中 $\hat{b}$ 和 $\hat{a}$ 的最小二乘估计分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ）

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19、根据下列条件，求函数 $f (x)$ 的解析式.

(1)、已知函数 $f (x)$ 是一次函数，若 $f (f (x)) = 4 x + 8$ ，求 $f (x)$ 的解析式.

(2)、已知 $f (\sqrt{x} + 1) = x - 2 \sqrt{x}$ ，求 $f (x)$ 的解析式.

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20、甲乙丙丁四位同学围成一圈玩传球游戏，通过掷骰子决定传球的次数，按照甲→乙→丙→丁→甲→乙→丙→丁→…的顺序循环，初始时球在甲手中，掷出几点就向后传几次球，若抛掷3次骰子后，球还在甲手中，则不同的掷骰子方法有种.

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$x$	6	8	9	$t$	12
$y$	2	3	4	5	6